張敬雯 王文玲 董國波

(北京航空航天大學(xué) 1自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院； 2物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100083)

任意波的傳播均滿足運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程與物態(tài)方程[1]，這3個(gè)方程均為非線性方程。在運(yùn)動(dòng)非線性或者介質(zhì)非線性不能忽略的情況下，方程中非線性項(xiàng)不可忽略，這屬于非線性科學(xué)研究的范疇。本文主要研究非線性聲波。

非線性聲波可以劃分為非線性行波和非線性駐波兩類。自S.Earnshaw和B.Riemann分別于1858年和1860年提出非線性平面聲波傳播的隱形表達(dá)式[2]，關(guān)于非線性行波與駐波的研究都有了一定的發(fā)展，但一般來說，其詳細(xì)的理論描述是比較復(fù)雜的。

我們知道，線性聲波是非線性聲波的傳播方程線性近似的結(jié)果，其波動(dòng)具有周期性，聲場(chǎng)中的聲壓平均值為零，不可能得到方向恒定且對(duì)其中物體具有穩(wěn)定性作用的聲輻射力；非線性駐波場(chǎng)中聲壓平均值不為零，故存在聲輻射力，可以對(duì)放置于聲場(chǎng)中的物體有持續(xù)、穩(wěn)定的力的作用。自King[3]首次提出聲輻射力理論之后，出現(xiàn)了不少與聲輻射力相關(guān)的理論和應(yīng)用的研究[4,5]。近年來倍受人們青睞的聲懸浮技術(shù)，就是利用聲波產(chǎn)生的聲輻射力來平衡樣品的重力，從而實(shí)現(xiàn)樣品的無容器懸浮[4]。但由于聲輻射力隨著不同位置而發(fā)生變化，懸浮物在聲場(chǎng)中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)[6]，比較難達(dá)到很穩(wěn)定的狀態(tài)，而聲場(chǎng)穩(wěn)定性是評(píng)價(jià)聲場(chǎng)的重要指標(biāo)，影響了聲懸浮技術(shù)的應(yīng)用前景，因此，對(duì)于物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的研究就顯得尤為重要。

Barmatz和Collas等人[6，7]從聲場(chǎng)模式的角度基于Gor’kov[8]的聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)與物體在聲場(chǎng)中振動(dòng)的回復(fù)力常數(shù)給出了評(píng)價(jià)聲場(chǎng)聲懸浮穩(wěn)定性的方法，即已知聲場(chǎng)的具體形式，對(duì)其中的物體進(jìn)行受力分析，推導(dǎo)出物體具體的運(yùn)動(dòng)形式。但此方法只能分析聲場(chǎng)分布完全已知的情況。近年來對(duì)聲懸浮穩(wěn)定性的研究多從聲輻射力的角度出發(fā)，引入聲場(chǎng)模式、熱傳輸、聲流效應(yīng)等影響因素來探究物體穩(wěn)定的條件[9]。但這些方法一方面較為復(fù)雜、需要考慮的因素繁多，另一方面也沒有提出一個(gè)可直觀的反映物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的物理量。

本文從非線性駐波聲場(chǎng)的物理特性入手，探究球形物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的影響因素，提出能反映物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的物理量——聲勢(shì)阱深度。與其他人的工作相比，該物理量能更簡(jiǎn)潔、更直觀地描述物體在非線性駐波聲場(chǎng)中的穩(wěn)定性。進(jìn)一步我們實(shí)驗(yàn)搭建了非線性駐波場(chǎng)的聲懸浮裝置，將聚乙烯小球、液滴、昆蟲等物體懸浮其中，通過改變裝置的參數(shù)增大此聲場(chǎng)中的勢(shì)阱深度，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)物體在勢(shì)阱深度值更大的聲場(chǎng)中更穩(wěn)定，由此從實(shí)驗(yàn)上進(jìn)一步檢驗(yàn)了我們理論的合理性?；诖朔€(wěn)定性條件的獲得，我們制作出可以對(duì)物體進(jìn)行懸浮觀察的非接觸式聲懸浮顯微鏡，這為優(yōu)化光學(xué)顯微鏡的設(shè)計(jì)提供了一定的指導(dǎo)意義。

1 理論分析

1.1 非線性駐波場(chǎng)中聲輻射力的產(chǎn)生

非線性駐波聲場(chǎng)對(duì)處在其中的物體存在聲輻射力的作用。不同于King[3]使用聲壓計(jì)算聲輻射力的思路，Gor’kov[8]引入聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)，導(dǎo)出了一種更簡(jiǎn)單的計(jì)算聲輻射力的方法。在理想空氣流體、小懸浮物近似下，聲場(chǎng)對(duì)放置于場(chǎng)中半徑為R的球形懸浮物產(chǎn)生的聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)為[5]

其中，U為聲場(chǎng)中的聲壓勢(shì)；p為聲場(chǎng)中聲壓分布，即聲場(chǎng)中各點(diǎn)聲壓值，見(2)式；〈p2〉為聲場(chǎng)中聲壓的均方振幅；p0為聲壓的振幅；u為聲場(chǎng)中不同位置處空氣的流速，可以由速度勢(shì)Φ確定，見式(3)和式(4)；〈u·u〉為空氣流速的均方振幅；j為虛數(shù)單位；ω為超聲波振動(dòng)角頻率；ρ為空氣的密度；c為空氣中的聲速，k=ω/c，為波數(shù)。

進(jìn)一步，由勢(shì)能和力的關(guān)系，我們可以通過聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)計(jì)算聲輻射力F，有

F=-U

(5)

可以看到，當(dāng)產(chǎn)生聲場(chǎng)的參數(shù)固定時(shí)聲場(chǎng)中聲壓分布p確定，進(jìn)而聲輻射力的時(shí)間平均勢(shì)確定，則聲場(chǎng)中聲輻射力就確定了。聲輻射力平衡物體重力，使物體懸浮于聲場(chǎng)中，它影響物體在聲場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特性。也就是說，一旦聲場(chǎng)參數(shù)確定，物體的運(yùn)動(dòng)特征也就確定了。

1.2 聲勢(shì)阱深度的引入

無量綱化的時(shí)間平均勢(shì)為[5]

“什么！沒有？”楊秋香立即發(fā)了火，她眼睛瞪得如雞蛋大，唾沫星子都噴到了楊力生臉上，“你再說一句‘沒有’試試？”楊力生估量她是已經(jīng)知道這回事了，想瞞也瞞不住，只好如實(shí)相告。楊秋香氣得大口喘著氣：“你說說，你說說，這個(gè)家是你一個(gè)人的家，還是兩個(gè)人的家？”

(6)

將式(2)、式(3)和式(4)代入式(6)可得

(7)

引入物理量—聲勢(shì)阱深度H，定義H為勢(shì)阱最深處聲輻射力無量綱化時(shí)間平均勢(shì)的負(fù)值，

(8)

將式(7)代入式(8)可得，

(9)

聲場(chǎng)中聲勢(shì)阱深度H在外界條件即ρ、c不變的情況下，僅與p0有關(guān)，即聲場(chǎng)中聲勢(shì)阱深度正比于勢(shì)阱最深處聲壓振幅的平方。

我們知道勢(shì)阱越深，物體被束縛的程度越高，它要逃脫勢(shì)阱需要的外界能量輸入越大。在同等的外界干擾下，勢(shì)阱更深的聲場(chǎng)對(duì)物體的束縛能力更強(qiáng)，抗干擾能力更強(qiáng)，物體更不易脫離穩(wěn)定狀態(tài)。也就是說，勢(shì)阱深度H這一物理量能形象直觀的反映物體在聲場(chǎng)中被束縛程度，也即：物體在勢(shì)阱更深的聲場(chǎng)中更穩(wěn)定。

所以，要想提高物體在聲場(chǎng)中的穩(wěn)定性，增大勢(shì)阱深度H是關(guān)鍵所在。由式(9)，在外界條件不變的情況下，勢(shì)阱深度正比于勢(shì)阱最深處聲壓振幅的平方，那么，提高物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的問題轉(zhuǎn)化為提高聲場(chǎng)中勢(shì)阱最深處聲壓振幅。

1.3 聲懸浮裝置諧振腔中的非線性駐波聲場(chǎng)

聲懸浮裝置是基于非線性駐波場(chǎng)構(gòu)建的可為物體提供聲輻射力以克服其重力而使物體懸浮于聲場(chǎng)中的裝置[10]。以聲懸浮裝置諧振腔中非線性駐波聲場(chǎng)為例，我們通過改變聲懸浮裝置發(fā)射面與反射面的相對(duì)位置，來分析它對(duì)聲場(chǎng)中勢(shì)阱最深處最大聲壓振幅的影響。

圖1 諧振腔示意圖

聲場(chǎng)中的聲壓分布與速度勢(shì)Φ相關(guān)，如式(3)。建立圓柱坐標(biāo)系，由于體系的對(duì)稱性，Φ與環(huán)向坐標(biāo)φ無關(guān)，具有Φ(ρ,z)e-jω t的形式。其空間中Φ(ρ,z)滿足亥姆霍茲方程[4]，

2Φ+k2Φ=0

(10)

邊界條件，

(11)

其中，n為面的法向；v0為超聲波的聲速。

非線性聲場(chǎng)中聲壓分布滿足式(10)和式(11)基本方程，但由于邊界條件很難進(jìn)行準(zhǔn)確的解析計(jì)算，故仿真進(jìn)行數(shù)值求解。

圖2 諧振腔聲勢(shì)阱最深處聲壓絕對(duì)值隨反射面與發(fā)射面球心之間距離改變圖

圖3 典型聲壓分布

對(duì)于圖1所示諧振腔，假設(shè)反射面Γ1與發(fā)射面Γ2的球心O之間的距離為x(向上為正，向下為負(fù))，依次改變x，使用comsol仿真軟件對(duì)聲場(chǎng)中的聲壓分布進(jìn)行仿真，使用的參數(shù)在表1。對(duì)于每一次改變x得到的聲場(chǎng)中聲壓分布仿真結(jié)果，提取出勢(shì)阱最深處聲壓值的絕對(duì)值記為f(x)，結(jié)果如圖2所示，橫坐標(biāo)為x，即反射面距發(fā)射面球心的距離，縱坐標(biāo)為f(x)，即x對(duì)應(yīng)的聲場(chǎng)中勢(shì)阱最深處聲壓值的絕對(duì)值，f(x)反映了隨著x的改變，聲場(chǎng)中勢(shì)阱最深處聲壓振幅如何改變。圖3為聲場(chǎng)中聲壓分布立體圖，形象展示諧振腔內(nèi)各點(diǎn)的聲壓分布隨x的變化關(guān)系。其中：O-xy平面

表1 comsol仿真參數(shù)

為諧振腔通過軸線的剖面圖，z軸表示此點(diǎn)對(duì)應(yīng)的聲壓。

將f(x)代入式(9)勢(shì)阱深度的定義式，計(jì)算各個(gè)x對(duì)應(yīng)的勢(shì)阱深度，得到圖4。

圖4 勢(shì)阱深度隨發(fā)射面與反射面球心之間距離改變圖

由圖4可以看到，在仿真的點(diǎn)中存在兩個(gè)較明顯的極大值，即：x=-20mm、-42mm處聲場(chǎng)中勢(shì)阱深度顯著高于周圍點(diǎn)；X=-20mm時(shí)，勢(shì)阱深度有最大值約為376kJ·m-3，即反射面Γ1位于發(fā)射面球心O以下20mm處諧振腔中勢(shì)阱深度最大，理論上物體位于此時(shí)的聲勢(shì)阱中時(shí)最穩(wěn)定。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與裝置應(yīng)用

2.1 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

我們從理論上找到了使得物體在聲場(chǎng)中最穩(wěn)定時(shí)反射面距發(fā)射面球心的距離，進(jìn)一步在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行驗(yàn)證。

搭建如圖5所示實(shí)驗(yàn)裝置， Arduino uno單片機(jī)編程控制L298N電機(jī)驅(qū)動(dòng)板，驅(qū)動(dòng)板輸出PWM波驅(qū)動(dòng)NU40C10T換能器。使用的器件參數(shù)與仿真一致，超聲波換能器的諧振頻率為40kHz，發(fā)射面的半徑為75mm；反射面為透明平面反射面。本實(shí)驗(yàn)裝置與普通聲懸浮裝置[10]的區(qū)別在于，將兩個(gè)發(fā)射端改為一個(gè)發(fā)射端和一個(gè)位置可調(diào)的透明平面反射面，使聲場(chǎng)中的聲壓分布可變且便于在聲懸浮裝置上端顯微觀察懸浮物。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

連續(xù)調(diào)節(jié)反射面的位置，尋找使懸浮物最穩(wěn)定的點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中，先使反射面Γ1與O點(diǎn)距離為零，將物體懸浮于聲場(chǎng)中，物體可以被成功懸浮，但有肉眼可見的較大幅度振動(dòng)；調(diào)節(jié)Γ1，物體仍可以在聲場(chǎng)中懸浮但穩(wěn)定性隨O與Γ1距離的改變有一定的改變，與理論分析一致；當(dāng)反射面Γ1距O約為20mm時(shí)，物體十分穩(wěn)定，幾乎沒有肉眼可見的運(yùn)動(dòng)，與理論相吻合，由此驗(yàn)證了用聲勢(shì)阱深度描述物體在聲場(chǎng)中的穩(wěn)定性這一理論的可靠性。

2.2 裝置應(yīng)用

改進(jìn)后的聲懸浮裝置可以讓放置其中的懸浮物比較穩(wěn)定，我們利用這一特性，將其與顯微鏡結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮物體的觀察。將調(diào)整好的聲懸浮裝置放置在顯微鏡的鏡頭下代替顯微鏡的載物臺(tái)，從鏡頭中觀察懸浮物，整體裝置如圖6所示，拍攝到的圖像如圖7所示。

圖6 裝置全圖

圖7 拍攝到的懸浮物

我們知道，光學(xué)顯微鏡本身無法自動(dòng)調(diào)節(jié)焦距從而無法對(duì)振動(dòng)的物體進(jìn)行詳細(xì)觀察。本文提出用聲勢(shì)阱深度這一物理量反映物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的理論形象簡(jiǎn)潔，由對(duì)應(yīng)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以使懸浮物在聲場(chǎng)中的穩(wěn)定性大幅提高，促進(jìn)了將改進(jìn)后的聲懸浮裝置與顯微鏡結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮狀態(tài)的物體進(jìn)行顯微觀察。實(shí)驗(yàn)中成功懸浮了聚乙烯小球、水滴、昆蟲、洋蔥外表皮細(xì)胞，懸浮物在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性均很高，可以使用顯微鏡對(duì)其進(jìn)行觀察。

3 結(jié)語

本文定義反映聲場(chǎng)對(duì)物體束縛能力的物理量——聲勢(shì)阱深度，理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合證明此物理量可以直觀地反映物體在聲場(chǎng)中的穩(wěn)定性，避開了現(xiàn)有對(duì)物體在聲場(chǎng)中穩(wěn)定性的復(fù)雜描述[4,6]。正是基于對(duì)物體在聲懸浮裝置中穩(wěn)定性的實(shí)現(xiàn)，制作出可以對(duì)懸浮物進(jìn)行顯微觀察的聲懸浮顯微鏡。