廖小琴 邵貴明

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出直觀想象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.本文提出使用3D軟件輔助教學(xué)可以展示空間圖形，為學(xué)生理解和掌握?qǐng)D形幾何結(jié)構(gòu)與特征提供直觀.通過(guò)例子闡述3D軟件在數(shù)學(xué)課堂中的作用，并探討了在此技術(shù)的輔助下如何引導(dǎo)學(xué)生提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】3D軟件;直觀想象;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)分析中，直觀想象是高中學(xué)生必須具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.要求學(xué)生會(huì)借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.[1]高中立體幾何的學(xué)習(xí)主要在培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力.立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”.其原因就是學(xué)生缺乏直觀想象力.而高一年級(jí)是立體幾何學(xué)習(xí)的起始年級(jí).學(xué)生在初中階段接觸的是一些簡(jiǎn)單的平面幾何內(nèi)容，他們?cè)谶@一階段并沒(méi)有建立起比較強(qiáng)的空間感，所以學(xué)起來(lái)就更加吃力.

而時(shí)下中國(guó)信息技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入了3D時(shí)代.3D建模技術(shù)和3D打印技術(shù)實(shí)現(xiàn)了用“虛擬”再造“現(xiàn)實(shí)”的嶄新境界.3D制作當(dāng)然也離不開(kāi)考驗(yàn)制作者的直觀想象力和幾何計(jì)算能力.例如，要3D打印一個(gè)螺栓和螺帽，那么螺栓圓柱體底面圓的直徑要設(shè)計(jì)多大才能對(duì)應(yīng)到螺帽呢？大了則套不進(jìn)，小了則會(huì)松.所以，在3D打印中，立體幾何的直觀想象變得尤為重要.故此，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作者，我們有責(zé)任培養(yǎng)出具有直觀想象素養(yǎng)的人才，為學(xué)生以后的發(fā)展做好能力鋪墊.同時(shí)，反過(guò)來(lái)3D軟件也可以為我們的教學(xué)服務(wù)，讓立體幾何教學(xué)更具有生動(dòng)性、直觀性，有利于學(xué)生認(rèn)清空間事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用3D圖形動(dòng)態(tài)描述、分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以例子展開(kāi)本人在3D軟件輔助教學(xué)的一些體會(huì).

一、巧用軟件認(rèn)清空間事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律

與球組合的幾何體問(wèn)題，一種是內(nèi)切、一種是外接，這兩種特殊的位置關(guān)系在高考中既是必考題型，又是難點(diǎn)，但學(xué)生往往因缺乏空間想象能力而感到模糊.在“正方體的內(nèi)切球和外接球”這節(jié)課上，內(nèi)切球和外接球的理解和作圖是一個(gè)難點(diǎn).如果我們不做任何的展示，而直接讓學(xué)生生成直觀圖時(shí)，會(huì)出現(xiàn)有一些學(xué)生把多種球之間的關(guān)系搞混亂：內(nèi)切球畫(huà)成了內(nèi)含球，外接球畫(huà)成外包球.然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中，我們很難找到現(xiàn)成的教具展示給學(xué)生看，到底“切”是怎么切的，而“接”又是怎么個(gè)接法.教學(xué)上非常需要一個(gè)教具讓學(xué)生從不同的視覺(jué)角度觀察球內(nèi)切或外接正方體時(shí)正方體的點(diǎn)、線、面與球的球心和半徑等要素之間的關(guān)系.

如果這個(gè)時(shí)候，教師及時(shí)采用3D軟件把球從內(nèi)含到外包的過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，并在過(guò)程中點(diǎn)出內(nèi)切球的“切”是跟正方體的面的中心相切，而外接球的“接”是跟正方體的各頂點(diǎn)相接.演示過(guò)程中就能非常清晰地把球與正方體之間的位置關(guān)系形象地展現(xiàn)給學(xué)生，而這些動(dòng)態(tài)展示又恰恰是傳統(tǒng)教學(xué)或?qū)嵨镎故舅荒鼙葦M的！

同時(shí)，在這節(jié)課上學(xué)生對(duì)外接球直徑是正方體體對(duì)角線的理解也是一個(gè)難點(diǎn).怎樣才能體現(xiàn)正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑呢？傳統(tǒng)教學(xué)中很難用語(yǔ)言清晰地描述給學(xué)生聽(tīng).即使采用作圖法給出了圖1，把正方體畫(huà)成內(nèi)接在小圓和大圓搭建的球框架內(nèi)，也會(huì)存在有學(xué)生因缺乏空間想象力看不懂直觀圖而無(wú)法理解的情況.在傳統(tǒng)教學(xué)上我們是通過(guò)正方體外接球?qū)敲娴慕孛鎴D展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生通過(guò)想象還原到正方體當(dāng)中理解.但為什么要畫(huà)對(duì)角面的截面圖呢？傳統(tǒng)教學(xué)上也是比較難直觀地告訴學(xué)生.但運(yùn)用3D軟件對(duì)實(shí)物進(jìn)行360度的旋轉(zhuǎn)展示，就可以直觀地找到如圖2所示的視角，非常清晰地展現(xiàn)正方體對(duì)角面上的所有點(diǎn)都在球面上，而球心也在面內(nèi)的對(duì)角線上.通過(guò)軟件還能進(jìn)一步地在直觀圖上切割出正方體外接球的對(duì)角面（如圖3所示），使得學(xué)生獲得更直觀的體驗(yàn).

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面，是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).”這節(jié)課還可以更有趣的是：再給出一些非正方體的幾何體，讓學(xué)生自己嘗試?yán)?D軟件作出其內(nèi)切球或外接球并通過(guò)觀察研究出其半徑.通過(guò)3D軟件進(jìn)入課堂，我們可以將抽象的問(wèn)題具體化，有效地為學(xué)生提供感性材料，化靜為動(dòng)，具有圖文并茂、形象直觀、動(dòng)態(tài)逼真等特點(diǎn).它能充分展示立體知識(shí)的形成和思維過(guò)程，促使學(xué)生“知其然并知其所以然”.

二、利用3D圖形動(dòng)態(tài)描述、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

3D軟件輔助教學(xué)獨(dú)特的價(jià)值，在于通過(guò)整合為學(xué)生提供逼近真實(shí)、富有現(xiàn)實(shí)意義的學(xué)習(xí)情境，以利于學(xué)生高階思維與積極情感的投入，解決復(fù)雜問(wèn)題，從而全面提升學(xué)生知識(shí)、能力與情意方面的核心素養(yǎng).[3]其實(shí)，在解決空間幾何問(wèn)題時(shí)，在直觀圖中許多原本相等、平行、垂直或異面的直線由于“變形”“傾斜”等原因，學(xué)生很難觀察出來(lái)，而導(dǎo)致問(wèn)題解決錯(cuò)誤或解決不了.但當(dāng)幾何體經(jīng)過(guò)“3D轉(zhuǎn)動(dòng)”后，或許就能把原本難以理解或想象的問(wèn)題變得更直觀和簡(jiǎn)單，同時(shí)也能更快地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的“立體平面圖的空間感”，迅速提升直觀想象素養(yǎng).

在這道題中，對(duì)剛接觸立體幾何的高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于缺乏空間感，有些學(xué)生就會(huì)把AC1與BC理解為相交直線來(lái)求，結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.但如果我們?cè)谡n堂中嘗試使用3D軟件從不同角度展現(xiàn)該長(zhǎng)方體，當(dāng)出現(xiàn)如圖5所示的視角時(shí)就能讓學(xué)生看出AC1與BC這兩條直線是異面直線，不相交的關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)找平行線的方法找出∠AC1B1就是AC1與BC所成的角的平面角.

題意是讓學(xué)生畫(huà)出PQR平面截取正方體后的形狀，也就需要學(xué)生把該截面與正方體的其余相交直線畫(huà)出來(lái).這道題是對(duì)學(xué)生的空間思維能力提出了更高的要求.很多學(xué)生都不能完成.故此，我們可以嘗試使用3D軟件輔助解題.首先，我們可以在3D軟件中建立正方體.

然后，旋轉(zhuǎn)角度連接PQ，并延長(zhǎng)PQ，使其與A1B1相交于E點(diǎn).

再連接RE交B1C1于F點(diǎn).

此時(shí)，不難證出△PQB≌△QB1E≌△B1EF≌△RC1F，所以點(diǎn)F是B1C1中點(diǎn).而此時(shí)相交直線RF與PQ所確定的平面就是我們要找的截面.

如此類推，我們把正方體像骰子般轉(zhuǎn)動(dòng)，由此而引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考探究.問(wèn)是否能作出該截面在其他平面上的交線呢？通過(guò)引導(dǎo)讓學(xué)生把該截面在正方體其余各面的交線畫(huà)出來(lái).最后我們?cè)倮?D軟件中的切割工具對(duì)幾何體進(jìn)行切割，很快就可以得出切面.

同時(shí)，再把切割平面轉(zhuǎn)正，由此而檢驗(yàn)學(xué)生作出的平面是否與軟件作出的平面一致，并能直觀地看出所截取的平面就是正六邊形.

一幅幅的3D動(dòng)態(tài)畫(huà)面在展示和推導(dǎo)中能不斷地帶動(dòng)學(xué)生深入分析問(wèn)題，使學(xué)生在不斷的觀察和分析中形成直觀想象素養(yǎng).深度教學(xué)領(lǐng)軍人郭元祥教授曾提出：增強(qiáng)課堂的畫(huà)面感是促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解，獲得知識(shí)的意義增值，達(dá)成知識(shí)發(fā)展價(jià)值的基本途徑.課堂的畫(huà)面感通過(guò)將知識(shí)表征化促進(jìn)學(xué)生對(duì)符號(hào)知識(shí)的深度理解.[4]3D軟件參與解題的過(guò)程才能引起學(xué)生豐富多樣的再造想象、創(chuàng)造想象和以后在解題過(guò)程中就會(huì)自然而然產(chǎn)生的空間幾何聯(lián)想.

直觀想象是解決立體幾何問(wèn)題的重要核心素養(yǎng).通過(guò)3D軟件對(duì)幾何體的翻轉(zhuǎn)變換、伸縮變形、切割變化等操作過(guò)程有利于提升學(xué)生對(duì)幾何體的直觀理解和形成空間想象，降低數(shù)學(xué)解題的門檻，使得復(fù)雜問(wèn)題直觀化.同時(shí)，也會(huì)促使學(xué)生在以后解題中能自動(dòng)生成換位思想和幾何聯(lián)想，直觀想象素養(yǎng)自然而然得到提升.總之，要提升學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)，需要師生每一堂課的積累與努力.教師本身要勇于學(xué)習(xí)研究3D軟件、積極實(shí)踐，開(kāi)展學(xué)科課堂教學(xué)改革，才能有效落實(shí)和提升學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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[4]郭元祥.增強(qiáng)課堂的畫(huà)面感——談?wù)n程改革的深化（5）[J].新教師，2016（5）：13-15.