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        單位圓內(nèi)二階線性微分方程解的復(fù)振蕩

        2019-07-03 08:46:24龔攀石黃萍程國飛
        關(guān)鍵詞:定義

        龔攀,石黃萍,程國飛

        (上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西上饒334001)

        假定讀者熟悉單位圓Δ={z∈C∶|z|<1}和復(fù)平面C內(nèi)亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本結(jié)論和標(biāo)準(zhǔn)記號(見文獻(xiàn)[1-5])。前人得到了很多復(fù)平面內(nèi)線性微分方程解的值分布理論,這自然引起了比復(fù)平面更復(fù)雜的單位圓Δ內(nèi)線性微分方程的研究,2000年芬蘭學(xué)者J.Heittokangas在文獻(xiàn)[6]中首次研究了單位圓Δ內(nèi)線性微分方程。

        首先,我們給出單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)和解析函數(shù)的迭代級和[p,q]級的相關(guān)定義。

        1 定義和主要結(jié)果

        定義1[7]定義單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)f(z)的迭代p級為:

        對于單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù)f(z),我們也定義:

        注1 根據(jù)M.Tsuji文獻(xiàn)[5],如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù),則:

        根據(jù)文獻(xiàn)[3]命題 2.2.2,我們有:

        定義2[8-9]定義單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù)f(z)的迭代p級零點(diǎn)收斂指數(shù)為:

        定義3[10]假設(shè)p≥q≥1是整數(shù),f(z)是單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù),定義f(z)的[p,q]級為:

        對于單位圓Δ內(nèi)解析函數(shù)f(z),我們也定義:

        注 2[10]對于任意的 p ≥ q ≥ 1,我們有 0≤ ρ[p,q](f) ≤ σ(0≤ ρM,[p,q](f) ≤ σ)。 根據(jù)定義 3,我們有ρ[1,1](f)= ρ(f)(ρM,[1,1](f)= ρM(f)) 和 ρ[2,1](f)= ρ2(f)(ρM,[2,1](f)= ρM,2(f))。

        定義4[10]假設(shè)p≥q≥1是整數(shù),f(z)是單位圓Δ內(nèi)亞純函數(shù),定義f(z)的[p,q]級零點(diǎn)收斂指數(shù)為:

        類似的,定義f(z)的[p,q]級不同零點(diǎn)收斂指數(shù)為:

        最近Beladi和Latreuch研究了二階非齊次線性微分方程解的復(fù)振蕩:

        其中A(z),B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)迭代p級有限的亞純函數(shù),我們可以參考相關(guān)的文獻(xiàn)(見文獻(xiàn)[11])。在陳述他們的結(jié)論之前需要以下記號:

        其中A0(z)=A(z),B0(z)=B(z)和F0(z)=F(z)。Beladi和Latreuch得到了下面的結(jié)論。

        定理1[12]設(shè)A(z),B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)迭代p級有限的亞純函數(shù)且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1,2,3,…)。如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)方程(1)的亞純解并且有:

        本文將考慮二階非齊次線性微分方程(1)解的[p,q]級,我們可以得到以下結(jié)論。

        定理2 假設(shè)p≥q≥1是整數(shù),A(z),B(z)0和F(z)0是單位圓Δ內(nèi)[p,q]級有限的亞純函數(shù)且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1,2,3,…,)。如果f(z)是單位圓Δ內(nèi)方程(1)的亞純解有:

        2 主要引理

        引理1[13]設(shè)p≥q≥1是整數(shù),f(z)和g(z)是單位圓Δ內(nèi)具有[p,q]級的亞純函數(shù),則有:

        如果 ρ[p,q](f) > ρ[p,q](g),則有:

        引理2[13]設(shè)p≥q≥1是整數(shù),f(z)是單位圓Δ內(nèi)具有[p,q]級的亞純函數(shù),則有:

        引理3[14]設(shè)p≥ q≥1是整數(shù),Aj(j=0,1,…,k-1),F(xiàn)0是單位圓Δ內(nèi)[p,q]級有限的亞純函數(shù),如果f(z)是微分方程:

        的亞純解,并且滿足 max{ρ[p,q](Aj)(j=0,1,…,k - 1),ρ[p,q](F)} < ρ[p,q](f) < σ,則有:

        3 定理的證明

        因?yàn)?F(z) 0 且 max{ρ[p,q](A),ρ[p,q](B),ρ[p,q](F)} < ρ[p,q](f) < σ,根據(jù)引理 3 有:

        因?yàn)锽(z)0,方程(1)兩邊除以B得:

        方程(5)兩邊微分得:

        再將方程(6)兩邊乘以B得:

        其中:

        根據(jù)引理1和引理2有:

        又因?yàn)镕1(z)0,根據(jù)引理3有:

        因?yàn)锽1(z)0,方程(7)兩邊除以B1得:

        對方程(8)兩邊微分再乘以B1得:

        其中A2,B2和F2是亞純函數(shù),定義見(2)-(4)。

        根據(jù)引理1和引理2有:

        又因?yàn)镕2(z)0,根據(jù)引理3有:

        假設(shè):

        對所有的k=0,1,2,…,j-1成立?,F(xiàn)證明k=j時(10)也成立,和前面同樣的證明方法有:

        根據(jù)引理1和引理2有:

        又因?yàn)镕j(z)0,根據(jù)引理3有:

        定理2證明完畢。

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