楊鵬志 劉嘉豪 楊宏春 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學英才實驗學院 四川 成都 611731) (電子科技大學物理學院 四川 成都 610054)

1 引言

長直載流導線是電磁學中的一種常見理論模型[1]，并且在大學物理習題中也經(jīng)常被討論．比如大學物理中經(jīng)常有這樣的問題：

【題目】兩根無限長的平行載流直導線，其間距為a且電流反向，如圖1所示，在保持電流I不變的情況下增大平行導線的間距，則空間總磁能將如何變化[2]？

圖1 平行長直載流導線示意圖

對這類問題通常可以采用做功和等效自感的方法進行定性分析．

若用簡單做功方法，則是類比帶異種電荷的平行板電容器的情形[3]．當增大兩板間距時，需外力做功，則電場能量增加．類比此問題，表面上看，兩導線相互排斥，當增大兩導線間距，外界做負功，則磁場能量減?。沁@個結論與真實情況相悖，因為這里沒有考慮導線中感應電動勢的影響[4]，而此時電源克服感應電動勢做功又很難定量計算．

若用等效自感方法，經(jīng)過解析推導，可以得到兩長直導線中軸線內側的單位長度自感系數(shù)(忽略兩導線中心軸線以外的磁場)為

其中μ0表示真空磁導率，a和r分別代表導線軸心間的距離和導線半徑．再結合磁場能量公式

可以發(fā)現(xiàn)，當增大導線間距a時，自感系數(shù)L變大，則磁場能量Wm增大．這與正確結果一致，但是該方法又無法應用于同向長直載流導線的情形．

綜上所述，簡單地利用做功方法往往會得到錯誤的結果，而用等效自感方法又不能處理電流同向的情況，因而導致此類問題缺乏統(tǒng)一合理的解決方案．

本文則從磁場能量密度和總磁能的角度出發(fā)，對這類問題進行理論分析，從而得到合理直觀的統(tǒng)一解釋．

2 模型建立

如圖2所示，假設導線A與B軸線間距為a，導線半徑為r．

圖2 電流反向情況下導線外部磁場的矢量疊加圖

由于該平行長直導線磁場具有上下平移不變性，故將沿導線方向單位高度內的空間磁場能量求解轉化為平面問題．又因為磁場能量密度的原點對稱和軸對稱性，所以只在第一象限進行計算分析．

下面分兩種情況進行討論.

2.1 電流反向情況

設

(1)

于是第一象限內兩根載流導線外任意一點M(x,y)點的磁感應強度分別為B1和B2

(2)

從而第一象限內，導線外M(x,y) 處兩載流導線的磁感應強度的矢量疊加，即總磁場為

(3)

根據(jù)磁場能量密度與磁感應強度關系，得到第一象限內載流導線外的兩載流導線總磁場能量密度為

(4)

其中

同理，第一象限內兩載流導線在導線A內部任一點(x,y)處的磁感應強度分別為B3和B4

(5)

從而第一象限內，導線A內(x,y) 處兩載流導線的磁感應強度的矢量疊加，即總磁場為

(6)

于是載流導線內的總磁場能量密度為

x2(r2-v)2}(8π2r4v2)-1

(7)

其中

2.2 電流同向情況

通過與反向通電導線相似的推導，第一象限導線外和導線內的總磁場能量密度分別為

(8)

x2(r2+v)2}(8π2r4v2)-1

(9)

3 結果與討論

為了更加清晰地分析此問題，下面首先來看磁場能量密度的分布情況．

利用Mathcad仿真，可以分別得到電流反向情況下垂直電流方向的截面內磁場能量密度等值線(圖3)、三維圖(圖4)，以及二維截面圖(圖5)，這里的參數(shù)設定為

r=0.001 m

a=10r

并定義下列約化磁場能量密度和約化磁場能量

圖3 電流反向情況下磁場能量密度等值線

圖4 電流反向情況下磁場能量密度三維圖

從圖3和圖4可以看出，在兩根導線外圍某些位置，磁場能量密度取峰值，而偏離那些位置時，不論是載流導線內部還是外部，磁場能量密度都是快速下降，甚至趨于零，同時磁場能量密度具有較好的對稱性．

再看磁場能量密度的二維截面圖，也就是在平行于y軸做一系列參考線的分布圖，如圖5所示．

圖5 電流反向情況下磁場能量密度二維截面圖

但是當參考線位置為x=r和x=6r時，磁場能量密度分布發(fā)生了明顯變化，極大值點不斷減少，且曲線更為平坦并且最后能量密度趨于零．圖5告訴我們，不同參考線上的磁場能量密度峰值存在四峰、雙峰和單峰的情況，但是隨著參考線位置不斷向外移動，兩組雙峰不斷接近，在x=r參考線處四峰合為雙峰，之后這一組雙峰又在不斷接近，最終變成單峰．

電流同向條件下的磁場能量密度等值線和截面圖的情形與反向情況類似，具體細節(jié)如圖6和圖7所示.

圖6 電流同向情況下磁場能量密度等值線

圖7 電流同向情況下磁場能量密度截面圖

根據(jù)以上討論的磁場能量密度，可以計算在沿導線方向單位高度構成的空間區(qū)域內的總磁場能量．首先計算第一象限中載流導體內的能量

(10)

(11)

(12)

(13)

考慮到磁場能量密度的對稱性，于是得到整個空間區(qū)域(4個象限)內的總磁場能量為

E(a)=4[E1(a)+E2(a)+E3(a)+E4(a)]

(14)

從而磁場能量和導線間距的關系可以統(tǒng)一地通過數(shù)值計算得到，圖8是使用Mathcad軟件對磁場能量E(a)進行數(shù)值計算的結果．

圖8 電流反向情況下磁場能量隨導線間距a變化

同理得到電流同向時的總磁能E′(a)和導線間距的關系如圖9所示.

圖9 電流同向情況下磁場能量隨導線間距a變化

從圖8可以看出，若平行導線中電流反向，則增大兩導線距離時磁場能量增加，但是增大的趨勢不斷減緩．而從圖9可以看出，若平行導線中電流同向，則隨著導線距離的增大，磁場能量將會減小，但是減小的趨勢同樣地不斷趨緩．

4 結束語

本文以平行載流直導線的磁場能量分布這個大學物理課程中的基本問題為案例，通過解析計算兩根平行長直載流導線的磁場能量密度分布，以及數(shù)值分析沿導線方向單位長度空間內的總磁能，給出了此基本問題的一個合理直觀的理論描述．