王佩其

在解析幾何中，拋物線問題的求解往往離不開拋物線定義。拋物線定義不僅能幫助同學(xué)們打開解題思路，而且可以減少計(jì)算量，真可謂“拋物線問題，定義先行”。

一、定義助我求軌跡

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F=（，0），直線l：x=，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l。判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡，并求其軌跡方程。

解析：依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，所以RQ是線段FP的垂直平分線。

因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，所以|PQ|=|QF|。

又|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2=2x。

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)|PQ|=|QF|，即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡滿足拋物線的定義。

二、定義助我求方程

例2如圖2，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交一其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為____。

解析：如圖3，分別過A、B作AA1⊥l于A，BB1⊥l于B1。

。

由拋物線的定義知：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|。

因?yàn)閨BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BB1|，∠BCB1=30°，∠AFx=60°。

連接A1F，則△AA1F為等邊三角形。過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)。設(shè)準(zhǔn)線l交x軸于K，則|KF|=|A1F1|=，即p=

因此，拋物線的方程為

評(píng)注：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求參數(shù)p的值，這個(gè)值可根據(jù)拋物線的定義并借助幾何法求得，從而避免了煩瑣的代數(shù)運(yùn)算。

三、定義助我求比值

例3已知點(diǎn)A（2，0），拋物線的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|=（）。

A.2：√5

B.1：2

C.1：√5

D.1：3

解析：如圖4所示，過點(diǎn)M作MH⊥l，由拋物線定義知|MF|=|MH|，所以|MF|：|MN|=|MH|：|MN|。

由于△MHN△FOA，則

故答案為C。

評(píng)注：本題與例2相似，利用拋物線的定義和圖形特征，把解析幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，大大減少了計(jì)算量。

四、定義助我求面積

例4設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且PQ過焦點(diǎn)的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面積。

解析：因?yàn)镻Q過焦點(diǎn)，所以|PQ|可看成兩個(gè)焦半徑之和。

如圖5，不妨設(shè)拋物線方程為y2=4ax，

評(píng)注：將焦點(diǎn)弦分成兩段，利用定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)用兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，結(jié)合方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系是常見的基本技能。本題計(jì)算三角形面積的技巧，也是拋物線中經(jīng)常用到的，必須掌握。

五、定義助我求最值

例5已知拋物線y2”=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線，上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析：將x=3代入拋物線方程y'2=2x，得y=±6。

因?yàn)椤?>2，所以A在拋物線內(nèi)部。如圖6，設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x=的距離為d，由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d。當(dāng)PA⊥準(zhǔn)線l時(shí)，|PA|+d的值最小，最小值為。，即|PA|+|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2=2x，得x=2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）。

評(píng)注：與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)。由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度?！翱吹綔?zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要方法。