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        余弦曲線軌道背景下小球運(yùn)動加速度的變化

        2019-06-29 07:08:28魏學(xué)銳
        物理通報 2019年7期
        關(guān)鍵詞:法向質(zhì)點(diǎn)選項

        魏學(xué)銳

        (佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 廣東 佛山 528200)

        筆者在教學(xué)中,遇到一道值得深入思考的題.原題如下:

        【題目】如圖1所示,甲乙兩光滑的小球原來在水平面以相等速度向右運(yùn)動,現(xiàn)甲向右運(yùn)動要通過一段坡路ABC,乙要經(jīng)過一個坑DEF,若經(jīng)ABC和DEF的路程相等,兩球通過C或F到達(dá)右端水平面的速度相等,則( )

        A.甲由A到C的時間比乙由D到F的短

        B.甲由A到C的時間比乙由D到F的長

        C.甲由A到C的過程中加速度先減小再增大

        D.乙由D到F的過程中加速度先增大再減小

        圖1 題圖

        針對選項C,D,因為涉及到曲線運(yùn)動,并且未告知曲線的方程,解答起來是相當(dāng)困難的.下面我們詳細(xì)對選項D進(jìn)行分析,選項C用類似方法可以分析得出.

        1 構(gòu)建模型

        由于曲線未知,我們根據(jù)形狀,構(gòu)建一個DEF軌道的軌跡方程為:y=Acosωx,建立坐標(biāo)系如圖2所示.

        圖2 曲線y=Acos ωx

        有一質(zhì)點(diǎn)以初速度v0從x=0處出發(fā).此時我們要解決兩個問題:

        (1)該質(zhì)點(diǎn)會不會脫離軌道運(yùn)動?

        (2)在不脫離軌道運(yùn)動的情況下,加速度的變化是怎樣的?

        2 解決問題

        2.1 討論該質(zhì)點(diǎn)會不會脫離軌道運(yùn)動

        假設(shè)在P點(diǎn),該質(zhì)點(diǎn)脫離軌道,則在P點(diǎn)只受重力作用.加速度分析如圖3所示.

        圖3 P點(diǎn)加速度分析

        易得

        tanθ=|y′|=Aωsinωx

        由三角函數(shù)關(guān)系可得

        易得P點(diǎn)曲率半徑為

        從起點(diǎn)到P點(diǎn),由動能定理有

        在P點(diǎn),由牛頓第二定律有

        聯(lián)立方程并整理得

        (g+gA2ω2)=0

        整理后得

        若要讓cosωx有解,則需滿足

        滿足上式條件時,脫離位置由下解確定

        特別地,當(dāng)v0=0,ω=1時,Δ=-4g2A2<0,此時cosωx無解,則此時不會脫離軌道運(yùn)動.

        2.2 質(zhì)點(diǎn)不脫離軌道運(yùn)動情況討論

        如圖4所示,一般曲線運(yùn)動在自然坐標(biāo)下的加速度由切向和法向兩部分組成,即

        a=aτ+an

        考慮切向加速度,可以列出方程

        mgsinθ=maτ

        其中

        故易得

        考慮法向加速度,有

        圖4 P點(diǎn)受力及加速度圖示

        由2.1討論,代入相關(guān)公式有

        故該質(zhì)點(diǎn)不脫離軌道運(yùn)動情況下加速度大小為

        使用軟件作出a-x圖,容易發(fā)現(xiàn),a與ω和A關(guān)系很大.下面舉兩種情況看一下加速度變化的圖像.

        (1)A=1,ω=1,v0=0,g=9.8 m/s2.此時由圖5可知,在x∈(0,π)內(nèi),加速度先增加,后減小;在x∈(π,2π)內(nèi),加速度先減小,后增加,再減?。畲笾党霈F(xiàn)在x=π處.

        圖5 情況(1)a-x圖像

        (2)A=1,ω=0.5,v0=0.1 m/s,g=9.8 m/s2.此時我們發(fā)現(xiàn),在x∈(0,2π)內(nèi),加速度大小是單調(diào)遞增的,如圖6所示.

        圖6 情況(2)a-x圖像

        至此,我們發(fā)現(xiàn)加速度的變化在所建模型中是捉摸不定的,是會隨著ω和A的變化而不同的.在給定特定參數(shù)的情況下,才能確定加速度的變化,自然也就證明了本文開始時提出的題目是有問題的.

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