山東

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課程逐漸展開的過程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.“直觀想象”是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物.一提到“直觀想象”，人們往往先想到的是立體幾何和解析幾何問題，殊不知，“直觀想象”的滲透頗為廣泛，在許多代數(shù)問題尤其是函數(shù)問題中也體現(xiàn)得淋漓盡致！

由于函數(shù)在整個高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位，因而在高考或各地模擬考試的壓軸小題中頻繁出現(xiàn)與函數(shù)相關(guān)聯(lián)的導(dǎo)數(shù)、方程及不等式的一類問題，起到了“一夫當(dāng)關(guān)，萬夫莫開”的把關(guān)定向作用.這類問題不僅能很好地考查函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識以及換元、構(gòu)造、對應(yīng)、配湊等意識及知識的綜合運(yùn)用能力，而且適時(shí)地構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象使問題的解決明朗化，也是培養(yǎng)和形成“直觀想象”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體.本文將對實(shí)例(主要是教學(xué)考試雜志社原創(chuàng)研發(fā)試題)進(jìn)行剖析，力求揭示“直觀想象”在求解函數(shù)壓軸小題這類試題中的滲透，探索它們的題型規(guī)律，以期望在三輪復(fù)習(xí)的沖刺階段為教師指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)做出參考.

一、函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個數(shù)的判斷

例1.已知關(guān)于x的方程(ex-1)2-|ex-1|+k=0，當(dāng)k∈R,方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)可能是

( )

A.3 B.4

C.6 D.8

解析：由題意，設(shè)t=|ex-1|(t≥0)，則方程可化為t2-t+k=0①，做出函數(shù)y=|ex-1|的圖象.

結(jié)合圖象可知，當(dāng)t=0或t≥1時(shí)，方程有一個實(shí)數(shù)根，當(dāng)t<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，0

所以，對于①，

當(dāng)k=0時(shí)，①有兩個根，分別是t=0,t=1，則方程|ex-1|=0,x=ln1=0，|ex-1|=1,x=ln2，共2個實(shí)數(shù)根；

當(dāng)k<0時(shí)，①有一正根一負(fù)根，并且正根大于1，當(dāng)|ex-1|=負(fù)根無意義，當(dāng)|ex-1|=正根時(shí)，方程有兩個實(shí)數(shù)根，綜上，故選B.

點(diǎn)評：本題是含有絕對值的方程根的個數(shù)判斷問題，在換元后將原方程轉(zhuǎn)化為新元的一元二次方程的基礎(chǔ)上，構(gòu)造絕對值函數(shù)(分段函數(shù))，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論做出判斷的，很好地考查了函數(shù)與方程、函數(shù)圖象、絕對值函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用.結(jié)合圖象直觀合理地分情況討論是解題的關(guān)鍵.

例2.已知函數(shù)g(x)=8e[ln(x+1)]2-(2e+8)(x+1)·|ln(x+1)|，f(x)=-2x2，則方程g(x)-f(x+1)=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為

( )

A.4 B.5

C.6 D.7

解析：因?yàn)榉匠蘥(x)-f(x+1)=0，所以

8e[ln(x+1)]2-(2e+8)(x+1)|ln(x+1)|+2(x+1)2=0.

點(diǎn)評：本題以方程的根的個數(shù)判斷為背景，考查了方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化、換元、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用等知識，最后結(jié)合圖象做出判斷，很好地考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、函數(shù)方程中關(guān)系式的求值問題

( )

A.e B.1-m

C.1+m D.1

點(diǎn)評：本題依據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，換元轉(zhuǎn)化為新元的一元二次方程后利用韋達(dá)定理，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，做出圖象后整體求解.很好地考查了換元轉(zhuǎn)化、整體處理的意識和直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的運(yùn)用.

( )

A.a-1 B.1-a

C.-1 D.1

點(diǎn)評：本題是例3的姊妹題，是將例3基于指數(shù)式形式的呈現(xiàn)轉(zhuǎn)換為了對數(shù)式形式的呈現(xiàn)，其解答思路與例3如出一轍，換元轉(zhuǎn)化為新元的一元二次方程后利用韋達(dá)定理，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，做出圖象后整體求解.其中結(jié)合函數(shù)求解，很好地體現(xiàn)了“直觀想象”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透.

三、函數(shù)方程中參數(shù)范圍的確定

( )

點(diǎn)評：本題以新定義運(yùn)算為背景，構(gòu)造函數(shù)，在利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)和變化趨勢的基礎(chǔ)上，做出圖象，結(jié)合圖象求解，很好地體現(xiàn)了“直觀想象”數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透應(yīng)用.

點(diǎn)評：解決此類問題往往將問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用以及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的確定

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+e4x-2m(x+2e2x)+5m2，所以f(x)=(x-m)2+(e2x-2m)2，可表示兩動點(diǎn)P(x,e2x),Q(m,2m)距離的平方.

點(diǎn)評：本題充分挖掘函數(shù)式所蘊(yùn)含的幾何背景，將不等式成立轉(zhuǎn)化為最值問題，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，充分體現(xiàn)“直觀想象”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透.

( )

點(diǎn)評：本題基于高考的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考查轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想，在分類討論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖象進(jìn)行求解，很好地考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

啟示感悟

1.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是相對于其他素養(yǎng)而言的，是專指一個人在處理事情的過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)與水平的高低，或者是情境中某些因素激發(fā)了個人關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使得個人更多地從數(shù)學(xué)角度來看待問題.近幾年高考命題的趨勢表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查越來越多、越來越明顯，高考中滲透和強(qiáng)化對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查是近年高考命題的一大趨勢.因此，在高考復(fù)習(xí)備考的沖刺階段，無論是對高考命題規(guī)律的分析和趨勢的預(yù)測，還是對熱點(diǎn)題型的分析，都不能忽視對核心素養(yǎng)的考查.關(guān)注核心素養(yǎng)考查的變化趨勢，也就是關(guān)注高考的命題趨勢.