湖南

通過基本性質(zhì)、定理、公式推導(dǎo)出來并廣泛應(yīng)用的結(jié)論性質(zhì)被稱為“二級(jí)結(jié)論”.二級(jí)結(jié)論把程序性知識(shí)固化為結(jié)果性知識(shí)，形成知識(shí)組塊.二級(jí)結(jié)論的核心在于幫助學(xué)生在考試中迅速的利用一些“快準(zhǔn)狠”的結(jié)論來解答一些問題，以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)快速提高.在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中筆者發(fā)現(xiàn)，及時(shí)歸納并總結(jié)一些常用的二級(jí)結(jié)論，對(duì)于學(xué)生提高解題成功率、縮短運(yùn)算時(shí)間非常有幫助.下面將高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)而且教材上有所體現(xiàn)的部分二級(jí)結(jié)論呈現(xiàn)給大家,部分結(jié)論對(duì)學(xué)生的解題有很好的指導(dǎo)作用,同時(shí)對(duì)演算結(jié)果有精準(zhǔn)的驗(yàn)證作用,以便同學(xué)們?cè)诮獯鸶呖碱}時(shí)做到準(zhǔn)確、快捷.

一、函數(shù)問題中常用二級(jí)結(jié)論

結(jié)論一 奇函數(shù)的最值性質(zhì)

已知函數(shù)f(x)是定義在集合D上的奇函數(shù),則對(duì)任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.

【答案】2

【點(diǎn)評(píng)】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它的最大值和最小值點(diǎn)肯定也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也就是最大值和最小值互為相反數(shù).本題型的解題方向就是設(shè)法將函數(shù)解析式進(jìn)行分解，盡量分離出一個(gè)奇函數(shù)和常數(shù)或者具有單調(diào)性的部分，以達(dá)到速解目的.

結(jié)論二 抽象函數(shù)的對(duì)稱性

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).

【例2】已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)+g(-x)的值為

( )

A.2 B.1

C.0 D.不能確定

【答案】A

結(jié)論三 周期函數(shù)問題

已知定義在R上的函數(shù)f(x),若對(duì)任意的x∈R,總存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),則稱f(x)是周期函數(shù),T為其一個(gè)周期.

常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下:

1.如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

3.如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

4.如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=6a.

5.若函數(shù)f(x)具有對(duì)稱軸x=a，x=b(a≠b)，則f(x)為周期函數(shù)且一個(gè)正周期為|2a-2b|.

6.若函數(shù)f(x)具有對(duì)稱中心(a,0)，(b,0)(a≠b)，則f(x)為周期函數(shù)且一個(gè)正周期為|2a-2b|.

7.若函數(shù)f(x)具有對(duì)稱軸x=a和對(duì)稱中心(b,0)(a≠b)，則f(x)為周期函數(shù)且一個(gè)正周期為|4a-4b|.

【答案】A

所以f(x)為偶函數(shù).

于是f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0，

所以f(1)+f(2)+…+f(2 019)=673×(f(1)+f(2)+f(3))=0.

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的對(duì)稱性與周期性結(jié)論因?yàn)橄嗨贫雀?，運(yùn)用時(shí)容易混淆.區(qū)分的關(guān)鍵是括號(hào)內(nèi)x的系數(shù)符號(hào)“同號(hào)看周期，異號(hào)看對(duì)稱”.本題給出了對(duì)稱性和周期性的條件，需要分別利用對(duì)稱性和周期性結(jié)論，發(fā)現(xiàn)f(x)的奇偶性和周期性，進(jìn)而得到問題的解答.

二、空間立體幾何中常用二級(jí)結(jié)論

結(jié)論四 多面體的外接球和內(nèi)切球

2.已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，若PA=a，△ABC的外接圓半徑為r，則該三棱錐P-ABC的外接球半徑R滿足(2R)2=(2r)2+a2.

3.棱錐的兩個(gè)側(cè)面互相垂直，已知兩個(gè)相互垂直的面的外接圓半徑的長(zhǎng)及其公共棱的長(zhǎng)度的情形：已知三棱錐A-BCD中，面ABD⊥面BCD，且△ABD，△BCD的外接圓半徑分別記為r1,r2，公共棱BD=a，則該三棱錐的外接球半徑R滿足：(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-a2.

【例4】在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.已知在鱉臑M-ABC中，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，則該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為________.

【解析】設(shè)MC的中點(diǎn)為O，如圖，

由AB=BC=2，且△ABC為直角三角形，得∠ABC=90°.

【點(diǎn)評(píng)】求多面體的外接球和內(nèi)切球的策略不同，外接球盡量通過補(bǔ)形法或直接利用已有結(jié)論計(jì)算半徑(或者直徑)，而內(nèi)切球常常利用等體積法來求.本題由條件不難看出球的直徑就是三棱錐的側(cè)棱MC，也可直接將三棱錐補(bǔ)形成正方體.而內(nèi)切球的半徑由割補(bǔ)法，把三棱錐切割成以各面為底，球心為頂點(diǎn)的四個(gè)三棱錐，再利用三棱錐體積相等求半徑.

三、解析幾何中常用二級(jí)結(jié)論

結(jié)論五 焦點(diǎn)三角形的面積公式

( )

C.3 D.2

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題的巧妙之處在于利用橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式，得到橢圓的半短軸與雙曲線的半虛軸之間關(guān)系，再利用焦距相等，轉(zhuǎn)化成兩種曲線的離心率之間的關(guān)系，通過三角函數(shù)換元，進(jìn)而求出橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值.

結(jié)論六 圓錐曲線的切線問題

2.已知點(diǎn)M(x0,y0),拋物線C:y2=2px(p≠0)和直線l:y0y=p(x+x0).

(1)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C上時(shí),直線l與拋物線C相切,其中M為切點(diǎn),l為切線.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C外時(shí),直線l與拋物線C相交,其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分別是拋物線的切線,即直線l為切點(diǎn)弦所在的直線.

(3)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C內(nèi)時(shí),直線l與拋物線C相離.

【例6】已知拋物線C:x2=4y,若點(diǎn)P為拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn),直線AB恒過定點(diǎn)為________.

【答案】(0,1)

【點(diǎn)評(píng)】探究直線恒過定點(diǎn)問題，常常利用題設(shè)條件寫出目標(biāo)直線的含參方程，由參數(shù)的任意性可得定點(diǎn).利用圓、橢圓、拋物線已有切線結(jié)論，往往可以化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到速解目的.

結(jié)論七 圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題

【例7】設(shè)直線l與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn)，與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________.

【答案】2

【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，必有兩條垂直于x軸的直線和圓相切且滿足線段AB的中點(diǎn)為切點(diǎn)；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,M(x0,y0),由上述結(jié)論得ky0=2.