孟祥鵬

摘 要： 物理學(xué)中有諸多簡單而完美的公式，都深刻準(zhǔn)確地體現(xiàn)自然科學(xué)規(guī)律。動量守恒定律、能量守恒定律以及熱力學(xué)系統(tǒng)中的熵的概念就是很好的例子?；谒伎荚趧恿W(xué)系統(tǒng)是否有熵的概念，關(guān)注一個典型的碰撞過程，構(gòu)造了動力學(xué)中的“熵”的概念。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了不同恢復(fù)系數(shù)時，碰撞過程中熵的變化情況，得出系統(tǒng)熵時增加的結(jié)論，并將這個結(jié)論拓展至其他的實例中。

關(guān)鍵詞： 碰撞;熵;恢復(fù)系數(shù);動量守恒;能量損失

中圖分類號： TB????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.095

眾所周知，碰撞中的動量與能量守恒。動量是質(zhì)量與速度的乘積。而能量則是本文的要點，在碰撞過程中能量是一定守恒的，但機(jī)械能只有在恢復(fù)系數(shù)為零且無摩擦力作用時才守恒。這便構(gòu)成了熵變的條件。

熵在一個孤立的系統(tǒng)中毫無疑問是增加的。在碰撞中，機(jī)械能的損失量可為熱能、勢能、聲能、光能等。而在眾多能量中熱能是一種無序的能量，所以可用熵來描述。

在明確了這些概念的前提下，本文接下來將會從能量、動量和熵三個角度入手，討論在不同恢復(fù)系數(shù)下兩個物體發(fā)生碰撞的過程中，兩個物體所組成的系統(tǒng)動量、能量與熵的變化情況。

1 對動量守恒、能量守恒、熵的增加的介紹

1.1 碰撞過程中的動量及動量守恒

動量（Momentum），也稱為線性動量，是物體質(zhì)量乘以速度積。動量守恒定律（Law of conservation of momentum）是指一個特定系統(tǒng)不受外力或外力之和為零，則系統(tǒng)總動量不變的結(jié)論。這便是動量守恒定律。

因此，可以列出的動量守恒定律表達(dá)式為：

mv1+mv2=mv，1+mv，2 （1）

v1和v2都是發(fā)生作用前同時的瞬時速度，v1和v2都是發(fā)生作用后同時的瞬時速度。由這兩個碰撞物體組成的系統(tǒng)可以看作為一個孤立的系統(tǒng)。動量和能量是守恒的。

恢復(fù)系數(shù)是反映物體在碰撞過程中變形恢復(fù)能力的一個參數(shù)。其定義為碰撞過程的前后兩物體接觸點的相對分離速度與相對接近速度之比。這個定義既適用于正向碰撞，亦適用于兩個物體的斜向碰撞?；謴?fù)系數(shù)可以用表達(dá)式來表示為：

e= v，2-v1 v，1-v2? （2）

恢復(fù)系數(shù)e的取值范圍為：0到1之間。根據(jù)e值的大小，碰撞可以具體地分為三類：

（1）非完全彈性碰撞（0

（2）完全彈性碰撞（e=1）：碰撞后，物體完全恢復(fù)到原來的形狀，沒有任何的能量損失。

（3）完全非彈性碰撞（e=0）：碰撞中的物體的變形無法恢復(fù)，其相對動能完全喪失。碰撞后，兩個物體不分離地在一起運動。

1.2 碰撞過程中能量守恒和能量損失

在宏觀物體碰撞中，理想狀態(tài)完全彈性碰撞是不可能存在的。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，去碰撞另一個物體的能量必須比被碰撞物體的能量高，這樣便形成了能量差。具有初速度的物體1向靜止的物體2碰撞，系統(tǒng)的機(jī)械能的損失可用如下公式計算：

ΔE= 1 2 m1v20- 1 2 m1v21- 1 2 m2v22 （3）

式中：m為物體的質(zhì)量，v0為碰撞前物體1的初始速度，v1和v2分別為碰撞后的物體1和物體2的速度。

由此可看出機(jī)械能的損失導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)放熱，碰撞中的熵也隨之會增加。便可從熱力學(xué)的角度來解釋碰撞中的一系列現(xiàn)象，其更可拓展為另外一些動量守恒模型中去，以得到一個普遍的結(jié)論。在這里，本文提出一個猜想：碰撞的兩個物體所組成的系統(tǒng)是一個混亂程度不斷加大的孤立系統(tǒng)。

1.3 熱力學(xué)中學(xué)中熵和熵的增加

動量在碰撞中是守恒的，能量既不會由無至有，也不會從有至無。所以我們要在碰撞中使用能量守恒，把能量損失看作是熱傳遞。

熵是熱力學(xué)中用來表示物質(zhì)狀態(tài)的參數(shù)之一，用符號S表示，它的物理意義是度量系統(tǒng)混亂的程度。1865年，克勞修斯將新發(fā)現(xiàn)的狀態(tài)函數(shù)命名為熵，用其增量表達(dá)熵為：

ΔS= ΔQ T? （4）

熵是解釋物質(zhì)狀態(tài)的一個參數(shù)，熵變的規(guī)律：在一個孤立的系統(tǒng)，系統(tǒng)總是自發(fā)地使混亂度不斷增加。進(jìn)而使熵不斷增加，這便是熵增原理。摩擦使部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱，增加了熵。

2 構(gòu)建碰撞過程中“熵”的概念

在熵中已知熵變的表達(dá)式（4），在碰撞這一物理過程中，我們要找出一個物理量來表示熱能變化量和溫度，根據(jù)類比得出熱能變化量可以用機(jī)械能損失來表示，而溫度可用動量表示，其表達(dá)式為：

mv1-mv末 + mv2-mv末? 2? （5）

來類比（4）式中的T。對這一個物理量我們要用一個希臘字母來表示。則碰撞中的熵可以用這個表達(dá)式來表示：

ΔSk= ΔEk φ? （6）

帶入化簡之后，得：

ΔSk= 2v2末-v21-v22 v1-v2? （7）

使用上式時，還需注意兩件事：（1）該式僅僅限于兩個物體完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞中。（2）當(dāng)兩個物體初速度相同時，為最終態(tài)（因為并不會發(fā)生碰撞過程，熵?zé)o窮大）。當(dāng)兩個物體初速度為零時，可看出上述式子分母為零，相當(dāng)于最終狀態(tài)。當(dāng)兩個物體速度相差過大的時候，會導(dǎo)致熵變趨近于零，說明整個系統(tǒng)的碰撞過程會比較持久，熵會緩慢增加，而且根據(jù)（7）式可以預(yù)知，熵增的速度會越來越快，因為分母會越來越小，分子變化不顯著。兩個速度相差過大的時候，會導(dǎo)致熵變趨近于零。

本文接下來使用了一個事例來具體分析并論述在不同恢復(fù)系數(shù)下碰撞中的熵的變化。需要注意的是，本文考慮系統(tǒng)內(nèi)部摩擦和熱釋放，不考慮空氣阻力。摩擦力做功全部轉(zhuǎn)化為熱能。

3 具體實例分析及拓展

3.1 豎面雙球擺

在一個豎直平面內(nèi)，用兩根繩系住兩個質(zhì)量相等的球。如圖1，將一個球抬到高度為h1的地方，將1球下落到2球高度，發(fā)生相互碰撞。當(dāng)他們互相經(jīng)過的時候，兩個物體必須有分子與分子碰撞。這便是碰撞過程生熱的原因。

3.1.1 完全彈性碰撞

兩物體發(fā)生完全彈性碰撞時，兩個物體交換速度。但由于分子間摩擦力的作用，兩個物體每次以一個極小值改變各自的速度。最后導(dǎo)致了兩個物體速度都為零。在這里，我們假設(shè)物體發(fā)生再次碰撞前速度的方向發(fā)生改變但大小不變，且假設(shè)這個過程沒有能量損失。經(jīng)計算可列如下式子：

ΔEk=∫Ek0dEk= 1 2 mv2-0=mgh1 （8）

亦可知=m 2gh1 由此可求出在完全彈性碰撞時的熵變?yōu)椋?/p>

ΔSk=? gh1 2?? （9）

則由上式可知在完全彈性碰撞中的熵變是一個正值，進(jìn)而可知在完全彈性碰撞中熵是增大的。

3.1.2 完全非彈性

本文研究非完全碰撞的一次碰撞的前后物體的熵變。當(dāng)兩個物體發(fā)生完全非彈性碰撞時，可列表達(dá)式如下：

mv=2mv，v，=? 2gh1? 2?? （10）

故可列機(jī)械能變化量為：

ΔEk= 1 2 mv2- 1 2 2mv，2= 1 2 mgh1? （11）

故可列出熵的表達(dá)式是：

ΔS= ΔEk φ =? 2gh1? 4?? （12）

由于φ在此表達(dá)式中為一個常量故不再贅述。由此可看出，熵變在完全非彈性碰撞中也是一個正值?？煽闯鲮卦谕耆菑椥耘鲎仓幸彩窃黾拥摹?/p>

3.1.3 非完全碰撞

在非完全碰撞中兩個物體會不完全的損失機(jī)械能。此時在非完全彈性碰撞中必須引入恢復(fù)系數(shù)這個物理量才能描述一個非完全彈性碰撞的過程。已知非完全碰撞時，恢復(fù)系數(shù)介于0到1之間。所以必須自行規(guī)定一個合適的恢復(fù)系數(shù)來對應(yīng)非完全碰撞的表達(dá)式。首先要知道恢復(fù)系數(shù)的表達(dá)式（2）。

恢復(fù)系數(shù)為零時，分?jǐn)?shù)上面為零則為交換速度，符合完全彈性碰撞的表達(dá)式。當(dāng)恢復(fù)系數(shù)為1時，則分?jǐn)?shù)上下為變化量，故可化簡為1，符合完全非彈性碰撞的表達(dá)式。由此可列出非完全彈性碰撞的機(jī)械能損失量表達(dá)式：（此時只研究一次碰撞過程）。

ΔEk= （1-e2）m1·m2 2m1+2m2 （v1-v2）2 （13）

進(jìn)一步可求出熵變?yōu)?/p>

ΔSk= （1-e2）（v1-v2）2 2（v1+v2）? （14）

由上式可知，在非完全彈性碰撞中熵變是一個正值?？煽闯鲮卦诜峭耆珡椥耘鲎仓幸彩窃黾拥?。

3.2 “熵”增結(jié)論和拓展

可以看出熵變在碰撞中是一個恒正的值，熵在碰撞中是增加的。這個系統(tǒng)只會不斷無序下去。直到所有機(jī)械能都轉(zhuǎn)化為熱能。這可以讓人聯(lián)想到一種叫熱寂的假說，即宇宙的熵會不斷增加，直至全宇宙中只留有熱能。

依照熵的定義，宇宙大爆炸似乎有點瑕疵。宇宙可以看作一個孤立系統(tǒng)。其熵應(yīng)不斷增大。但宇宙最初的狀態(tài)便是高溫狀態(tài)，為什么會向低溫狀態(tài)改變呢？本文設(shè)想的為宇宙最初的狀態(tài)只有很小的體積和很少的原子量。熱能因為原子量的極度匱乏而造成不了很高的熵，進(jìn)而使得溫度減少。

4 結(jié)論

碰撞中的能量守恒和動量守恒是研究碰撞的重要手段。在碰撞中，機(jī)械能發(fā)生著不同形式的轉(zhuǎn)化。本文就機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能為研究的基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步研究了碰撞過程中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換，獨樹一幟地構(gòu)建了碰撞過程中“熵”的概念，并從不同的恢復(fù)系數(shù)來具體說明了碰撞中的熵變。本文的主要內(nèi)容是構(gòu)造碰撞過程中熵的概念。并根據(jù)傳統(tǒng)中“孤立系統(tǒng)的熵是增加的”的認(rèn)知，本文對具體實例的熵增過程進(jìn)行了分析和論述，證實所構(gòu)造的概念是符合傳統(tǒng)認(rèn)知的。本文還參考了熱寂的相關(guān)理論，對宇宙最初狀態(tài)的熵變做出假說。

參考文獻(xiàn)

[1] 康山林，王華英，熊紅彥.建立熵增加原理的一種簡便方法[J].河北建筑科技學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，18（4）：81-83.

[2]王菊巍.淺析力學(xué)中動量守恒與角動量守恒[J].價值工程，2012，31（13）：246.

[3]羅清紅.從熵增中尋找開放的意義[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2017，（11）：83.

[4]何維杰，劉利輝.熱寂說的提出及其影響[J].湖南大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2008，22（5）：108-112.

[5]朱建廉.關(guān)于遵從熵增加原理必要前提的教材解讀[J].物理教師，2014，35（10）：29-30.