楊鵬志 劉嘉豪 楊宏春 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學(xué)英才實(shí)驗(yàn)學(xué)院 四川 成都 611731) (電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 610054)

1 引言

長(zhǎng)直載流導(dǎo)線是電磁學(xué)中的一種常見理論模型[1]，并且在大學(xué)物理習(xí)題中也經(jīng)常被討論．比如大學(xué)物理中經(jīng)常有這樣的問題：

【題目】?jī)筛鶡o限長(zhǎng)的平行載流直導(dǎo)線，其間距為a且電流反向，如圖1所示，在保持電流I不變的情況下增大平行導(dǎo)線的間距，則空間總磁能將如何變化[2]？

圖1 平行長(zhǎng)直載流導(dǎo)線示意圖

對(duì)這類問題通常可以采用做功和等效自感的方法進(jìn)行定性分析．

若用簡(jiǎn)單做功方法，則是類比帶異種電荷的平行板電容器的情形[3]．當(dāng)增大兩板間距時(shí)，需外力做功，則電場(chǎng)能量增加．類比此問題，表面上看，兩導(dǎo)線相互排斥，當(dāng)增大兩導(dǎo)線間距，外界做負(fù)功，則磁場(chǎng)能量減?。沁@個(gè)結(jié)論與真實(shí)情況相悖，因?yàn)檫@里沒有考慮導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的影響[4]，而此時(shí)電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功又很難定量計(jì)算．

若用等效自感方法，經(jīng)過解析推導(dǎo)，可以得到兩長(zhǎng)直導(dǎo)線中軸線內(nèi)側(cè)的單位長(zhǎng)度自感系數(shù)(忽略兩導(dǎo)線中心軸線以外的磁場(chǎng))為

其中μ0表示真空磁導(dǎo)率，a和r分別代表導(dǎo)線軸心間的距離和導(dǎo)線半徑．再結(jié)合磁場(chǎng)能量公式

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大導(dǎo)線間距a時(shí)，自感系數(shù)L變大，則磁場(chǎng)能量Wm增大．這與正確結(jié)果一致，但是該方法又無法應(yīng)用于同向長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的情形．

綜上所述，簡(jiǎn)單地利用做功方法往往會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，而用等效自感方法又不能處理電流同向的情況，因而導(dǎo)致此類問題缺乏統(tǒng)一合理的解決方案．

本文則從磁場(chǎng)能量密度和總磁能的角度出發(fā)，對(duì)這類問題進(jìn)行理論分析，從而得到合理直觀的統(tǒng)一解釋．

2 模型建立

如圖2所示，假設(shè)導(dǎo)線A與B軸線間距為a，導(dǎo)線半徑為r．

圖2 電流反向情況下導(dǎo)線外部磁場(chǎng)的矢量疊加圖

由于該平行長(zhǎng)直導(dǎo)線磁場(chǎng)具有上下平移不變性，故將沿導(dǎo)線方向單位高度內(nèi)的空間磁場(chǎng)能量求解轉(zhuǎn)化為平面問題．又因?yàn)榇艌?chǎng)能量密度的原點(diǎn)對(duì)稱和軸對(duì)稱性，所以只在第一象限進(jìn)行計(jì)算分析．

下面分兩種情況進(jìn)行討論.

2.1 電流反向情況

設(shè)

(1)

于是第一象限內(nèi)兩根載流導(dǎo)線外任意一點(diǎn)M(x,y)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1和B2

(2)

從而第一象限內(nèi)，導(dǎo)線外M(x,y) 處兩載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量疊加，即總磁場(chǎng)為

(3)

根據(jù)磁場(chǎng)能量密度與磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系，得到第一象限內(nèi)載流導(dǎo)線外的兩載流導(dǎo)線總磁場(chǎng)能量密度為

(4)

其中

同理，第一象限內(nèi)兩載流導(dǎo)線在導(dǎo)線A內(nèi)部任一點(diǎn)(x,y)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B3和B4

(5)

從而第一象限內(nèi)，導(dǎo)線A內(nèi)(x,y) 處兩載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量疊加，即總磁場(chǎng)為

(6)

于是載流導(dǎo)線內(nèi)的總磁場(chǎng)能量密度為

x2(r2-v)2}(8π2r4v2)-1

(7)

其中

2.2 電流同向情況

通過與反向通電導(dǎo)線相似的推導(dǎo)，第一象限導(dǎo)線外和導(dǎo)線內(nèi)的總磁場(chǎng)能量密度分別為

(8)

x2(r2+v)2}(8π2r4v2)-1

(9)

3 結(jié)果與討論

為了更加清晰地分析此問題，下面首先來看磁場(chǎng)能量密度的分布情況．

利用Mathcad仿真，可以分別得到電流反向情況下垂直電流方向的截面內(nèi)磁場(chǎng)能量密度等值線(圖3)、三維圖(圖4)，以及二維截面圖(圖5)，這里的參數(shù)設(shè)定為

r=0.001 m

a=10r

并定義下列約化磁場(chǎng)能量密度和約化磁場(chǎng)能量

圖3 電流反向情況下磁場(chǎng)能量密度等值線

圖4 電流反向情況下磁場(chǎng)能量密度三維圖

從圖3和圖4可以看出，在兩根導(dǎo)線外圍某些位置，磁場(chǎng)能量密度取峰值，而偏離那些位置時(shí)，不論是載流導(dǎo)線內(nèi)部還是外部，磁場(chǎng)能量密度都是快速下降，甚至趨于零，同時(shí)磁場(chǎng)能量密度具有較好的對(duì)稱性．

再看磁場(chǎng)能量密度的二維截面圖，也就是在平行于y軸做一系列參考線的分布圖，如圖5所示．

圖5 電流反向情況下磁場(chǎng)能量密度二維截面圖

但是當(dāng)參考線位置為x=r和x=6r時(shí)，磁場(chǎng)能量密度分布發(fā)生了明顯變化，極大值點(diǎn)不斷減少，且曲線更為平坦并且最后能量密度趨于零．圖5告訴我們，不同參考線上的磁場(chǎng)能量密度峰值存在四峰、雙峰和單峰的情況，但是隨著參考線位置不斷向外移動(dòng)，兩組雙峰不斷接近，在x=r參考線處四峰合為雙峰，之后這一組雙峰又在不斷接近，最終變成單峰．

電流同向條件下的磁場(chǎng)能量密度等值線和截面圖的情形與反向情況類似，具體細(xì)節(jié)如圖6和圖7所示.

圖6 電流同向情況下磁場(chǎng)能量密度等值線

圖7 電流同向情況下磁場(chǎng)能量密度截面圖

根據(jù)以上討論的磁場(chǎng)能量密度，可以計(jì)算在沿導(dǎo)線方向單位高度構(gòu)成的空間區(qū)域內(nèi)的總磁場(chǎng)能量．首先計(jì)算第一象限中載流導(dǎo)體內(nèi)的能量

(10)

(11)

(12)

(13)

考慮到磁場(chǎng)能量密度的對(duì)稱性，于是得到整個(gè)空間區(qū)域(4個(gè)象限)內(nèi)的總磁場(chǎng)能量為

E(a)=4[E1(a)+E2(a)+E3(a)+E4(a)]

(14)

從而磁場(chǎng)能量和導(dǎo)線間距的關(guān)系可以統(tǒng)一地通過數(shù)值計(jì)算得到，圖8是使用Mathcad軟件對(duì)磁場(chǎng)能量E(a)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的結(jié)果．

圖8 電流反向情況下磁場(chǎng)能量隨導(dǎo)線間距a變化

同理得到電流同向時(shí)的總磁能E′(a)和導(dǎo)線間距的關(guān)系如圖9所示.

圖9 電流同向情況下磁場(chǎng)能量隨導(dǎo)線間距a變化

從圖8可以看出，若平行導(dǎo)線中電流反向，則增大兩導(dǎo)線距離時(shí)磁場(chǎng)能量增加，但是增大的趨勢(shì)不斷減緩．而從圖9可以看出，若平行導(dǎo)線中電流同向，則隨著導(dǎo)線距離的增大，磁場(chǎng)能量將會(huì)減小，但是減小的趨勢(shì)同樣地不斷趨緩．

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以平行載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)能量分布這個(gè)大學(xué)物理課程中的基本問題為案例，通過解析計(jì)算兩根平行長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)能量密度分布，以及數(shù)值分析沿導(dǎo)線方向單位長(zhǎng)度空間內(nèi)的總磁能，給出了此基本問題的一個(gè)合理直觀的理論描述．