浙江

《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》(以下簡稱《考試說明》)制定有比《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》(以下簡稱《考試大綱》)更為具體的考試內(nèi)容，是高考命題的準(zhǔn)繩，也是我們復(fù)習(xí)備考的依據(jù)，關(guān)系到當(dāng)年數(shù)學(xué)高考“考什么”“怎么考”“有多難”等重要問題.

一、說明解讀：穩(wěn)字當(dāng)頭，保持特色

2019年浙江省高考數(shù)學(xué)《考試說明》的“考試性質(zhì)與對象”“考核要求”“考核內(nèi)容及要求”“考試形式及試卷結(jié)構(gòu)”以及“題型示例”與2018年相比較，字詞上沒有任何調(diào)整變化，這預(yù)示著浙江省高考數(shù)學(xué)試題將繼續(xù)保持穩(wěn)定，突出基礎(chǔ)性、多層次，重視通性通法，淡化特殊技巧，重思維、重本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)問題性，凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)等浙派特色，以適應(yīng)社會發(fā)展對多樣化高素質(zhì)人才的需要.

二、考點分析：繼承傳統(tǒng)，預(yù)測變化

由于《考試說明》中“知識要求”的三個層次(了解、理解、掌握)、“能力要求”(邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、綜合應(yīng)用能力)和“考查內(nèi)容及要求”都一字未動，這啟示2019年浙江省高考數(shù)學(xué)卷仍會堅持減緩坡度，增加層次，考點不變，多題把關(guān)，重點考查三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等主干知識.三角函數(shù)題，不排除三角函數(shù)的性質(zhì)與解三角形交匯命題，命題者以三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)為出發(fā)點，融合求解三角形的某元素或三角形的面積的最值；數(shù)列題基本會以等差與等比數(shù)列交叉命題為主，但可能融入構(gòu)造新的數(shù)列的通項與前n項和的求解及不等式證明；立體幾何題仍以棱錐或棱柱為載體，考查平行、垂直以及夾角或體積的計算；解析幾何題以圓錐曲線為背景求解，以圖形中某些量的范圍和最值的求解為主要目標(biāo)，考查解析幾何的基本思想方法和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題以基本概念、含參不等式或特殊不等式為目標(biāo)，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

同時在客觀題中會進(jìn)一步貫徹“文科的韻味，理科的深度”的命題特色，知識上覆蓋集合、復(fù)數(shù)、三視圖、隨機(jī)變量的期望與方差、空間角、二項式定理、線性規(guī)劃、向量等內(nèi)容，并且在考查基礎(chǔ)知識、基本技能掌握程度的同時，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，低檔題會送分到位，注重對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平的考查，高檔題則思維難度較大，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.由于試題需要展現(xiàn)“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”的層次與關(guān)系，解答題可能存在兩個“微調(diào)”：順序的調(diào)整，設(shè)問方式的調(diào)整.

2018屆部分考生過度按2017年浙江卷數(shù)列與不等式壓軸進(jìn)行模擬，而2018年試題降低了數(shù)列題的難度，將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)設(shè)計為壓軸題，按理說全卷難度下降，但很多學(xué)生在心理上卻有強(qiáng)烈的不適應(yīng)，失分嚴(yán)重.

通?？疾榛静坏仁降膽?yīng)用時要求求出最值，此題明顯體現(xiàn)出設(shè)問方式迂回為作答取最值時的取等條件.

解析1設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2).顯然，當(dāng)直線AB的斜率為0時，P為弦AB的中點，故可設(shè)直線AB的方程為x=t(y-1)，代入橢圓方程得(t2+4)x2+8tx+4t2(1-m)=0，

又t1=-2t2，則由基本不等式，得點B橫坐標(biāo)的絕對值

所以當(dāng)m=5時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大為2.

解析1應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進(jìn)行硬解——聯(lián)立方程，應(yīng)用韋達(dá)定理建立函數(shù)模型求解，但有“小題大做”的不適感；解析2注意到問題研究相似橢圓(離心率相等的橢圓)背景下的線段比例的問題，因而利用直線的參數(shù)方程表示對應(yīng)線段的長度關(guān)系；而解析3和解析4則靈活運用向量的坐標(biāo)表示，利用點在曲線上消元直指目標(biāo)，特別是解析4，從整體上發(fā)現(xiàn)動點的軌跡，顯得高明簡潔.這正是多向思維給我們帶來的益處——直接硬解雖夠勁，不懼迂回有智慧，巧引點差有深度，整體透視顯功底.

三、備考建議：倡導(dǎo)回歸，多些研究

1.回歸課本,重視基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)

回歸課本是老生常談的話題，但教材是我們學(xué)習(xí)的最主要資源，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)容與能力素養(yǎng)的最重要載體.回歸課本，重讀教材，對《考試說明》要求的概念、公式和方法進(jìn)行去粗取精的提煉加工，使數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化；回歸課本，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)核心概念的整體理解，可以促發(fā)自己對知識與能力的再生性生長，由表及里地縱橫聯(lián)系，引發(fā)不同的感覺、迥異的理解和更廣的視野，便于記憶提取和應(yīng)用.回歸課本也要能“出乎其外”，歸納整合章節(jié)知識，形成專題知識或?qū)ｎ}材料，切忌只見樹木，不見森林，頭腦中存在的只是課本知識的“原生態(tài)”.如角的復(fù)習(xí)，可這樣歸納：共面直線所成的角→異面直線所成的角→直線和平面所成的角→二面角，從而弄清“角”的形成與發(fā)展，使概念更加準(zhǔn)確清晰.又如數(shù)列這一章，既要掌握基本數(shù)列(等差、等比數(shù)列)的通項公式、求和公式，也要理解其定義與性質(zhì)，還要總結(jié)其求通項、求和方法中重點體現(xiàn)的構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想.

浙江省高考數(shù)學(xué)一向注重考查數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識，絕大部分試題面向全體考生，《考試說明》強(qiáng)調(diào)的考點都在教材內(nèi)，表明課本是試題“萬變之宗”.2018年浙江卷很多問題設(shè)計取材于課本，第1題考查集合的基本運算，第2題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，第4題考查復(fù)數(shù)的運算與共軛復(fù)數(shù)的定義，第5題考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的零點，第6題考查空間中直線與直線以及直線與平面的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，這些試題需要考生有針對性地調(diào)動基礎(chǔ)知識進(jìn)行分析；試題的第12～14，18題等由課本中的例、習(xí)題延伸改造而來，充分體現(xiàn)了“回歸課本”必要性.

2.注重研究，積累基本活動經(jīng)驗

高考數(shù)學(xué)試題“源于課本，高于課本”，一直注重在繼承傳統(tǒng)的同時不斷進(jìn)行創(chuàng)新，每年都會出現(xiàn)一些令人耳目一新的試題，這類題有較大的自由度與思維空間，體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)與主動探究精神.作為高三學(xué)生，對高中數(shù)學(xué)知識的研究會比高一高二時更靈活、思考更深入、探究更全面，因此“回歸課本”，學(xué)會從課本中深入挖掘知識，揭示問題的本質(zhì)，學(xué)會從更高的層次研究教材，對知識點進(jìn)行思維深加工，創(chuàng)造性地解決問題，則會深切地認(rèn)識到課本是個取之不盡，用之不竭的“庫”，難題偏題“無盡藏也”，從而在考場上“以不變應(yīng)萬變”，應(yīng)對自如.

例3(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

答案：D.

此題比較空間角大小的通法是回到定義，作出角θ1,θ2,θ3，再利用解三角形的知識解題，如圖所示；或建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具求解.如果我們復(fù)習(xí)過程中多些研究的眼光，可以深入地揭示空間角的本質(zhì)規(guī)律，“面面角”是“線面角”中的最大角，“線面角”是“線線角”中的最小角，則可一望而解.

一些創(chuàng)新題隱藏其背景，給我們一個思維充分自由馳騁的空間來探究其中的數(shù)量關(guān)系，在思維上具有一定的開放度，在探究結(jié)論上又具有一定的收斂性.

例4(2018·浙江卷·10)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，則

( )

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

答案：B.

3.精致解題，加強(qiáng)基本技能訓(xùn)練

布魯納指出：“問題常常作為一種標(biāo)準(zhǔn)，決定著學(xué)生素質(zhì)的現(xiàn)狀以及他們理解的程度……從一定意義上說，問題是通向理解之途.”為此我們常簡單地認(rèn)為數(shù)學(xué)是“做”出來的，因而，高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的主旋律是“題”.實際上，“刷題萬道，不如精做一道”，為了在“做數(shù)學(xué)”的過程中，獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，復(fù)習(xí)題應(yīng)該“少而精致，鍥而不舍”，進(jìn)而獲得活動過程中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，“少”來自教師角度，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況針對性精選問題，去掉重復(fù)性的、已會的，補充體現(xiàn)重要思想方法與知識的聯(lián)系的題和有研究價值、能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的題，這比單純“刷題”更高效；“精致”于學(xué)生而言，要求學(xué)會引申反思，融會貫通，舉一反三，有一題多解、多題一解的思考習(xí)慣；“鍥”從學(xué)生角度，需遇到難題不輕言放棄，肯用心鉆研，善于利用同伴資源，群策群力，共同解決問題，直至對問題豁然開朗.

例5(2018·浙江卷·21)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

(Ⅰ)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

①②兩式相減，得a+b+y0=2(a+b)，即y0=a+b，又M為AB的中點，則點P,M的縱坐標(biāo)相等，同在直線y=a+b上，所以PM⊥y軸.

解題之后，我們一定要認(rèn)真地回顧自己的思路，反思解題中的得與失：題(Ⅰ)可以通過設(shè)點，利用“點差法”建立起弦AB的端點與點P的聯(lián)系，巧妙利用點的坐標(biāo)表示與位置關(guān)系上的對稱性，從而獲得結(jié)論，其好處是通過形的直觀，使運算簡潔，更重要的是避免字母運算上的抽象繁瑣；也可以通過設(shè)直線，結(jié)合平面幾何知識推算出MN為一條水平直線.題(Ⅱ)三角形面積的計算是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的重點題型之一.在“設(shè)點”“設(shè)線”的解決思路，通過改“斜”歸“正”，靈活運用“分割思想”為將三角形轉(zhuǎn)化為底邊與x軸平行的兩個三角形面積之和；也可以通過弦長與高的計算，結(jié)合“韋達(dá)定理”進(jìn)行代換消元，其缺點是運算較繁.此題變量較多，運算能力是解題成功的第一生產(chǎn)力，但變量多并不是盲目計算，而是尋找變量之間的聯(lián)系，通過抽絲剝繭，化為單變量問題求解.

“精致解題”還有什么思考要繼續(xù)嗎？我們發(fā)現(xiàn)試題中的“PA，PB的中點均在C上”這一幾何條件并非關(guān)鍵性的，還可以從一般性將其推廣，獲得結(jié)論：

進(jìn)一步將結(jié)論特殊化，當(dāng)λ=0時，直線PA,PB的極限位置為點A,B處的切線，因而，我們又獲得問題的數(shù)學(xué)史背景：試題中的△APB是拋物線的阿基米德三角形的一般情形，阿基米德三角形則是試題中△APB的極限狀態(tài).這樣，以此題為窗口，我們將會看到阿基米德三角形的一些美妙性質(zhì)，這是埋頭做題所不能獲得的數(shù)學(xué)體驗.