項敬磊

直線與拋物線的位置關(guān)系問題，看似簡單，卻變化萬千。讓我們從一個簡單的例題談起。

引例：過定點P（O，2）作直線l，使直線l與拋物線y2=4x有且只有一個公共點，這樣的直線l共有____條。

分析：利用數(shù)形結(jié)合便可找到答案。

解：如圖1，過點P與拋物線y2=4x僅有一個公共點的直線有3條：2條切F線、1條與x軸平行的直線。

故答案為3。

評注：直線與拋物線只有一個公共點時，要考慮相圖1交于一點的情況，不要漏掉。

變式1：直線l：y=x-1與拋物線y2=4x是否相交？如果相交，試求兩交點之間的距離。

分析：可聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去y后得到一個關(guān)于x的一元二次方程，通過考查判別式△的正負(fù)來判斷它們的位置關(guān)系。而對于本題，由于直線l：y=x-1過拋物線y2=4x的焦點（1，0），故直線l與拋物線必相交。

解：因為直線l：y=x-1過拋物線y2=4x的焦點F（1，0），所以直線l與拋物線必相交。

評注：在拋物線中過焦點的弦稱為“焦點弦”。拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在求焦點弦長時起著至關(guān)重要的作用。

變式2：若直線l：y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點，且AB的中點為M（2，y0），求y0及弦AB的長。

分析：對A，B兩點坐標(biāo)設(shè)而不求，進而利用韋達(dá)定理和弦長公式

評注：拋物線弦的中點坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關(guān)鍵，方程思想也是解析幾何的核心思想。

變式3：（1）已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F（1，0），直線l與拋物線C相交于A、B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線l的方程為

（2）過拋物線y2=x上的點A（4，2）作傾角互補的兩條直線AB、AC，交拋物線于B、C，則直線BC的斜率為_

分析：（1）直線l過點（2，2），故要求直線直線l的方程，只需求直線l的斜率。又（2，2）是弦AB的中點，故宜采用點差法。（2）本小題雖未涉及弦的中點，但A，B，C三點都在拋物線上，并探究的是三條弦的斜率關(guān)系，故也宜采用點差法。

解：（1）因為拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F（1，0），所以=1，拋物線的方

程為y2=4x0

所以直線l的斜率為1，且過點（2，2），直線方程為y-2=x-2，即y=x。

①③兩式作差整理得：

②③兩式作差整理得

又因為kAC=-kAB，所以整理得y1+y2=-4。

代入④，即得到直線BC的斜率為

評注：在拋物線y2=2mx（m≠0）中，若直線l與拋物線相交于M、N兩點，點P（x0，y0）是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為kMN，則kMN·y0=m。利用這個結(jié)論解有關(guān)問題，可以大大減少運算量。