張敬雯 王文玲 董國波

(北京航空航天大學(xué) 1自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院； 2物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100083)

任意波的傳播均滿足運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程與物態(tài)方程[1]，這3個(gè)方程均為非線性方程。在運(yùn)動(dòng)非線性或者介質(zhì)非線性不能忽略的情況下，方程中非線性項(xiàng)不可忽略，這屬于非線性科學(xué)研究的范疇。本文主要研究非線性聲波。

非線性聲波可以劃分為非線性行波和非線性駐波兩類。自S.Earnshaw和B.Riemann分別于1858年和1860年提出非線性平面聲波傳播的隱形表達(dá)式[2]，關(guān)于非線性行波與駐波的研究都有了一定的發(fā)展，但一般來說，其詳細(xì)的理論描述是比較復(fù)雜的。

我們知道，線性聲波是非線性聲波的傳播方程線性近似的結(jié)果，其波動(dòng)具有周期性，聲場中的聲壓平均值為零，不可能得到方向恒定且對(duì)其中物體具有穩(wěn)定性作用的聲輻射力；非線性駐波場中聲壓平均值不為零，故存在聲輻射力，可以對(duì)放置于聲場中的物體有持續(xù)、穩(wěn)定的力的作用。自King[3]首次提出聲輻射力理論之后，出現(xiàn)了不少與聲輻射力相關(guān)的理論和應(yīng)用的研究[4,5]。近年來倍受人們青睞的聲懸浮技術(shù)，就是利用聲波產(chǎn)生的聲輻射力來平衡樣品的重力，從而實(shí)現(xiàn)樣品的無容器懸浮[4]。但由于聲輻射力隨著不同位置而發(fā)生變化，懸浮物在聲場中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)[6]，比較難達(dá)到很穩(wěn)定的狀態(tài)，而聲場穩(wěn)定性是評(píng)價(jià)聲場的重要指標(biāo)，影響了聲懸浮技術(shù)的應(yīng)用前景，因此，對(duì)于物體在聲場中穩(wěn)定性的研究就顯得尤為重要。

Barmatz和Collas等人[6，7]從聲場模式的角度基于Gor’kov[8]的聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)與物體在聲場中振動(dòng)的回復(fù)力常數(shù)給出了評(píng)價(jià)聲場聲懸浮穩(wěn)定性的方法，即已知聲場的具體形式，對(duì)其中的物體進(jìn)行受力分析，推導(dǎo)出物體具體的運(yùn)動(dòng)形式。但此方法只能分析聲場分布完全已知的情況。近年來對(duì)聲懸浮穩(wěn)定性的研究多從聲輻射力的角度出發(fā)，引入聲場模式、熱傳輸、聲流效應(yīng)等影響因素來探究物體穩(wěn)定的條件[9]。但這些方法一方面較為復(fù)雜、需要考慮的因素繁多，另一方面也沒有提出一個(gè)可直觀的反映物體在聲場中穩(wěn)定性的物理量。

本文從非線性駐波聲場的物理特性入手，探究球形物體在聲場中穩(wěn)定性的影響因素，提出能反映物體在聲場中穩(wěn)定性的物理量——聲勢(shì)阱深度。與其他人的工作相比，該物理量能更簡潔、更直觀地描述物體在非線性駐波聲場中的穩(wěn)定性。進(jìn)一步我們實(shí)驗(yàn)搭建了非線性駐波場的聲懸浮裝置，將聚乙烯小球、液滴、昆蟲等物體懸浮其中，通過改變裝置的參數(shù)增大此聲場中的勢(shì)阱深度，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)物體在勢(shì)阱深度值更大的聲場中更穩(wěn)定，由此從實(shí)驗(yàn)上進(jìn)一步檢驗(yàn)了我們理論的合理性。基于此穩(wěn)定性條件的獲得，我們制作出可以對(duì)物體進(jìn)行懸浮觀察的非接觸式聲懸浮顯微鏡，這為優(yōu)化光學(xué)顯微鏡的設(shè)計(jì)提供了一定的指導(dǎo)意義。

1 理論分析

1.1 非線性駐波場中聲輻射力的產(chǎn)生

非線性駐波聲場對(duì)處在其中的物體存在聲輻射力的作用。不同于King[3]使用聲壓計(jì)算聲輻射力的思路，Gor’kov[8]引入聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)，導(dǎo)出了一種更簡單的計(jì)算聲輻射力的方法。在理想空氣流體、小懸浮物近似下，聲場對(duì)放置于場中半徑為R的球形懸浮物產(chǎn)生的聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)為[5]

其中，U為聲場中的聲壓勢(shì)；p為聲場中聲壓分布，即聲場中各點(diǎn)聲壓值，見(2)式；〈p2〉為聲場中聲壓的均方振幅；p0為聲壓的振幅；u為聲場中不同位置處空氣的流速，可以由速度勢(shì)Φ確定，見式(3)和式(4)；〈u·u〉為空氣流速的均方振幅；j為虛數(shù)單位；ω為超聲波振動(dòng)角頻率；ρ為空氣的密度；c為空氣中的聲速，k=ω/c，為波數(shù)。

進(jìn)一步，由勢(shì)能和力的關(guān)系，我們可以通過聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)計(jì)算聲輻射力F，有

F=-U

(5)

可以看到，當(dāng)產(chǎn)生聲場的參數(shù)固定時(shí)聲場中聲壓分布p確定，進(jìn)而聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)確定，則聲場中聲輻射力就確定了。聲輻射力平衡物體重力，使物體懸浮于聲場中，它影響物體在聲場中的運(yùn)動(dòng)特性。也就是說，一旦聲場參數(shù)確定，物體的運(yùn)動(dòng)特征也就確定了。

1.2 聲勢(shì)阱深度的引入

無量綱化的時(shí)間平均勢(shì)為[5]

“什么！沒有？”楊秋香立即發(fā)了火，她眼睛瞪得如雞蛋大，唾沫星子都噴到了楊力生臉上，“你再說一句‘沒有’試試？”楊力生估量她是已經(jīng)知道這回事了，想瞞也瞞不住，只好如實(shí)相告。楊秋香氣得大口喘著氣：“你說說，你說說，這個(gè)家是你一個(gè)人的家，還是兩個(gè)人的家？”

(6)

將式(2)、式(3)和式(4)代入式(6)可得

(7)

引入物理量—聲勢(shì)阱深度H，定義H為勢(shì)阱最深處聲輻射力無量綱化時(shí)間平均勢(shì)的負(fù)值，

(8)

將式(7)代入式(8)可得，

(9)

聲場中聲勢(shì)阱深度H在外界條件即ρ、c不變的情況下，僅與p0有關(guān)，即聲場中聲勢(shì)阱深度正比于勢(shì)阱最深處聲壓振幅的平方。

我們知道勢(shì)阱越深，物體被束縛的程度越高，它要逃脫勢(shì)阱需要的外界能量輸入越大。在同等的外界干擾下，勢(shì)阱更深的聲場對(duì)物體的束縛能力更強(qiáng)，抗干擾能力更強(qiáng)，物體更不易脫離穩(wěn)定狀態(tài)。也就是說，勢(shì)阱深度H這一物理量能形象直觀的反映物體在聲場中被束縛程度，也即：物體在勢(shì)阱更深的聲場中更穩(wěn)定。

所以，要想提高物體在聲場中的穩(wěn)定性，增大勢(shì)阱深度H是關(guān)鍵所在。由式(9)，在外界條件不變的情況下，勢(shì)阱深度正比于勢(shì)阱最深處聲壓振幅的平方，那么，提高物體在聲場中穩(wěn)定性的問題轉(zhuǎn)化為提高聲場中勢(shì)阱最深處聲壓振幅。

1.3 聲懸浮裝置諧振腔中的非線性駐波聲場

聲懸浮裝置是基于非線性駐波場構(gòu)建的可為物體提供聲輻射力以克服其重力而使物體懸浮于聲場中的裝置[10]。以聲懸浮裝置諧振腔中非線性駐波聲場為例，我們通過改變聲懸浮裝置發(fā)射面與反射面的相對(duì)位置，來分析它對(duì)聲場中勢(shì)阱最深處最大聲壓振幅的影響。

圖1 諧振腔示意圖

聲場中的聲壓分布與速度勢(shì)Φ相關(guān)，如式(3)。建立圓柱坐標(biāo)系，由于體系的對(duì)稱性，Φ與環(huán)向坐標(biāo)φ無關(guān)，具有Φ(ρ,z)e-jω t的形式。其空間中Φ(ρ,z)滿足亥姆霍茲方程[4]，

2Φ+k2Φ=0

(10)

邊界條件，

(11)

其中，n為面的法向；v0為超聲波的聲速。

非線性聲場中聲壓分布滿足式(10)和式(11)基本方程，但由于邊界條件很難進(jìn)行準(zhǔn)確的解析計(jì)算，故仿真進(jìn)行數(shù)值求解。

圖2 諧振腔聲勢(shì)阱最深處聲壓絕對(duì)值隨反射面與發(fā)射面球心之間距離改變圖

圖3 典型聲壓分布

對(duì)于圖1所示諧振腔，假設(shè)反射面Γ1與發(fā)射面Γ2的球心O之間的距離為x(向上為正，向下為負(fù))，依次改變x，使用comsol仿真軟件對(duì)聲場中的聲壓分布進(jìn)行仿真，使用的參數(shù)在表1。對(duì)于每一次改變x得到的聲場中聲壓分布仿真結(jié)果，提取出勢(shì)阱最深處聲壓值的絕對(duì)值記為f(x)，結(jié)果如圖2所示，橫坐標(biāo)為x，即反射面距發(fā)射面球心的距離，縱坐標(biāo)為f(x)，即x對(duì)應(yīng)的聲場中勢(shì)阱最深處聲壓值的絕對(duì)值，f(x)反映了隨著x的改變，聲場中勢(shì)阱最深處聲壓振幅如何改變。圖3為聲場中聲壓分布立體圖，形象展示諧振腔內(nèi)各點(diǎn)的聲壓分布隨x的變化關(guān)系。其中：O-xy平面

表1 comsol仿真參數(shù)

為諧振腔通過軸線的剖面圖，z軸表示此點(diǎn)對(duì)應(yīng)的聲壓。

將f(x)代入式(9)勢(shì)阱深度的定義式，計(jì)算各個(gè)x對(duì)應(yīng)的勢(shì)阱深度，得到圖4。

圖4 勢(shì)阱深度隨發(fā)射面與反射面球心之間距離改變圖

由圖4可以看到，在仿真的點(diǎn)中存在兩個(gè)較明顯的極大值，即：x=-20mm、-42mm處聲場中勢(shì)阱深度顯著高于周圍點(diǎn)；X=-20mm時(shí)，勢(shì)阱深度有最大值約為376kJ·m-3，即反射面Γ1位于發(fā)射面球心O以下20mm處諧振腔中勢(shì)阱深度最大，理論上物體位于此時(shí)的聲勢(shì)阱中時(shí)最穩(wěn)定。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與裝置應(yīng)用

2.1 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

我們從理論上找到了使得物體在聲場中最穩(wěn)定時(shí)反射面距發(fā)射面球心的距離，進(jìn)一步在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行驗(yàn)證。

搭建如圖5所示實(shí)驗(yàn)裝置， Arduino uno單片機(jī)編程控制L298N電機(jī)驅(qū)動(dòng)板，驅(qū)動(dòng)板輸出PWM波驅(qū)動(dòng)NU40C10T換能器。使用的器件參數(shù)與仿真一致，超聲波換能器的諧振頻率為40kHz，發(fā)射面的半徑為75mm；反射面為透明平面反射面。本實(shí)驗(yàn)裝置與普通聲懸浮裝置[10]的區(qū)別在于，將兩個(gè)發(fā)射端改為一個(gè)發(fā)射端和一個(gè)位置可調(diào)的透明平面反射面，使聲場中的聲壓分布可變且便于在聲懸浮裝置上端顯微觀察懸浮物。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

連續(xù)調(diào)節(jié)反射面的位置，尋找使懸浮物最穩(wěn)定的點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中，先使反射面Γ1與O點(diǎn)距離為零，將物體懸浮于聲場中，物體可以被成功懸浮，但有肉眼可見的較大幅度振動(dòng)；調(diào)節(jié)Γ1，物體仍可以在聲場中懸浮但穩(wěn)定性隨O與Γ1距離的改變有一定的改變，與理論分析一致；當(dāng)反射面Γ1距O約為20mm時(shí)，物體十分穩(wěn)定，幾乎沒有肉眼可見的運(yùn)動(dòng)，與理論相吻合，由此驗(yàn)證了用聲勢(shì)阱深度描述物體在聲場中的穩(wěn)定性這一理論的可靠性。

2.2 裝置應(yīng)用

改進(jìn)后的聲懸浮裝置可以讓放置其中的懸浮物比較穩(wěn)定，我們利用這一特性，將其與顯微鏡結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮物體的觀察。將調(diào)整好的聲懸浮裝置放置在顯微鏡的鏡頭下代替顯微鏡的載物臺(tái)，從鏡頭中觀察懸浮物，整體裝置如圖6所示，拍攝到的圖像如圖7所示。

圖6 裝置全圖

圖7 拍攝到的懸浮物

我們知道，光學(xué)顯微鏡本身無法自動(dòng)調(diào)節(jié)焦距從而無法對(duì)振動(dòng)的物體進(jìn)行詳細(xì)觀察。本文提出用聲勢(shì)阱深度這一物理量反映物體在聲場中穩(wěn)定性的理論形象簡潔，由對(duì)應(yīng)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以使懸浮物在聲場中的穩(wěn)定性大幅提高，促進(jìn)了將改進(jìn)后的聲懸浮裝置與顯微鏡結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮狀態(tài)的物體進(jìn)行顯微觀察。實(shí)驗(yàn)中成功懸浮了聚乙烯小球、水滴、昆蟲、洋蔥外表皮細(xì)胞，懸浮物在聲場中穩(wěn)定性均很高，可以使用顯微鏡對(duì)其進(jìn)行觀察。

3 結(jié)語

本文定義反映聲場對(duì)物體束縛能力的物理量——聲勢(shì)阱深度，理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合證明此物理量可以直觀地反映物體在聲場中的穩(wěn)定性，避開了現(xiàn)有對(duì)物體在聲場中穩(wěn)定性的復(fù)雜描述[4,6]。正是基于對(duì)物體在聲懸浮裝置中穩(wěn)定性的實(shí)現(xiàn)，制作出可以對(duì)懸浮物進(jìn)行顯微觀察的聲懸浮顯微鏡。