云南

備考階段，尤其是最后的沖刺階段，跳出題?；貧w課本是高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考的主旋律.如何回歸，應(yīng)該從教材里挖掘些什么，怎么挖掘？這是廣大一線備考教師和學(xué)生應(yīng)該重點(diǎn)思考的問(wèn)題，筆者近期開(kāi)展了以《函數(shù)的基本性質(zhì)》為題的一堂三輪復(fù)習(xí)課，就課例開(kāi)展的一些做法和收獲談三輪復(fù)習(xí)深度挖掘教材的基本策略.

1.有目的的整合教材例題和習(xí)題

三輪復(fù)習(xí)開(kāi)始的時(shí)候，對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能都已經(jīng)有過(guò)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)回顧，學(xué)生也已經(jīng)做過(guò)大量的練習(xí)題和模擬測(cè)試，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握已經(jīng)達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平，對(duì)具體某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考題呈現(xiàn)方式也已經(jīng)有了一定程度上的經(jīng)驗(yàn)積累，初步了解了具體某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查方式；此時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)習(xí)的重心轉(zhuǎn)移到教材上，認(rèn)真閱讀教材，對(duì)教材的例題和習(xí)題進(jìn)行分類整合，可以將考查單一知識(shí)點(diǎn)和辨別屬性的練習(xí)題歸為第一類，具有探究意味的例題和練習(xí)題歸為第二類，基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)里重點(diǎn)研究第二類問(wèn)題.

2.精選典型習(xí)題作為變式題源

每年高考之后總有很多教師就高考題做一些題源分析，所發(fā)表的文章大多都闡述一個(gè)相近的觀點(diǎn)就是高考題有很大一部分是教材例題或習(xí)題的改編題，倡導(dǎo)高考的復(fù)習(xí)應(yīng)該回歸教材，用好教材的例題和習(xí)題.要對(duì)教材進(jìn)行深挖，就要在對(duì)教材例題和習(xí)題進(jìn)行分類整合的基礎(chǔ)之上，就第二類問(wèn)題進(jìn)行比較研究，選取典型的、聯(lián)系性較強(qiáng)的一個(gè)或者幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合作探究進(jìn)行適當(dāng)改編，旨在挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性并總結(jié)問(wèn)題呈現(xiàn)的基本方式，要學(xué)會(huì)脫去數(shù)學(xué)問(wèn)題的馬甲看本質(zhì)，還要能夠給數(shù)學(xué)知識(shí)換上新的馬甲實(shí)現(xiàn)合理變式.

3.認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)確保方向不偏

課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)和考試的綱要，認(rèn)真研讀才能保證方向明確，做到不偏不倚，這是提高復(fù)習(xí)備考效率的關(guān)鍵，它決定了開(kāi)展變式研究的方向和變式的度，有利于我們把握應(yīng)該從何處開(kāi)展變式到哪里結(jié)束，避免為變而變，防止剛從題海戰(zhàn)術(shù)中出來(lái)又換種途徑再次深陷題海戰(zhàn)術(shù)的悲劇上演.

4.通過(guò)合作探究充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，更何況該階段的學(xué)生已經(jīng)具備自主開(kāi)展變式的能力，而且面臨時(shí)間緊任務(wù)重的雙重壓力，向課堂要質(zhì)量就必須落到實(shí)處，所以教師在給出變式題源之后首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解決題源，接著引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合作探究，發(fā)揮集體智慧的力量，共同投身于對(duì)題源的研究和深化變式.這樣的課堂是具有生機(jī)與活力的，在確保學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的同時(shí)重在體現(xiàn)思維的活動(dòng)，教師緊盯課堂，適時(shí)評(píng)價(jià)總結(jié)，既發(fā)揮了集體力量也提升了學(xué)生的創(chuàng)造性和創(chuàng)新意識(shí).

5.突出多題一解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的雙重提升

基于題源進(jìn)行一題多解的嘗試在于提升學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)從不同角度分析并解決同一個(gè)問(wèn)題的能力，開(kāi)展變式教學(xué)的目的在于將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)拓展，從多個(gè)知識(shí)角度賦予同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同呈現(xiàn)方式，豐富學(xué)生的視野，拉近與高考命題的距離，感悟和揣摩高考命題的思想和過(guò)程.

以下是筆者近期的一堂復(fù)習(xí)課教學(xué)簡(jiǎn)錄.

問(wèn)題1(人教A版高中數(shù)學(xué)必修一39頁(yè)B組題第3題)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.

設(shè)計(jì)意圖：這是課本習(xí)題中極具探究性的一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出處理一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想和方法，這有助于學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)；問(wèn)題1可以用定義法證明，難度不大，證明過(guò)程略.

變式1(逆向變式)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，(-∞，0)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)么？請(qǐng)舉例說(shuō)明.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)逆向變式的目的在于發(fā)展學(xué)生的辯證思維，同時(shí)也是為了深化學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的理解；要求學(xué)生舉例說(shuō)明的目的在于培養(yǎng)學(xué)生用身邊常見(jiàn)的具有代表性的例子去驗(yàn)證一些命題的真假，學(xué)會(huì)使用一些具體直觀的函數(shù)圖象解釋抽象函數(shù)的一些局部性質(zhì).

變式2(變條件)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.

變式3(變條件)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，而且在(0，+∞)上是增函數(shù)，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.

變式4(變條件)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，而且在(0，+∞)上是增函數(shù)，判斷f(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.

設(shè)計(jì)意圖：變式2，3，4三個(gè)問(wèn)題就是對(duì)原問(wèn)題的補(bǔ)充和加強(qiáng)，希望通過(guò)對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題的證明和解決引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)及一般規(guī)律.

變式5(變情景)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(3)

設(shè)計(jì)意圖：有了對(duì)奇函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，可以考慮設(shè)計(jì)一些能用奇偶性解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，旨在深化學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解.

變式6(一般化)證明：偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同.

設(shè)計(jì)意圖：以命題的形式給出函數(shù)的基本性質(zhì)，嘗試引導(dǎo)學(xué)生給予證明，其實(shí)就是對(duì)學(xué)生前邊開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的總結(jié)和一般化，目的在于通過(guò)命題的證明加深學(xué)生的理解，也可以作為奇偶函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)識(shí)記并應(yīng)用.

變式7(一般化)(1)已知奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是減函數(shù)，試問(wèn)：它在[-b，-a]上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

(2)已知偶函數(shù)g(x)在[a，b]上是增函數(shù)，試問(wèn)：它在[-b，-a]上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：該變式就是對(duì)變式6的一般化描述和解釋，也是為了加深學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱區(qū)間的理解.

至此，對(duì)奇偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性的探究已經(jīng)有了階段性的成果，接下來(lái)可以引導(dǎo)學(xué)生將剛剛獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決之中，以分段函數(shù)為背景不僅可以加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)本質(zhì)的理解和把握，也可以對(duì)分段函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行更加深入的研究.

問(wèn)題2(人教A版高中數(shù)學(xué)必修一39頁(yè)習(xí)題1.3A組題第6題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象，并求出函數(shù)的解析式.

設(shè)計(jì)意圖：本題難度不大，但是具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象性，重在用好奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式.

變式1(改變條件)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象，并求出函數(shù)的解析式.

變式2(改變條件和結(jié)論)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x-1)，求出函數(shù)的解析式.

設(shè)計(jì)意圖：變式1和變式2都是為了強(qiáng)化利用奇偶性求解分段函數(shù)解析式的基本方法.

設(shè)計(jì)意圖：在發(fā)展學(xué)生的逆向思維的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)奇偶性的另一種直觀有效的方法就是圖象法，根據(jù)圖象的對(duì)稱性判斷函數(shù)奇偶性.

到這里，可以適當(dāng)發(fā)展學(xué)生的合作探究能力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式創(chuàng)作，并將變式結(jié)果及變式的目的和全班同學(xué)進(jìn)行交流和展示，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.如下的變式5和變式6就是學(xué)生自己設(shè)計(jì)的變式題目.

變式5(改變表現(xiàn)形式)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象，并求出函數(shù)的解析式.

變式6(改變表現(xiàn)形式)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象，并求出函數(shù)的解析式.

變式7(拓展)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x-1)，若f(x)-a=0只有一個(gè)根，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想之一，有了函數(shù)解析式就可以作出函數(shù)簡(jiǎn)圖，有了簡(jiǎn)圖就可以觀察直線與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，這其實(shí)也就是函數(shù)與方程的并存關(guān)系.

變式8(拓展)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有且只有一個(gè)根，求a的取值范圍.

變式9(拓展)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

變式10(拓展)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：受變式6和變式7的啟發(fā)，可以對(duì)函數(shù)適當(dāng)加深難度，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)一步呈現(xiàn)出來(lái)，充分詮釋變化中不變的元素.

設(shè)計(jì)意圖：會(huì)求分段函數(shù)的函數(shù)值是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，具體自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值學(xué)生很容易求出，但是對(duì)于含參數(shù)自變量的函數(shù)值的求法，老師有必要引導(dǎo)學(xué)生做一個(gè)探究，這里往往涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想和恒成立問(wèn)題的基本處理策略.