重慶

聚焦高考母題，對(duì)其實(shí)施“二次開(kāi)發(fā)”——整合與辨析，搞好變式訓(xùn)練，能較好地體現(xiàn)一個(gè)人的思辨能力和思考的深度.要搞好同類試題對(duì)比研究和變式教學(xué)，那么師生就要在平常教與學(xué)中，注意收集與整合，辨析與提煉相關(guān)素材.這樣一來(lái)，勢(shì)必對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有利，對(duì)教學(xué)也會(huì)起到事半功倍的效果.下面我摘取一組試題來(lái)深度解讀“整合與辨析”的思路，分享給大家，以便對(duì)學(xué)生的心智有所啟發(fā)，僅供參考，不當(dāng)之處，請(qǐng)予以批評(píng)指正.

一、對(duì)試題的整合與改編

例1(母題)(2013·全國(guó)卷Ⅰ理·15)設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=________.

點(diǎn)評(píng)：思路1是通性通法，主要考查輔助角公式的運(yùn)用.

點(diǎn)評(píng)：思路2是導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的典型運(yùn)用，但對(duì)符號(hào)的判斷要求較高.

點(diǎn)評(píng)：思路3簡(jiǎn)潔明了，理解透徹,巧用“方程思想”解決問(wèn)題.

如果我們對(duì)例1進(jìn)行適當(dāng)改編，就可以得到以下2018年全國(guó)卷高考試題：

例2(母題)(2018·全國(guó)卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是________.

思路1：注意到f(x)的最小正周期為2π，在[0，2π)內(nèi)考慮最值.

點(diǎn)評(píng)：由于函數(shù)有具體解析式，可以利用導(dǎo)數(shù)法求解.

點(diǎn)評(píng)：同思路1，基本思路相同，只是適當(dāng)采用了“換元法”.

點(diǎn)評(píng)：現(xiàn)在的高中生對(duì)這種解法不熟悉，甚至可能不知道，可供有余力的同學(xué)學(xué)習(xí).

思路4：(均值不等式)因?yàn)閒(x)=2sinx+sin2x為奇函數(shù)，

=2sinx(1+cosx)

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)要求學(xué)生的能力較高，對(duì)尖子生的選拔很有幫助.

思路5：因?yàn)閒(t)=sin2t+2sint,令a=sint,b=cost，則z=f(a,b)=2ab+2a,約束條件a2+b2=1,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=2ab+2a+λ(a2+b2-1)(λ≠0),

點(diǎn)評(píng)：本思路運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)背景知識(shí)，高中生掌握不了，但可以提供給他們，讓他們感受數(shù)學(xué)方法的靈活多變，滲透給學(xué)生從不同角度解決問(wèn)題的意識(shí)和理念.

點(diǎn)評(píng)：本思路同思路5，運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)背景知識(shí)，高中生掌握不了，但可以提供給他們，讓他們感受數(shù)學(xué)方法的靈活多變，滲透給學(xué)生從不同角度解決問(wèn)題的意識(shí)和理念.

思路7：f(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx)≥-2|sinx|(1+cosx)

點(diǎn)評(píng)：本題先用了放縮法，然后利用了均值不等式解決問(wèn)題，十分巧妙.

( )

A.0 B.2

(讀者可自行完成改編2，答案選C)

二、對(duì)試題的辨析與感悟

1.本文例1是針對(duì)y=asinx+bcosx(或y=acosx+bsinx)型研究其最值或值域問(wèn)題，解題方法靈活，可以用輔助角公式法求解，也可用導(dǎo)數(shù)法求解，其中導(dǎo)數(shù)法解，思路3結(jié)合“解方程思想”，巧妙回避了思路2中判斷符號(hào)的問(wèn)題，顯然是一種好方法.

2.本文例2是針對(duì)y=asinwx+bcosx(或y=acoswx+bsinx，或y=acoswx+bsinwx,w≠1)型研究其最值或值域問(wèn)題，解題方法更加靈活，用到的思想方法有①數(shù)形結(jié)合法，②導(dǎo)數(shù)法，③換元法，④萬(wàn)能公式法，⑤均值不等式法，⑥構(gòu)造拉格朗日函數(shù)法，⑦Jensen不等式法，⑧放縮法.雖然有些方法有高等數(shù)學(xué)的背景，但對(duì)學(xué)生的視野拓展是有利的.

3.這兩個(gè)母題分別是2013年，2018年全國(guó)理科數(shù)學(xué)卷Ⅰ的高考試題.可以作為y=asinx+bcosx(或y=acosx+bsinx)型，y=asinwx+bcosx(或y=acoswx+bsinx，或y=acoswx+bsinwx,w≠1)型專題研究.在此基礎(chǔ)上，可適當(dāng)作出改編與拓展.

4.有了上面的鋪墊，若將“+”改為“·”，那么我們?cè)賮?lái)看看，又有些什么感悟呢？

三、對(duì)試題的整合與辨析的反思