李德婷，張?jiān)?，?華

(國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073)

0 引言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，小衛(wèi)星因其功能密度高、研制周期短、發(fā)射靈活而成為新一代衛(wèi)星的發(fā)展熱點(diǎn)。姿態(tài)控制系統(tǒng)作為核心組成單元，是小衛(wèi)星研究的重中之重。典型的姿態(tài)控制系統(tǒng)由噴氣系統(tǒng)、磁力矩系統(tǒng)、動(dòng)量輪等組成，廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大的航天器，但不適合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小的航天器。單框架控制力矩陀螺(SGCMG)采用電能驅(qū)動(dòng)，不需要消耗燃料，且具有較大的力矩輸出能力，是小衛(wèi)星姿態(tài)控制的理想設(shè)備[1]。

SGCMG雖具有優(yōu)良的輸出性能，但存在奇異問題，這使得姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制過程變得更加復(fù)雜。針對機(jī)動(dòng)過程中的奇異失效問題，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。趙乾[2]采用偽譜法和直接打靶法混合求解策略，設(shè)計(jì)了單目標(biāo)和多目標(biāo)的軌跡規(guī)劃模型，能滿足SGCMG奇異飽和約束條件，但混合求解策略采用打靶法對奇異度量值進(jìn)行優(yōu)化，耗時(shí)較長，不能滿足快速機(jī)動(dòng)的需求。孫志遠(yuǎn)等[3]提出的基于自適應(yīng)Gauss偽譜法的SGCMG 無奇異框架角軌跡快速規(guī)劃方法，考慮了時(shí)間和能量加權(quán)的性能指標(biāo)。該方法僅約束了終端的奇異度量，沒有考慮機(jī)動(dòng)環(huán)境中重力梯度力矩和軌道角速度的影響，且未考慮機(jī)動(dòng)過程中的奇異情況，不具備穩(wěn)定性，不適用于衛(wèi)星在線姿態(tài)控制。

平坦微分理論是FLIESS等[4-5]在20世紀(jì)90年代針對非線性系統(tǒng)提出的概念，之后經(jīng)過一系列的發(fā)展，在機(jī)器人、飛行器軌跡規(guī)劃等方面得到廣泛應(yīng)用。本文將快速軌跡設(shè)計(jì)和抗干擾跟蹤控制算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種星載在線控制方法。借鑒微分平坦理論在解決最優(yōu)控制問題方面的研究成果，設(shè)計(jì)了一種姿態(tài)路徑快速規(guī)劃方法。該方法綜合考慮了重力梯度力矩、軌道角速度等環(huán)境因素的影響，考慮了星體始末狀態(tài)約束和SGCMG的動(dòng)力學(xué)性能的約束，能快速求得滿足約束條件的能量次優(yōu)路徑。通過將滑?？刂婆c自適應(yīng)相結(jié)合，獲得了一種自適應(yīng)滑?？刂破鳌Ｔ摽刂破髂芸朔饨鐢_動(dòng)和陀螺執(zhí)行誤差對跟蹤目標(biāo)軌跡的影響。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

定義3個(gè)坐標(biāo)系：慣性參考系、軌道坐標(biāo)系和與航天器固聯(lián)的體坐標(biāo)系。采用修正羅德里格斯參數(shù)(MRP)描述姿態(tài)，MRP是姿態(tài)描述的最小實(shí)現(xiàn)，同時(shí)具有不易出現(xiàn)奇異和計(jì)算效率高的特點(diǎn)。與四元數(shù)相比，基于MRP的姿態(tài)計(jì)算在不損失計(jì)算精度的前提下計(jì)算量更小[6]，有利于提高姿態(tài)計(jì)算的效率。用MRP表示的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

M(σ)=I3+

(1)

式中：I3為3維單位矩陣，[σ×]為矢量叉乘運(yùn)算的反對稱矩陣，即

(2)

用MRP表示的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程為

(3)

式中：ω為姿態(tài)角速度，G(σ)為

(4)

假設(shè)剛性小衛(wèi)星在體坐標(biāo)系下的慣量張量J為常值矩陣，則在體坐標(biāo)系下衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

式中：τgg為重力梯度力矩；u為姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的控制力矩。

1.2 SGCMG動(dòng)力學(xué)模型和奇異特性分析

SGCMG是由多個(gè)(一般3個(gè)以上)單框架控制力矩陀螺組成的具有三維輸出能力的動(dòng)量交換裝置。若設(shè)每個(gè)力矩陀螺角動(dòng)量的模相同且皆為h0，則陀螺群總角動(dòng)量可表示為

H=h0(Asins+Bcoss)E

(6)

式中：A和B為與控制力矩陀螺中陀螺群的構(gòu)型相關(guān)的安裝矩陣；s為陀螺群的框架角矩陣，sins，coss為框架角正、余弦對角陣；E為元素都為1的3維單位向量。

由控制力矩陀螺對航天器作用的控制力矩為

(7)

C(s)=Acoss-Bsins

(8)

在SGCMG工作的過程中，系統(tǒng)力矩如果持續(xù)朝一個(gè)方向輸出，則角動(dòng)量在某個(gè)方向上的值不斷積累，就有可能導(dǎo)致角動(dòng)量值達(dá)到SGCMG系統(tǒng)最大角動(dòng)量，這種情況被稱為角動(dòng)量飽和，是SGCMG失效的一種形式。金字塔構(gòu)型的SGCMG的角動(dòng)量飽和包絡(luò)面為如圖1所示的具有8個(gè)凹陷的不規(guī)則球面，球體半徑約為

Hmax=3.3h0

(9)

圖1 金字塔構(gòu)型控制力矩陀螺角動(dòng)量飽和面Fig.1 Envelope surface of pyramid configuration

當(dāng)SGCMG系統(tǒng)框架角處于某些特定狀態(tài)時(shí)，期望力矩與控制力矩正交，此時(shí)SGCMG系統(tǒng)無法輸出期望力矩，失去控制能力，這種現(xiàn)象稱為奇異失效。當(dāng)期望力矩ut和安裝方向gi平行時(shí)，該陀螺所有狀態(tài)均奇異；當(dāng)期望力矩ut和安裝方向不平行時(shí)，ut與gi方向存在夾角，如圖2所示，則每個(gè)陀螺的奇異角動(dòng)量有2個(gè)方向[7]，奇異角動(dòng)量為hi=±(gi×ut)×gi/‖gi×ut‖。

圖2 控制力矩陀螺奇異機(jī)理分析Fig.2 Mechanism analysis of SGCMG

在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，需要根據(jù)當(dāng)前的框架角對奇異狀況作出判定，即需要定義一種度量不同框架角組合所對應(yīng)奇異程度的奇異狀態(tài)量。根據(jù)框架角奇異的原理，即當(dāng)C-1不存在時(shí)發(fā)生奇異，使用奇異度量[8-9]來衡量當(dāng)前框架角的奇異狀態(tài)，即

D=det(CCT)

(10)

當(dāng)D=0時(shí)，系統(tǒng)處于奇異狀態(tài)，D越大，離奇異點(diǎn)就越遠(yuǎn)。

2 在線控制方法設(shè)計(jì)

2.1 基于平坦微分理論的姿態(tài)軌跡規(guī)劃

2.1.1 微分平坦系統(tǒng)

FLIESS于1992年首次提出了微分平坦理論，即采用微分代數(shù)來描述一個(gè)微分系統(tǒng)，將對微分系統(tǒng)中微分方程的求解轉(zhuǎn)化為對代數(shù)多項(xiàng)式參數(shù)的求解，從而減少系統(tǒng)中的積分運(yùn)算，縮短計(jì)算時(shí)間?？紤]非線性系統(tǒng)

(11)

式中：x∈Rn，u∈Rm，且m≤n。根據(jù)微分平坦理論，如果能找到一個(gè)平坦輸出z∈Rm，將式(11)中所有的輸入量和狀態(tài)量都用z和它的有限次導(dǎo)表示出來，則稱這個(gè)系統(tǒng)為微分平坦系統(tǒng)[10]，即

(12)

文獻(xiàn)[11]已證明，由姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(3)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程(5)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)是以(σ1,σ2,σ3)為平坦輸出的微分平坦系統(tǒng)。本文的研究在該系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入SGCMG操縱系統(tǒng)，即在該系統(tǒng)中加入狀態(tài)量框架角(s1,s2,s3,s4)。SGCMG的操縱律即是根據(jù)指令力矩來合理分配框架角的轉(zhuǎn)速，使陀螺群的輸出力矩與航天器姿控系統(tǒng)要求的指令力矩相等。因SGCMG是一個(gè)冗余系統(tǒng)，利用式(1)，(2)反解求得的框架角速度不唯一，故考慮框架角的姿態(tài)控制系統(tǒng)不具備微分平坦屬性，無法直接基于微分平坦開展軌跡設(shè)計(jì)。為擴(kuò)展系統(tǒng)的平坦屬性，約束框架角為最優(yōu)偽逆操縱律[12]的解，即定義框架角為

(13)

框架角可由平坦輸出唯一表示，則系統(tǒng)是微分平坦系統(tǒng)。

(14)

式中：τgg為重力梯度力矩；ωo為衛(wèi)星的軌道角速度；τgg=3(ωo)2[i×]Ji，其中，i為地心與衛(wèi)星質(zhì)心連線方向的單位矢量。

2.1.2 平坦輸出基函數(shù)

平坦輸出參數(shù)化是軌跡優(yōu)化的關(guān)鍵，通過參數(shù)化將含有微分的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題[13]，不同的基函數(shù)對優(yōu)化效果和計(jì)算效率有不同的影響。

受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，采用虛擬域的方法，通過分離時(shí)間域與空間域，使軌跡可用不同的速度場描述。引入虛擬域參數(shù)γ，則γ與時(shí)間域t相互轉(zhuǎn)換，即

(15)

給定控制點(diǎn)p0,p1,p3,…,pn，則由這些控制點(diǎn)約束的虛擬域的Bezier多項(xiàng)式p(γ)為

(16)

式中：βi,n(γ)為第n個(gè)伯恩斯坦多項(xiàng)式，即

(17)

Bezier多項(xiàng)式的性質(zhì)[15]為

(18)

每個(gè)MRP都可在虛擬域γ∈([0,1]中用Bezier多項(xiàng)式表示，即

(19)

(20)

式中：j=1,2,3。

對于有NB個(gè)端點(diǎn)約束的Bezier多項(xiàng)式，其控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)要求n≥NB+1，則至少有1個(gè)控制點(diǎn)參數(shù)可作為優(yōu)化變量對路徑進(jìn)行優(yōu)化。

2.1.3 非線性規(guī)劃模型

本系統(tǒng)中的狀態(tài)量和控制量都可由平坦輸出(σ1,σ2,σ3)表示，通過對平坦輸出參數(shù)化，將系統(tǒng)中的狀態(tài)量和控制量都由控制點(diǎn)待定的Bezier多項(xiàng)式表示出來，則軌跡規(guī)劃問題被轉(zhuǎn)化為對Bezier曲線的控制點(diǎn)求解的非線性規(guī)劃問題。

對于不同的任務(wù)要求，非線性規(guī)劃問題的性能指標(biāo)不同。本文以最小能量為優(yōu)化目標(biāo)，定義性能指標(biāo)

(21)

minQ=Q[p0,p1,p3,…,pn]

(22)

(23)

式中：p0,p1,p3,…,pn為Bezier曲線的一組控制點(diǎn)。

2.2 姿態(tài)跟蹤控制算法設(shè)計(jì)

2.2.1 基于跟蹤誤差的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

基于微分平坦理論設(shè)計(jì)的姿態(tài)軌跡，雖然考慮了軌道角速度和重力梯度力矩的影響，但在實(shí)際機(jī)動(dòng)過程中，仍受到不確定的環(huán)境力矩和干擾力矩的影響。需要采用合適的控制算法，在環(huán)境干擾的影響下，于有限的時(shí)間內(nèi)使實(shí)際姿態(tài)軌跡快速收斂至所規(guī)劃的開環(huán)最優(yōu)軌跡上。

(24)

根據(jù)式(24)，定義姿態(tài)誤差MRPσe[16]，有

(25)

同樣，使用角速度偏差ωe來表示實(shí)際角速度ω和目標(biāo)角速度ωc之間的偏差，有

(26)

(27)

將式(5)代入式(27)，可得關(guān)于角速度偏差ωe的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程為

(28)

式中：τ=τgg-u+τo，τ為控制力矩、重力梯度力矩和氣動(dòng)力矩的總和；d為環(huán)境的干擾力矩。

根據(jù)式(3)可列出關(guān)于姿態(tài)偏差σe和角速度偏差ωe的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，即

(29)

對式(29)求導(dǎo)，得到

(30)

對式(30)左乘JG-1，再將式(28)代入，整理得到

(31)

式中：

(32)

2.2.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

定義滑?？刂破鞯那袚Q函數(shù)為

(33)

式中：λ為三階正定對角矩陣。

趨近律采用指數(shù)趨近律[17]，形式為

(34)

對式(33)求導(dǎo)，代入式(34)中整理后可得

(35)

將式(35)代入式(31)，化簡得到滑?？刂品匠虨?/p>

A1kλσe+(A3-A1εsgns)

(36)

式中：εsgns為魯棒項(xiàng)，用于克服不確定的干擾力矩的影響。但是，由于使用了階躍的切換函數(shù)，使得產(chǎn)生的控制信號產(chǎn)生抖振?？紤]采用連續(xù)切換的雙曲正切函數(shù)來代替階躍函數(shù)，從而降低滑模過程中的抖振[18]。設(shè)計(jì)魯棒項(xiàng)γtanh(βs)代替εsgns。其中，將向量的雙曲正切函數(shù)性質(zhì)定義為[19]

tanh(q)=diag(tanh(q1),tanh(q2),tanh(q3))

(37)

式中：γ和β為大于0的參數(shù)。γ與環(huán)境干擾力矩的上界有關(guān)，干擾上界越大，γ取值也越大。β的取值和邊界層Δ相關(guān)，β=1/Δ。邊界層具有如下性質(zhì)：在邊界層外，魯棒項(xiàng)采用切換控制，系統(tǒng)能以較快的速度到達(dá)切換面；在邊界層內(nèi)，魯棒項(xiàng)采用反饋控制，可減小抖振效應(yīng)。則控制器設(shè)計(jì)為

A1kλσe+[A3-A1γtanh(βs)]

(38)

3 仿真算例

衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=diag(36,36,60)kg·m2，在高度約為380 km的圓軌道運(yùn)行，軌道角速度近似于常值0.001 1 rad/s。SGCMG選用由4個(gè)陀螺組成的金字塔構(gòu)型，如圖3所示。

圖3 金字塔構(gòu)型控制力矩陀螺機(jī)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of pyramid configuration SGCMG

系統(tǒng)安裝傾角β=54.13°，gi(i=1,2,3,4)為每個(gè)陀螺的框架安裝方向，框架繞安裝方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。圖3中，hi(i=1,2,3,4)為框架角為0°時(shí)輸出角動(dòng)量的方向。根據(jù)構(gòu)型，安裝矩陣為

(39)

(40)

單個(gè)陀螺角動(dòng)量大小為1.5 N·ms，根據(jù)式(3)，角動(dòng)量幅值為4.95 N·ms?？奢敵龅淖畲罂刂屏貫? N·m，最小奇異測度為1.2，機(jī)動(dòng)時(shí)間為50 s，機(jī)動(dòng)起始端點(diǎn)約束見表1。

表 1 姿態(tài)端點(diǎn)約束

仿真試驗(yàn)所用的電腦配置為Inter(R) Core(TM) i7CPU，主頻為3.6 GHz，內(nèi)存為4 GB，仿真編程環(huán)境為MATLAB R2016b。采用SQP算法進(jìn)行非線性優(yōu)化，Bezier曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)分別取5，6，7，8(多項(xiàng)式階次分別為4，5，6，7)。優(yōu)化得到的軌跡性能指標(biāo)和所需計(jì)算時(shí)間見表2。由表可知，隨著控制點(diǎn)增多，優(yōu)化得到的軌跡性能指標(biāo)越優(yōu)，但所需的計(jì)算時(shí)間也越多，其中，當(dāng)控制點(diǎn)取到最小值5時(shí)，規(guī)劃時(shí)間僅需0.7 s。

表 2 不同控制點(diǎn)個(gè)數(shù)軌跡規(guī)劃結(jié)果比較

取5個(gè)控制點(diǎn)優(yōu)化所得的姿態(tài)路徑作為目標(biāo)路徑，如圖4所示，采用滑模跟蹤算法進(jìn)行姿態(tài)控制。控制器參數(shù)選取為

(41)

圖4 4階最優(yōu)軌跡Fig.4 Optimal trajectory in 4 orders

誤差MRP的變化曲線如圖5所示。由圖可知：為完成初始姿態(tài)捕獲，前6 s控制方式為變結(jié)構(gòu)控制，有抖振現(xiàn)象出現(xiàn)；當(dāng)誤差足夠小后，控制方式變?yōu)榉答伩刂?，?shí)際姿態(tài)能以較小的誤差平穩(wěn)跟蹤目標(biāo)姿態(tài)?？刂屏仉S時(shí)間變化情況如圖6所示。由圖可知：在變結(jié)構(gòu)控制階段，控制力矩較大；從變結(jié)構(gòu)控制轉(zhuǎn)為反饋控制后，控制力矩以較小量完成姿態(tài)跟蹤。機(jī)動(dòng)全程控制力矩小于5 N·m，符合SGCMG力矩輸出能力。機(jī)動(dòng)全程MRP誤差在3×10-3以內(nèi)，在反饋控制階段，MRP誤差在2×10-4以內(nèi)?？刂扑惴芎芎酶櫰谕藨B(tài)路徑。奇異度量值的變化曲線如圖7所示。由圖可知：在機(jī)動(dòng)過程中，奇異測度值始終大于1.2，SGCMG一直處于遠(yuǎn)離奇異的狀態(tài)，具有穩(wěn)定的控制能力。機(jī)動(dòng)全程的角動(dòng)量曲線如圖8所示。由圖可知：角動(dòng)量一直小于2 N·ms，處于角動(dòng)量飽和上限以內(nèi)。

圖5 誤差修正羅德里格斯參數(shù)Fig.5 Error MRP

圖6 控制力矩隨時(shí)間變化Fig.6 Control force versus time

圖7 奇異度量隨時(shí)間變化Fig.7 Singularity parameter versus time

圖8 角動(dòng)量值隨時(shí)間變化Fig.8 Angle momentum versus time

4 結(jié)論

本文主要針對以SGCMG為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的小衛(wèi)星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，基于SGCMG力矩輸出效率高，但具有奇異飽和性能的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于平坦微分理論的快速參考軌跡規(guī)劃方法和滑?？刂破飨嘟Y(jié)合的控制方法。該方法考慮了軌道角速度、重力梯度力矩和空間擾動(dòng)力矩的影響，在約束范圍內(nèi)具有很好的控制精度，且所需的計(jì)算時(shí)間少，能滿足星載在線控制的需求。該方法基于平坦微分理論將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，提高了計(jì)算效率。與文獻(xiàn)[2]中需要6 min計(jì)算時(shí)間相比，該算法能在0.8 s內(nèi)找到光滑無奇異的姿態(tài)軌跡，大大提高了規(guī)劃效率；與文獻(xiàn)[3]中僅考慮端點(diǎn)奇異狀態(tài)的規(guī)劃方法相比，該算法考慮了機(jī)動(dòng)過程中的奇異狀態(tài)，能保證在機(jī)動(dòng)過程中不會陷入奇異，更具穩(wěn)定性，可滿足星載在線控制的需求。采用具有NB個(gè)控制點(diǎn)的Bezier多項(xiàng)式來表示軌跡，保證姿態(tài)軌跡NB-1階連續(xù)，所設(shè)計(jì)的的軌跡具有角速度和角加速度連續(xù)、軌跡平滑的優(yōu)點(diǎn)。本文算法能在有限干擾的影響下以小誤差跟蹤期望姿態(tài)，保證了跟蹤精度，使機(jī)動(dòng)全程控制力矩、角動(dòng)量、奇異測度都在限定范圍內(nèi)。然而，多項(xiàng)式對曲線的表述能力有限，這也導(dǎo)致優(yōu)化得到的姿態(tài)軌跡一般是能量次優(yōu)解。在后續(xù)研究中，將尋找更具完備性的多項(xiàng)式來描述平坦輸出。