廣東

隨著高考命題改革的深入，高考數(shù)學(xué)秉承“多考如何想，少考如何算”的命題理念，越來越重視對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查.從2019年數(shù)學(xué)高考大綱傳遞出的信息來看，預(yù)測2019年高考會把考查的重點轉(zhuǎn)移到對數(shù)據(jù)的分析、理解和找規(guī)律上，減少繁雜的運(yùn)算，突出對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，注重對考生從“解題”走向“解決問題”的能力的考查.

在緊張的高考考前備考階段，使復(fù)習(xí)取得事半功倍的效果，無疑是廣大師生熱切盼望的事.但問題在于，在高考臨近的情況下，我們的教學(xué)將如何培養(yǎng)學(xué)生從“解題”走向“解決問題”的能力，使復(fù)習(xí)備考的成效更上一層樓呢？以下從三個方面談?wù)務(wù)J識，供老師們指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時參考.

一、突出“問題變式”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性

解決問題是高考數(shù)學(xué)的“主旋律”，在臨考前的教學(xué)中，對一些典型試題，先來“解題”，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式，延伸出一類問題，從而走向“解決問題”，達(dá)到提高復(fù)習(xí)效率的目的.下面以一道《教學(xué)考試》雜志社優(yōu)師計劃項目研發(fā)試題為例.

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解析：本題是三角函數(shù)求值題，主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式和簡單的三角恒等變換等知識.

解法1.因為tan(2 019π+α)=3，所以tanα=3.

解法2.因為tan(2 019π+α)=3，所以tanα=3.

因為sin2α+cos2α=1，

這樣來看，解法2的計算量比解法1的計算量要小的多.不僅如此，我們通過解法2，還可以將題目的條件弱化，去掉“α是第三象限角”，便有下面的變式題.

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此變式真正體現(xiàn)出了“多考想，少考算”的高考命題思路.

由此我們可以提煉出這類問題的模型：已知tanα的值，求可化為關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值.

以上過程很好地培養(yǎng)了學(xué)生從“解題”走向“解決問題”的能力.這樣的教學(xué)給一道題帶來的作用比刷數(shù)道題都要大.

二、重視“數(shù)學(xué)估算”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性

“估算法”就是采用近似處理的手段來簡化解決問題的方法，它實質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)思維意識，以正確的算理為基礎(chǔ)，通過迅速、合理的觀察、分析、比較、判斷和推理，在眾多信息面前，尋求出一些有用的或關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，達(dá)到對問題進(jìn)行判斷、辨誤、探索、導(dǎo)向、顯隱、評價和優(yōu)化的目的，從而使問題得到迅速地解決.“估算法”蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是一種較高層次的數(shù)學(xué)能力.作為數(shù)學(xué)三大題型之一的選擇題，由于其題型的特點，運(yùn)用“估算法”有著得天獨厚的優(yōu)勢.

因此，在高考備考的臨考階段，重視估算教學(xué)，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)估算法解數(shù)學(xué)選擇題的基本對策的研究和方法指導(dǎo)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力頗有裨益.

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解析：本題以球與三棱錐的組合為背景考查空間幾何體體積的計算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解三棱錐體積最大時的情形.

解法1.三棱錐D-ABC的底面ABC位置確定時，高越大，體積越大，此時三棱錐D-ABC為正三棱錐.

從“解題”角度來看，解法1值得稱道.但這種解法需要首先求出等邊△ABC的邊長，再求△ABC外接圓的半徑，進(jìn)而根據(jù)球的截面性質(zhì)求出三棱錐D-ABC的高，最后求得體積的最大值，計算量很大.所以從“解決問題”的視角來看，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.而下面的“估算法”可以彌補(bǔ)這點不足.

由此看來，“估算法”不僅是一種快速解題的方法，更重要的是與“多想、少算、快算”和“解決問題”的理念相契合.

三、強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣泛性

把高考內(nèi)容與國家經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步和生產(chǎn)生活緊密結(jié)合，通過設(shè)置實際問題情境考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”走向“解決問題”是2019年高考命題的趨勢之一，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題承載著這一重要“使命”，而概率統(tǒng)計應(yīng)用問題則是良好的載體，且難度有增加的趨勢.在高考命題中，應(yīng)用題部分還將數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟減少，為考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型.采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解和找規(guī)律上，減少復(fù)雜的運(yùn)算，突出對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”到“解決問題”的能力的培養(yǎng).

例3.(2018·全國卷Ⅱ理·18)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

(Ⅱ)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

解析：(Ⅰ)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

(Ⅱ)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

理由如下：

(ⅰ)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性回歸模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性回歸模型②可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

(ⅱ)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.(數(shù)據(jù)分析)

以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.