劉永瑞

線面平行是立體幾何的重要問題.證明線面平行可以通過線面平行的判定定理，或者是面面平行的性質(zhì)來證明，其中主要還是要依靠線面平行的判定定理，即通過線線平行證明線面平行，因此尋找線線平行是解決問題的關(guān)鍵所在.

常見的線線平行主要從平面幾何的相關(guān)定理、線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理等途徑得到，下面我們舉例來說明.

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：MN//平面PAD.

分析1本題條件中有M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，線段中點(diǎn)讓我們聯(lián)想到三角形的中位線，中位線平行于底邊，我們可以利用這一點(diǎn)構(gòu)作輔助線.

證明1如圖2，取PD的中點(diǎn)K，連結(jié)NK，AK，則NK是△PCD的中位線，所以NK//CD，且NK=1/2CD.又因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形且M是邊AB的中點(diǎn).所以AM//CD，且AM=1/2CD，所以AM//NK且AM=NK，則四邊形AMNK為平行四邊形，所以MN//AK.又因?yàn)镸N≠平面PAD，AKC平面PAD，所以MN//平面PAD.

分析2我們還可以反過來思考，既然要證明MN//平面PAD，那么如果過MN作一個(gè)平面與平面PAD有一條交線，則MN自然應(yīng)該與這條交線平行，我們可以用這種方法來探尋與MN平行的直線.

證明2如圖3，連結(jié)CM并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，連結(jié)PK.因?yàn)镃B//AK，M是AB的中點(diǎn)，所以M也是CK的中點(diǎn).又N是PC的中點(diǎn)，則MN是△PCK的中位線，所以MN//PK.又因?yàn)镸NI平面PAD，PKC平面PAD，所以MN//平面PAD.

總結(jié)1.在這個(gè)例子中，無論證法1，還是證法2，都充分利用中點(diǎn)聯(lián)想到平面幾何中的中位線、平行四邊形，因此利用平面幾何的相關(guān)定理和結(jié)論能幫助我們尋找到線線平行;平面幾何中涉及線線平行的其他結(jié)論，比如由對(duì)應(yīng)線段成比例推得兩直線平行，平面內(nèi)垂直于同一直線兩直線平行等等也常常會(huì)用到.

2.事實(shí)上，證法1與證法2的另一個(gè)共同點(diǎn)就在于都是過MN作了一個(gè)平面，使該平面與平面PAD相交，那么證明MN與這條交線平行就是我們要找的線線平行.

例2如圖4，平行四邊形EFGH的頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，求證：BD//平面EFGH.

分析本題中主要條件就是平行四邊形EFGH，它提供了線線平行，但并不能直接用于證明BD//平面EFGH，而線線平行可以先轉(zhuǎn)為線面平行，再用線面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為線線平行，通過這種路徑也能得到我們需要的線線平行.具體證明如下：

證明因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，

所以EH//GF.

又因?yàn)镋H≠平面BCD，F(xiàn)GC平面BCD，

所以EH//平面BCD.

又因?yàn)镋HC平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，

所以EH//BD.

又因?yàn)锽D≠平面EFGH，EHC平面EFGH，

所以BD//平面EFGH.

總結(jié)通過線面平行的性質(zhì)定理，從線面平行中獲得線線平行，是一條尋找線線平行的重要方法.同樣的道理，我們還可以將面面平行的條件通過面面平行的性質(zhì)定理直接轉(zhuǎn)化為我們需要的線線平行.

例3如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1、中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF//平面BB1D1.

分析題中主要信息：①以正方體為載體;②EF分別與兩條異面直線A1D，AC垂直，要證明線面平行，也就是要求我們從垂直的信息中挖掘出平行關(guān)系，這使我們聯(lián)想到線面垂直的性質(zhì)定理，即垂直于同一平面的兩直線平行.證明如下：

證明如圖6，連結(jié)AB1，B1C，BD.

因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，ACC平面ABCD，

所以DD1⊥AC.

又因?yàn)锳C⊥BD，BD∩D1B1=D，

所以AC⊥平面BDD1B1.

又因?yàn)锽D1C平面BDD1B1，

所以BD1⊥AC.

同理可證，BD1⊥B1C.

所以BD1⊥平面AB1C.

因?yàn)镋F⊥A1D，A1D//B1C，

所以EF⊥B1C.

又因?yàn)镋F⊥AC，B1C∩AC=C，

所以EF⊥平面AB1C，

所以EF//BD.

又因?yàn)镋F≠平面BB1D1，BD1C平面BB1D1，

所以EF//平面BB1D1.

總結(jié)本題解答過程就是著重于證明兩個(gè)線面垂直，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，得到我們所需要的平行關(guān)系，可見這也是得到線線平行的一條路徑.