魏學(xué)銳
(佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 廣東 佛山 528200)
筆者在教學(xué)中,遇到一道值得深入思考的題.原題如下:
【題目】如圖1所示,甲乙兩光滑的小球原來在水平面以相等速度向右運動,現(xiàn)甲向右運動要通過一段坡路ABC,乙要經(jīng)過一個坑DEF,若經(jīng)ABC和DEF的路程相等,兩球通過C或F到達(dá)右端水平面的速度相等,則( )
A.甲由A到C的時間比乙由D到F的短
B.甲由A到C的時間比乙由D到F的長
C.甲由A到C的過程中加速度先減小再增大
D.乙由D到F的過程中加速度先增大再減小
圖1 題圖
針對選項C,D,因為涉及到曲線運動,并且未告知曲線的方程,解答起來是相當(dāng)困難的.下面我們詳細(xì)對選項D進(jìn)行分析,選項C用類似方法可以分析得出.
由于曲線未知,我們根據(jù)形狀,構(gòu)建一個DEF軌道的軌跡方程為:y=Acosωx,建立坐標(biāo)系如圖2所示.
圖2 曲線y=Acos ωx
有一質(zhì)點以初速度v0從x=0處出發(fā).此時我們要解決兩個問題:
(1)該質(zhì)點會不會脫離軌道運動?
(2)在不脫離軌道運動的情況下,加速度的變化是怎樣的?
假設(shè)在P點,該質(zhì)點脫離軌道,則在P點只受重力作用.加速度分析如圖3所示.
圖3 P點加速度分析
易得
tanθ=|y′|=Aωsinωx
由三角函數(shù)關(guān)系可得
易得P點曲率半徑為
從起點到P點,由動能定理有
在P點,由牛頓第二定律有
聯(lián)立方程并整理得
(g+gA2ω2)=0
整理后得
若要讓cosωx有解,則需滿足
滿足上式條件時,脫離位置由下解確定
特別地,當(dāng)v0=0,ω=1時,Δ=-4g2A2<0,此時cosωx無解,則此時不會脫離軌道運動.
如圖4所示,一般曲線運動在自然坐標(biāo)下的加速度由切向和法向兩部分組成,即
a=aτ+an
考慮切向加速度,可以列出方程
mgsinθ=maτ
其中
故易得
考慮法向加速度,有
圖4 P點受力及加速度圖示
由2.1討論,代入相關(guān)公式有
故該質(zhì)點不脫離軌道運動情況下加速度大小為
即
使用軟件作出a-x圖,容易發(fā)現(xiàn),a與ω和A關(guān)系很大.下面舉兩種情況看一下加速度變化的圖像.
(1)A=1,ω=1,v0=0,g=9.8 m/s2.此時由圖5可知,在x∈(0,π)內(nèi),加速度先增加,后減小;在x∈(π,2π)內(nèi),加速度先減小,后增加,再減?。畲笾党霈F(xiàn)在x=π處.
圖5 情況(1)a-x圖像
(2)A=1,ω=0.5,v0=0.1 m/s,g=9.8 m/s2.此時我們發(fā)現(xiàn),在x∈(0,2π)內(nèi),加速度大小是單調(diào)遞增的,如圖6所示.
圖6 情況(2)a-x圖像
至此,我們發(fā)現(xiàn)加速度的變化在所建模型中是捉摸不定的,是會隨著ω和A的變化而不同的.在給定特定參數(shù)的情況下,才能確定加速度的變化,自然也就證明了本文開始時提出的題目是有問題的.