賈光一 劉玉環(huán) 張靖雯 龔 潔 霍亦琦

(天津商業(yè)大學理學院，天津 300134)

大學所學的數(shù)學方法不只是一種工具，還應該是對自然規(guī)律、物理現(xiàn)象的歸納與概括，更應該是一種對科學思維的訓練。但是對于物理教師來說，將數(shù)學方法融入物理教學中并不是一件容易的事。要想實現(xiàn)數(shù)學方法助益于物理教學的目的，需要搞清楚物理學中的數(shù)學與純數(shù)學的不同、學生學習數(shù)學和物理的認知過程，需要在教學過程中幫助學生學會數(shù)學方法在物理學中的意義建構，從而將數(shù)學方法合理地融入而非簡單地加入進物理教學中。

1 物理學中的數(shù)學不同于純數(shù)學

案例1： 調查對象：大學一年級第二學期數(shù)學和物理學專業(yè)本科生；調查方式：問卷調查。

問題： 請根據(jù)函數(shù)E(x,y,z)=1/(4πε0)·Q/(x2+y2+z2)給出E(r,θ,φ)的表達式。

我們發(fā)現(xiàn)，物理學專業(yè)的很多學生會直接給出E=1/(4πε0)·Q/r2(A同學)；對于數(shù)學專業(yè)的學生，有人會給出E=1/(4πε0)·Q/[(rsinθcosφ)2+ (rsinθsinφ)2+(rcosθ)2]=1/(4πε0)·Q/r2(B同學)，也有同學會給出E=1/(4πε0)·Q/(r2+θ2+φ2)(C同學)。盡管A同學和B同學得到的最終結果是一樣的，但經(jīng)過詢問得知，A同學認為，題目中的公式可以理解為位于坐標原點位置處點電荷Q在空間某位置電場強度E的計算公式，E只與距離r有關。

該案例說明，物理學專業(yè)的學生在解決問題時通常賦予數(shù)學符號于物理意義，看到公式后認為E和Q分別表示電場強度和電荷量，所以會直接給出E和r的物理關系；數(shù)學專業(yè)的B同學在解決問題時采用的是邏輯推斷，想到的是直角坐標系與球坐標系之間的對應關系，通過坐標變換得到E和r的數(shù)學關系；數(shù)學專業(yè)的C同學認為x,y,z以及r,θ,φ均為虛擬變量，是互相獨立的、不具有任何物理意義的數(shù)學變量，所以會在函數(shù)關系中直接進行數(shù)學符號的替換。

除了對數(shù)學字母或符號的認識不同，數(shù)學和物理在正負號的分析上也會大不一樣。在實數(shù)范圍內，數(shù)學中一般認為正數(shù)大于負數(shù)，但是在不同的物理問題中正負號有著不同的物理意義，而不是用來表示數(shù)值大小，例如，力、位移、電場強度等物理矢量，其正負號的變化僅意味著它們的方向與事先選定的坐標軸正方向相同或相反；在熱量前面加正負號是為了區(qū)分一個熱力學系統(tǒng)從外界吸收熱量還是向外界釋放熱量；在法拉第電磁感應定律ε=-dΦ/dt中，負號表示感應電動勢ε總是與磁通量Φ變化的方向相反等。

此外，數(shù)學學習者與物理學習者還會對函數(shù)的概念及其表示方式存在差異。比如，在數(shù)學中z=xy說明y與x成反比，y與z成正比；然而在物理學中F=qE的函數(shù)關系中，電場強度E是由電場本身的性質所決定的，與試探電荷q無關，所以不能認為E與q成反比、E與F成正比；又比如彈簧的彈力F和彈簧的形變量x成正比，即F=-kx，但k是彈簧的勁度系數(shù)，只由材料的性質所決定，不與x成反比；類似的還有物質的吸熱量Q與比熱容c之間的函數(shù)關系Q=cmΔT、導體兩端的電壓U與電阻R之間的關系U=IR，c與R均由物質本身的性質所決定，與其他變量無關。如果我們在等號左側加上括號和自變量，比如Q(m,ΔT)=cmΔT，那么數(shù)學學習者也會認識到c與其他變量無關，但在物理表述中，我們并不需要這么麻煩。

這些簡單的實例說明，數(shù)學方法在物理學的運用中通常被賦予了特定的物理意義，從而助益于物理的表述與計算。但這并不意味著物理學習者就一定能看到數(shù)學符號所隱含的物理意義，如上文提到的部分物理學專業(yè)的學生不清楚行列式與矩陣在物理學中有何應用。

2 數(shù)學方法在物理學中的意義建構

意義建構是學習過程的最終目標[3]。數(shù)學方法在物理學中的意義建構就是要幫助學生對所學習的數(shù)學方法與物理現(xiàn)象、自然規(guī)律之間的內在聯(lián)系達到較深刻的理解。數(shù)學能夠簡潔準確地表達物理概念與規(guī)律說明其為物理的一種語言，“如何運用數(shù)學語言在物理學中建構物理意義”好比人們“如何通過生活語言在人類活動中發(fā)現(xiàn)認知規(guī)律”。興起于20世紀末的認知語義學在研究語言和人類認知世界之間的關系時提出了具身體驗、百科觀、語境等認知機制[4]，通過大學物理的教學與研究，我們發(fā)現(xiàn)，語言和人類認知世界之間的這些認知機制可以很好地映合到數(shù)學和物理規(guī)律認知的過程之中。

2.1 具身體驗

具身體驗強調通過身體結構、活動方式及其與環(huán)境的互動體驗而形成認知[5]。語言中的“喜”“怒”“哀”“樂”可以通過人體的面部表情來認知，嬰幼兒可以通過觀察、觸摸實物等方式來認識“皮球”“水”“水杯”等語義。通過具身體驗在物理學中認知數(shù)學方法的物理意義，我們主要強調數(shù)學和物理之間的推理與類比，它不同于物理實驗。通過物理實驗活動認知物理現(xiàn)象，強調的是具身體驗在物理科學與自然世界之間的相互作用。

表1 數(shù)學中的等差數(shù)列與物理中的勻變速直線運動公式

2.2 百科觀

認知語言學家Evans和Green明確提出意義表征具有百科性[4]。語義根植于語言使用者的百科知識體系中，應從使用者的認知結構、社會-文化背景知識等方面進行多維描述；反之，語義的理解也取決于語言接受者的認知結構、背景知識等[6]。同理，數(shù)學方法的意義建構根植于數(shù)學“語言”使用者或接受者的百科體系中，使用者或接受者的認知結構、社會-文化背景知識等方面的差異可能會令使用者或接受者為數(shù)學“語言”建構不同的物理意義，且建構過程是一個百科知識動態(tài)應用的過程。在下面的案例中，我們可以看到，對于同一個物理問題，不同的學生會采用不同的數(shù)學“語言”進行思考解答，反映出學生們認知結構、背景知識的差異性和百科性。

案例2： 調查對象：剛修完大學一年級第一學期課程的物理學專業(yè)本科生；調查方式：問答。

問題： 質量為M的物體在水平方向上與勁度系數(shù)為k的彈簧組成振子，以M的自然平衡位置O為坐標軸原點，若物體M在水平方向由原點移動至x位置處，如何求彈力對M做的功W？

B同學： 首先需要外力對這個系統(tǒng)做功，物體的機械能不變，外力做的功轉化為彈簧的彈性勢能，外力拉物體，對物體做功，彈簧又對物體做負功，彈簧對物體做的功的負值就等于外力做的功，外力做的功的值等于彈簧的彈性勢能，等于1/2kx2。

C同學： 彈力F=kx，那么W=Fx=kx2。但是M初始狀態(tài)是在平衡位置，要想移動至x位置應該還得有拉力，看題意摩擦力應該是被忽略的，這樣解好像有點簡單了，所以我不太敢確定。(停頓)Ma=kx，W=1/2Mv2這樣解出來是總的功，老師我覺得我還得再想想，或者老師能不能給些提示？(老師：考慮力和力的方向上的位移，拉力與解題無關，想一下高等數(shù)學里的積分。)F=kx，W=力對位移的積分=1/2kx2。

E同學： 可不可以直接用F-x圖像，求面積就是做的功呀？(停頓)結果是1/2kx2？(老師：這么不自信？怎么求的？)(學生給出了下面的示意圖，并問到：“我感覺這樣也太容易就算出來了呀，所以，我對了嗎？”)(老師：少了一個符號。)啥符號？(老師：負號。)對呦，負功。

圖1 E同學所建構的數(shù)學“語言”：求三角形的面積就是彈力對M做的功

2.3 語境

人的大腦中儲存了大量有關認知事物的百科知識，但在特定時間、特定語境下，認知者只能想到有限的相關知識，例如，案例2中出現(xiàn)的各種知識概念，5位同學都學習過，但每個人想到的知識結構不同，當然，他們的知識結構并非是固定不變的，在老師的提示下，學生的知識結構會發(fā)生遷移。認知語義學認為, 在外部刺激源如何被個體所認知的過程中，語境至關重要[4]，我們認為，在物理教學過程中亦是如此。在案例2中，學生們在聯(lián)想外力時為什么會認為是“拉力”而不是“推力”(x完全可以是負值)？如果我們將問題中的“若物體M在水平方向由原點移動至x位置處”改為“若物體M在水平方向由x位置處移動至原點”，學生們是否還一定會想到“拉力”？再假設，如果我們不問學生們問題，只簡單地給出一句陳述性描述“若物體M在水平方向由原點移動至x位置處”，學生們是否還會潛意識里認為x是正值？這說明，不同的語境線索會使學生對數(shù)學符號“x”產生不同的物理印象，但這種印象不一定是準確的。

數(shù)學方法在物理教學中的意義建構一般會涉及到4種基本的認知資源[7,8]：(1)計算 (Calculation)：在算法上不附加任何物理解釋地進行一系列的數(shù)學計算而得到認為可信的結果。比如，老師在從d2h/dt2=-g推導出h=h0+v0t-1/2gt2的過程中可能不給學生講解其中的任何物理過程，讓學生們認為數(shù)學推導步驟是對的，所以結果也是可信的。(2)物理圖像(Physical mapping)：一個簡單的數(shù)學符號或幾何模型可以豐富地表征物理意義。比如，彈力F=-kx中的負號可以通過一種物理圖像“彈簧回復力的方向與振子位移的方向相反”得到解釋，而無需進行任何數(shù)學上的證明。(3)權威 (Invoking authority)：通過權威性知識讓學生信服。比如，老師在講解轉動慣量的相關知識時，讓學生們直接看教材某頁的某個表格，告訴學生實心球體的轉動慣量I=2/5mR2，圓盤繞中心轉軸的轉動慣量I=1/2mR2…。(4)數(shù)學上的一致性 (Mathematical consistency)：數(shù)學方法具有一定規(guī)律性和可信性，對于不同的物理問題，背后隱藏的數(shù)學原理可能是一致的。比如，老師在講解兩個點電荷之間的庫侖力 時，可能會提醒學生萬有引力并解釋兩者之間的相似性，通過建立某種普適的數(shù)學原理讓學生相信物理問題之間的相關性。

在對數(shù)學方法進行物理意義建構的過程中，還可能會受到學生經(jīng)驗直覺和主觀情感的影響，而且在教學過程中，學生的認識論和意義建構是一個動態(tài)過程。Gupta和Elby的案例研究可以很好地說明學生的認識論和意義建構是如何受經(jīng)驗直覺和情感的影響而動態(tài)變化的[9]。

案例3： 老師問了工程系剛開始學習物理課程的一名學生Jim一個有關水面下壓強的問題。老師先給Jim一個表達式P=P0+ρgh，并在確認Jim沒有見過該表達式的前提下，告訴JimP0和P分別表示水面位置處和水面下深度為h處的壓強，ρ和g分別為水的密度和重力加速度。然后讓Jim根據(jù)公式判斷水面下5m和7m位置處，哪個深度處的壓強大，或者是否相等？Jim認為，從水面向下的方向應為坐標軸的負方向，所以h值均為負數(shù)，然后，Jim就陷入了各種猶豫、困惑和難以抉擇，因為他發(fā)現(xiàn)數(shù)學計算的結果是水面下5m位置處的壓強比7m位置處的大，但經(jīng)驗直覺又讓他難以置信。后來老師提示Jim注意g的方向，然后Jim才明白g方向向下，所以也應該取負值，最后終于茅塞頓開。在隨后的交談中，Jim告訴老師，如果是在考試中，他可能會相信數(shù)學計算的結果而不是自己的經(jīng)驗直覺，因為Jim認為有時候人的直覺并不一定準確，可能會與自己所不知道的事實或者理論相悖。

圖2(a)和(b)分別總結了Jim在難以抉擇中和糾正錯誤后被激活的認知元素與思維活動。可以看出，Jim在難以抉擇中用權威知識(老師給的壓強計算公式)和數(shù)學計算建構的知識抑制住了自己從經(jīng)驗直覺中建構的知識，但又感到非常的“不安”和難以置信。后來在老師的提示下，Jim的經(jīng)驗直覺與計算和權威知識達到了一致，“不安”感得以消除。老師的語境線索使Jim從某一種認識論轉移到了另一種認識論。

圖2 Jim在(a)難以抉擇中和(b)糾正錯誤后被激活的認知元素(實線橢圓)與思維活動(點虛線橢圓)，虛線橢圓表示控制元素，箭頭和實圓點分別表示激活和未被激活的認知元素、思維活動、控制元素之間的關系，灰色表示被抑制

通過上述分析我們意識到，老師在教學過程中需要學會采用合適的語境引導學生在物理學中建構數(shù)學方法的物理意義。在案例2中，為什么高等數(shù)學中的微積分與物理學中的力學在同一個學期開設學習課程，但課程結束后，有些學生還停留在使用高中的知識處理物理問題？這說明他們仍視高中知識為“母語”而微積分為“外語”，幫助學生將高等數(shù)學轉化為大學物理中的“母語”，需要高校教師在教學過程中通過合理的語境引導學生構建高等數(shù)學在大學物理中的意義，通過熟能生巧，讓學生像“看到(x,y,z)就想到直角坐標系”一樣找到數(shù)學方法在物理學中的應用，通過語境線索豐富學生的認識論與資源框架。

3 結語

本文通過分析物理學中的數(shù)學與純數(shù)學的不同，并將“數(shù)學之于物理”與“語言之于生活”進行類比發(fā)現(xiàn)，認知語義學在研究語言和人類認知世界之間的關系時提出的具身體驗、百科觀、語境等認知機制，可以很好地應用于分析和發(fā)現(xiàn)大學生學習物理的認知過程以及數(shù)學方法在融入物理教學過程中存在的問題。案例分析亦表明，目前盡管大學教學中已經(jīng)開設了很多有關高等數(shù)學的課程，但很多學生并不能在學到的數(shù)學方法與物理知識之間建立某種聯(lián)系或做到知識的遷移。因此，在大學教學過程中，教師除了單純地傳授知識外，還應該多了解學生的學習狀態(tài)，根據(jù)學生的百科知識，采用恰當?shù)恼Z境線索激發(fā)學生多樣的認識論資源，通過推理與類比等具身體驗，幫助學生自主學會數(shù)學方法在物理學中的意義建構與應用。