魏學(xué)銳

(佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 廣東 佛山 528200)

筆者在教學(xué)中，遇到一道值得深入思考的題．原題如下：

【題目】如圖1所示，甲乙兩光滑的小球原來在水平面以相等速度向右運(yùn)動，現(xiàn)甲向右運(yùn)動要通過一段坡路ABC，乙要經(jīng)過一個坑DEF，若經(jīng)ABC和DEF的路程相等，兩球通過C或F到達(dá)右端水平面的速度相等，則( )

A.甲由A到C的時間比乙由D到F的短

B.甲由A到C的時間比乙由D到F的長

C.甲由A到C的過程中加速度先減小再增大

D.乙由D到F的過程中加速度先增大再減小

圖1 題圖

針對選項C，D，因為涉及到曲線運(yùn)動，并且未告知曲線的方程，解答起來是相當(dāng)困難的．下面我們詳細(xì)對選項D進(jìn)行分析，選項C用類似方法可以分析得出．

1 構(gòu)建模型

由于曲線未知，我們根據(jù)形狀，構(gòu)建一個DEF軌道的軌跡方程為：y=Acosωx，建立坐標(biāo)系如圖2所示．

圖2 曲線y=Acos ωx

有一質(zhì)點(diǎn)以初速度v0從x=0處出發(fā)．此時我們要解決兩個問題：

(1)該質(zhì)點(diǎn)會不會脫離軌道運(yùn)動？

(2)在不脫離軌道運(yùn)動的情況下，加速度的變化是怎樣的？

2 解決問題

2.1 討論該質(zhì)點(diǎn)會不會脫離軌道運(yùn)動

假設(shè)在P點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)脫離軌道，則在P點(diǎn)只受重力作用．加速度分析如圖3所示．

圖3 P點(diǎn)加速度分析

易得

tanθ=|y′|=Aωsinωx

由三角函數(shù)關(guān)系可得

易得P點(diǎn)曲率半徑為

從起點(diǎn)到P點(diǎn)，由動能定理有

在P點(diǎn)，由牛頓第二定律有

聯(lián)立方程并整理得

(g+gA2ω2)=0

整理后得

若要讓cosωx有解，則需滿足

滿足上式條件時，脫離位置由下解確定

特別地，當(dāng)v0=0,ω=1時，Δ=-4g2A2<0，此時cosωx無解，則此時不會脫離軌道運(yùn)動．

2.2 質(zhì)點(diǎn)不脫離軌道運(yùn)動情況討論

如圖4所示，一般曲線運(yùn)動在自然坐標(biāo)下的加速度由切向和法向兩部分組成，即

a=aτ+an

考慮切向加速度，可以列出方程

mgsinθ=maτ

其中

故易得

考慮法向加速度，有

圖4 P點(diǎn)受力及加速度圖示

由2.1討論，代入相關(guān)公式有

故該質(zhì)點(diǎn)不脫離軌道運(yùn)動情況下加速度大小為

即

使用軟件作出a-x圖，容易發(fā)現(xiàn)，a與ω和A關(guān)系很大．下面舉兩種情況看一下加速度變化的圖像．

(1)A=1,ω=1,v0=0,g=9.8 m/s2．此時由圖5可知，在x∈(0,π)內(nèi)，加速度先增加，后減小；在x∈(π,2π)內(nèi)，加速度先減小，后增加，再減?。畲笾党霈F(xiàn)在x=π處．

圖5 情況(1)a-x圖像

(2)A=1,ω=0.5,v0=0.1 m/s,g=9.8 m/s2．此時我們發(fā)現(xiàn)，在x∈(0,2π)內(nèi)，加速度大小是單調(diào)遞增的，如圖6所示．

圖6 情況(2)a-x圖像

至此，我們發(fā)現(xiàn)加速度的變化在所建模型中是捉摸不定的，是會隨著ω和A的變化而不同的．在給定特定參數(shù)的情況下，才能確定加速度的變化，自然也就證明了本文開始時提出的題目是有問題的．