廣東

2016年10月，教育部考試中心姜鋼主任在《中國教育報》上發(fā)表署名文章，正式提出了“一體四層四翼”的高考評價體系，其中“四翼”(即“怎么考”)是指“考查要求是從國家人才強國戰(zhàn)略出發(fā)，結(jié)合高校人才選拔需求提出的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，“創(chuàng)新性”主要體現(xiàn)在“學(xué)生要具有獨立思考能力，具備批判性和創(chuàng)新性思維方式”.眾所周知，現(xiàn)行高考命題實行的是“題庫命題”，但肯定不會照搬原題.于是，如何推陳出新，體現(xiàn)試題的創(chuàng)新性，同時又要注重“通性通法”，成為了命題者需要考慮的一個大問題.

縱覽2018年高考全國卷數(shù)學(xué)文理科6份試題，筆者發(fā)現(xiàn)，試題從“題目背景、題干要素、設(shè)問方式”等多角度進行了創(chuàng)新，體現(xiàn)“素養(yǎng)導(dǎo)向”的命題趨勢，即考生通過分析、思考和比較，從題干中提取有用的信息，將已有知識和方法進行遷移，就能解決新的問題.可以說，這與考生考前刷題的數(shù)量是無關(guān)的.筆者匯總部分試題進行分析.

1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

【例1】(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

【分析】本題屬于“題干要素創(chuàng)新”，以“三角函數(shù)的最值”為載體，考查考生運用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合三角函數(shù)的周期性求解函數(shù)f(x)最值.但是大多數(shù)考生沒有意識到這一點，認(rèn)為解決三角函數(shù)最值的方法就是通過升冪、降冪轉(zhuǎn)化為同角的三角函數(shù)，即y=Asin(ωx+φ)的形式，然后借助三角函數(shù)的圖象解決問題.

【解答】第一步：求導(dǎo)得f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1)；

【例2】(2018·全國卷Ⅲ理·12)設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則

( )

A.a+b

C.a+b<0

【分析】本題屬于“設(shè)問方式創(chuàng)新”，以“兩個不同底數(shù)，相同真數(shù)的對數(shù)”為載體，比較它們的和與積的大小，并與0進行比較，考查考生通過構(gòu)造基本初等函數(shù)運用作商法比較大小.但是，大多數(shù)考生沒有進行深入分析，以為不同底數(shù)的對數(shù)難以比較大小，其和與積也不能運用對數(shù)公式進行合并，想不到逐層“剝繭抽絲”，只要轉(zhuǎn)化成基本初等函數(shù)或運用作商法就能比較大小.

【解答】第一步：因為0

所以ab<0，且a+b<0，排除C，D；

而log0.30.4ab，排除A,故選B.

2.解析幾何

( )

【分析】本題屬于“題干要素創(chuàng)新”，以“直線與橢圓的位置關(guān)系”為載體，通?！鱌F1F2是橢圓的焦點三角形，但這里P點在過左頂點的一條直線上，本題考查考生運用數(shù)形結(jié)合等思想方法，“用代數(shù)方法解決幾何問題”的能力.

【分析】本題屬于“題干要素”與“設(shè)問方式”雙創(chuàng)新，通常是要求橢圓的方程，但本題先給出一個特殊的橢圓與一個中點，要求參數(shù)的范圍；而第(Ⅱ)問中則由平面向量給出關(guān)系式，證明三條線段的長度成等差數(shù)列，涉及知識點較多，綜合性較強.由下面解答過程可知，本題其實還是強調(diào)通性通法，(Ⅰ)中的解法二其實是解決中點問題的常規(guī)方法——點差法，而(Ⅱ)中由于沒有學(xué)習(xí)橢圓的第二定義，但是由兩點距離公式可以輕松解決焦半徑的問題.

3.立體幾何

【例5】(2018·全國卷Ⅰ·理7，文9)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為

( )

C.3 D.2

【分析】本題屬于“題干要素”與“設(shè)問方式”雙創(chuàng)新，以“三視圖”為載體，常規(guī)的考法是把三視圖還原成直觀圖，再求其面積或體積，而這里是考慮到直觀圖的展開圖，將曲面問題轉(zhuǎn)化為平面問題，運用“兩點間線段最短”求解，計算并不困難，重點考查了考生“直觀想象”的素養(yǎng).

【解答】第一步：沿過點A的母線把圓柱側(cè)面展開，A，B(B為下底邊四等分點)的位置如圖所示；

【例6】(2018·全國卷Ⅰ理·12)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

( )

【分析】本題是一道改編題，在“設(shè)問方式”上有所創(chuàng)新，原題要求正方體十二條棱與某一截面所成角相等時線面角的值，而本題的創(chuàng)新之處在于“求滿足條件的截面中，面積最大的一個”.顯然，本題的設(shè)問對學(xué)生的“直觀想象”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求更高，若考生在第二步中運用構(gòu)造函數(shù)的方法求解最值，則喪失了本題的意義，也把簡單問題復(fù)雜化了.

【解答】第一步：找出符合條件的其中一個截面.

第二步：找出與截面A1BD平行的截面中面積最大的一個.

4.統(tǒng)計概率

【例7】(2018·全國卷Ⅱ理·8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

( )

【分析】本題屬于“背景創(chuàng)新”，選取了“哥德巴赫猜想”這一至今未解決的世界數(shù)學(xué)猜想問題，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在這方面取得了世界領(lǐng)先的成果這一背景.利用這一深刻的數(shù)學(xué)背景，引導(dǎo)正確的價值觀.

【例8】(2018·全國卷Ⅲ理·8)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4，P(X=4)

( )

A.0.7 B.0.6

C.0.4 D.0.3

【分析】本題屬于“背景創(chuàng)新”，選取了“互聯(lián)網(wǎng)+”時代一個便捷的生活方式——移動支付，也是被稱為中國的“新四大發(fā)明”之一這一背景，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)試題與時俱進，數(shù)學(xué)來源于生活的本質(zhì).

【解答】第一步：據(jù)題意，本題考查的是獨立重復(fù)試驗，對應(yīng)的是二項分布，所以DX=10×p×(1-p)=2.4，則p=0.4或p=0.6，排除A，D；

5.其他題目

【例9】(2018·全國卷Ⅲ·理3，文3)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

( )

A

B

C

D

【分析】本題通過“中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來”這一文化背景，考查三視圖的知識，滲透了數(shù)學(xué)文化，旨在繼承和弘揚中國傳統(tǒng)文化.

答案：A.

【例10】(2018·全國卷Ⅰ理·10)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

( )

A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

【分析】本題以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底發(fā)現(xiàn)的一個優(yōu)美的定理——“蝴蝶定理”為背景，借助幾何概型，讓考生從中體會到了數(shù)學(xué)的美.

答案：A.

(Ⅰ)證明：平面AMD⊥平面BMC；

(Ⅱ)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

【例12】(2018·全國卷Ⅰ文·18)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.

(Ⅰ)證明：平面ACD⊥平面ABC；

【分析】本題的創(chuàng)新之處在于給出的圖形并不是一個組合體，而是由簡單的線、面組成的一個圖形，圖形簡潔明了，運用“通性通法”即可輕易解決.

答案：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)三棱錐Q-ABP的體積為1.

從以上分析可以看出：

(1)高考中“創(chuàng)新題型”成為一種趨勢，起初給考生的感覺是似曾相識，但又不易覺察，若考生認(rèn)真分析過后，卻發(fā)現(xiàn)恰是“鄰家女孩”；

(2)全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中，卷Ⅰ、Ⅲ的“創(chuàng)新題型”較多，卷Ⅱ偏少；

(3)文理分類中，理科卷比文科卷的“創(chuàng)新題型”要多；

(4)在各知識模塊中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、統(tǒng)計概率出現(xiàn)“創(chuàng)新題型”的幾率較大.

任子朝先生曾指出“高考試題”的命題方向：從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，突出表現(xiàn)為考查目的從關(guān)注知識到關(guān)注人；考核目標(biāo)從常規(guī)性的問題解決技能到創(chuàng)造性的探究能力；考查情境從學(xué)科知識到真實情境；試題條件從結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)不良；試題要素從單一因素到復(fù)合因素；試題結(jié)構(gòu)從碎片到整體.

筆者認(rèn)為，通過高考試題的分析，對今后的教學(xué)和備考有以下幾點啟示：

(1)夯實基礎(chǔ)知識，提煉思想方法

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，只有通過思想方法的提煉才能夠?qū)崿F(xiàn)素養(yǎng)的發(fā)展.在教學(xué)中，教師要注意加強基本概念、基本定理的教學(xué)，總結(jié)數(shù)學(xué)概念和定理中隱含的思想方法，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這樣學(xué)生就能做到融會貫通、舉一反三.弗萊登塔爾說過：“真正能夠起到思維訓(xùn)練作用的是數(shù)學(xué)思想方法而不是具體的題材，因而必須強調(diào)方法，并盡可能使其明確.”在教學(xué)中，教師可以設(shè)計具有探索性和研究性的問題，讓學(xué)生在分析和思考的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提煉數(shù)學(xué)思想.在數(shù)學(xué)思維教學(xué)中，教師可以不失時機地進行提問，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生展開思考和討論，領(lǐng)悟其中的思想方法.

(2)重視解題教學(xué)，突出通性通法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生需要花費相當(dāng)多的時間進行解題，“如何開展解題教學(xué)”是教師必須面對的問題.盧梭說：“教大多數(shù)學(xué)生能想到的方法，教育效法自然.”在教學(xué)中，教師要教學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會研究問題的一般方法，即通性通法，要注重對通性通法的歸納和總結(jié)，對問題不僅要知其然，更要知其所以然.通過解題和反思活動，充分挖掘典型試題的內(nèi)在價值和遷移功能，通過一題多解，一題多變和創(chuàng)新題來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識.

(3)積累活動經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng)

新課標(biāo)要求，學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，進一步獲得學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗.教學(xué)中，教師要注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累：一是重視數(shù)學(xué)對象的獲得過程，從現(xiàn)實或數(shù)學(xué)事實出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；二是重視讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)對象的研究過程，以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想、證明結(jié)論，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考世界；三是在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中，重視利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題、解決問題的過程，學(xué)會分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界.教師可以通過設(shè)計有意義、適度的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷上述過程并概括出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，逐步積累學(xué)生數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(4)注重知識整體，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

新課標(biāo)強調(diào)開展主題教學(xué)，分階段、分步驟加以實施，目的是構(gòu)建知識的整體和聯(lián)系，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.在教學(xué)中，我們要深入理解、整體把握教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學(xué)的科學(xué)性、工具性、價值理性和人文性這些特質(zhì).我們要理清各知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，做到知識和方法的融會貫通，這樣才能以逸待勞，以不變應(yīng)萬變，決勝高考考場.