張 磊

(江蘇省徐州市第二中學(xué) 221005)

一、引言

歷年江蘇高考對解析幾何部分知識考查主要是關(guān)于“直線和圓”兩個(gè)C級考點(diǎn)的基礎(chǔ)知識與基本技能.本文是在2018年9月高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)講授江蘇高考題時(shí)的課堂案例實(shí)錄.因題中涉及的點(diǎn)、線、圓以及向量的數(shù)量積不夠直觀，涉及到的不等關(guān)系較為復(fù)雜，學(xué)生直接解答并不容易.所以，我就利用Sketchpad軟件直觀地構(gòu)造出較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)圖形和動畫，通過對其變換、度量、計(jì)算和跟蹤生成軌跡等方式，為教師和學(xué)生提供一個(gè)討論“直線與圓”問題內(nèi)在關(guān)系的教學(xué)案例.

二、試題回顧

解析及Sketchpad輔助設(shè)計(jì)指導(dǎo)本題所求是滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍，我們可以構(gòu)造關(guān)于其的不等關(guān)系進(jìn)行求解.

圖1

圖2

聯(lián)立圓S:(x+6)2+(y-3)2=65與圓O:x2+y2=50.

圖3

圖4

圖5

本例主要考查了直線與圓(圓與圓)的相交問題，是解析幾何中常見題目.而問題中探求點(diǎn)的軌跡更是平面解析幾何研究的重要問題之一，也是高中生難以理解和掌握的內(nèi)容.傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生只能手工畫出動點(diǎn)軌跡的草圖或在頭腦中簡單地想象，軌跡的精準(zhǔn)性、完備性往往難以把握，手工畫圖常使學(xué)生、教師在解題時(shí)，考慮得不夠完整全面，遺漏了動點(diǎn)的特殊位置以及動點(diǎn)運(yùn)動的多種情形，從而造成軌跡的遺漏和不完整.借助Sketchpad，可以直觀、動態(tài)地描繪出運(yùn)動軌跡的形成過程，幫助學(xué)生認(rèn)識軌跡的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生從中獲得解決問題方法.該案例從題干給出得相關(guān)方程出發(fā)，準(zhǔn)確地畫出其對應(yīng)的圖形，突出了Sketchpad較之其他數(shù)學(xué)軟件最大的優(yōu)勢——幾何圖形的動態(tài)化、“形”與“數(shù)”的同步化和操作的簡單直觀化.

筆者在平面解析幾何課程教學(xué)過程中，借助微課平臺，利用Sketchpad的優(yōu)勢和高三同學(xué)的認(rèn)知特點(diǎn)，有針對性地設(shè)計(jì)了大量的微課視頻，并借助這些教學(xué)案例所創(chuàng)設(shè)的問題情境展開教學(xué)活動，充分調(diào)動了學(xué)生在操作中觀察、在探索中思考、在合作中交流，不僅點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且克服了傳統(tǒng)教學(xué)中的不足，有效地促進(jìn)了學(xué)習(xí)活動的開展.這些案例討論Sketchpad在平面解析幾何教學(xué)中數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證、數(shù)學(xué)問題解決過程中的應(yīng)用一窺，值得借鑒.