張居強(qiáng)

16世紀(jì)初，當(dāng)?shù)谝粡垖?shù)表問世后，天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家的拉普拉斯?jié)M腔熱情地稱贊這是一項(xiàng)“使天文學(xué)家壽命倍增”的發(fā)明，甚至世界知名科學(xué)家伽利略還說過：“給我一個空間、時間及對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙.”對數(shù)及對數(shù)函數(shù)，同學(xué)們學(xué)習(xí)時常感覺其知識難學(xué)，難理解，根本沒有感覺到其能帶來方便的運(yùn)用，何德何能享有這么高的評價？筆者僅從幾例試題出發(fā)，帶領(lǐng)同學(xué)們感受、體驗(yàn)對數(shù)及對數(shù)函數(shù)給我們、給世界帶來的方便.

一、取“對數(shù)”——簡化運(yùn)算

對數(shù)的重要功能：能夠簡化運(yùn)算，通過“取對數(shù)”運(yùn)算，我們可以將乘法運(yùn)算變成加法運(yùn)算，除法運(yùn)算變成減法運(yùn)算，乘方運(yùn)算變成倍數(shù)運(yùn)算.因此我們在解題時要提醒自己，需要根據(jù)試題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用對數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)化繁為簡，縮短思維過程，提高解題效率.

例1設(shè)a，b，c都是不等于1的正數(shù)，且ab≠1，求證：alogcb=blogca.

解析若直接證明比較困難，若考慮該等式兩邊都是正數(shù)且都不等于1，可以對等式兩邊同時取對數(shù)，為了計(jì)算方便，處理對數(shù)問題時要選擇好底數(shù).根據(jù)結(jié)論我們選擇以“c”為底較好.

因?yàn)閍，b，c都是不等于1的正數(shù)且ab≠1，所以要證等式alogcb=blogca成立，只要證logcalogcb=logcblogca，即logcb·logca=logca·logcb，顯然該式是成立的.

二、用“圖象”避開運(yùn)算

對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）的圖象必經(jīng)過兩個點(diǎn)（1，0）和（a，1），我們不妨稱之為對數(shù)函數(shù)的兩個特征點(diǎn).對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）的圖象中，直線x=1反映了它的分布特征;而直線y=1與對數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)（a，1）的橫坐標(biāo)則直觀地反映了對數(shù)函數(shù)的底數(shù)特征.我們可以稱x=1和y=1為對數(shù)函數(shù)的兩條對數(shù)函數(shù)特征線.我們在畫圖象時就能把握住圖象的基本特征，利用對數(shù)函數(shù)的特征點(diǎn)、特征線處理一些問題，形象、直觀，簡單易行.

例2 已知a>0，且a≠1，寫出方程2loga（x2-5x+7）+5ax-2x-3-5=0的一個解x=_____.

分析由試題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不能直接求解，易想到用數(shù)形結(jié)合來求解，難點(diǎn)在于如何把題目的方程轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)圖象問題，只要將題目分解成兩個部分，問題就可解決.

解設(shè)f（x）=2loga（x2-5x+7），g（x）=5-5ax2-2x-3，根據(jù)y=logax（a>0且a≠1）的圖象的特征知其恒過點(diǎn)（1，0），令x2-5x+7=1得x=2或x=3，所以函數(shù)f（x）的圖象恒過點(diǎn)（2，0）和（3，0）.

而g（x）=5-5ax2-2x-3中，令x2-2x-3=0時，即有x=-1或x=3，所以函數(shù)g（x）的圖象恒過點(diǎn)（-1，0）和（3，0）.

由上可知，兩函數(shù)值都等于0時可得到相同的解x=3.

故方程2loga（x2-5x+7）+5ax-2-3-5=0的一個解為x=3.

三、借“情境”——降級運(yùn)算

對數(shù)是隨著天文學(xué)中解決龐大數(shù)據(jù)計(jì)算的需要而被發(fā)明出來的數(shù)學(xué)概念，而20世紀(jì)50年代中計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與升級，使得對數(shù)特有的將復(fù)雜的計(jì)算簡單化的必要性已消失，但是因?yàn)閷?shù)可以把pH值、里氏地震規(guī)模、分貝、星的等級等以幾何級別增加的形式簡化成以算術(shù)級別增加的形式，從而其仍然被人們所廣泛使用.

例320世紀(jì)30年代，查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為：M=lgA-lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）.

（1）假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100km的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級（精確到0.1）;

（2）5級地震給人的振感已比較明顯，計(jì)算7.6級地震最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍？（精確到1）

分析在解決實(shí)際問題的過程中，我們首先需要在實(shí)際的情境中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無關(guān)的因素，將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.而本題中函數(shù)模型已確定，處理時只需對問題進(jìn)行定量分析，套用現(xiàn)成的公式即可把問題解決.

解析（1）M=lgA-lgA0=lg20-lg0.001=lg20/0.001=lg20000=lg2+lg104≈4.3.

（2）由M=lgA-lgA0=lgA/A0，解得A=A0·10M.

當(dāng)M=7.6時，地震的最大振幅為A=A0·107.6;

當(dāng)M=5時，地震的最大振幅為A=A0·105.

所以，兩次地震的最大振幅之比是A/A=

≈398，

即7.6級地震最大振幅是5級地震最大振幅的398倍.