唐恒鈞, 陳碧芬

(浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

隨著立德樹人作為教育根本任務(wù)的確立，德育引起了更多的重視與關(guān)注.而德育的實(shí)施既需要有專門的課程，也需要借助各學(xué)科的教育進(jìn)行培養(yǎng)，即使是數(shù)學(xué)學(xué)科也能很好地開展學(xué)科德育教育.一些學(xué)者曾就數(shù)學(xué)的德育價(jià)值進(jìn)行過論述[1].中小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)也在不斷地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科德育.但從2013年新浪網(wǎng)發(fā)起的一次有關(guān)“數(shù)學(xué)是否該滾出高考”的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，參與調(diào)查的網(wǎng)友中約7成投了贊成票.許多網(wǎng)友吐槽數(shù)學(xué)的價(jià)值及學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，其中一個(gè)典型的觀點(diǎn)是將數(shù)學(xué)的價(jià)值簡單地等同于實(shí)際應(yīng)用，并進(jìn)而認(rèn)為學(xué)那么多數(shù)學(xué)知識沒有多少意義.可見，數(shù)學(xué)的價(jià)值在相當(dāng)一部分人的心目中被不恰當(dāng)?shù)卣耍貏e是未能充分地認(rèn)識到數(shù)學(xué)的德育價(jià)值.因此，數(shù)學(xué)教育的德育價(jià)值及其培養(yǎng)途徑是值得進(jìn)一步探索的問題.理性精神的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)德育的重要內(nèi)容,文獻(xiàn)[2]提出了理性精神培養(yǎng)的一些基本想法.筆者將進(jìn)一步從民族數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，討論對理性精神及其培養(yǎng)的認(rèn)識與做法.

1 理性精神并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自然結(jié)果

所謂理性，是人類具有的依據(jù)所掌握的知識和法則進(jìn)行各種活動的意志和能力，是指“概念、判斷、推理等思維形式或活動”[3].鄭毓信[4]認(rèn)為,理性是一個(gè)不斷發(fā)展與演化的概念：早期的“理性”與“愚昧無知”相對立，即意識到世界的規(guī)律性及這種規(guī)律的可認(rèn)識性；而其近代的一個(gè)重要涵義在于，人類超越感性經(jīng)驗(yàn)束縛，借助理論思維,獲得關(guān)于事物本質(zhì)的深刻認(rèn)識；就其現(xiàn)代發(fā)展而言，則包括了對于自我、對于自我與外在世界的關(guān)系、特別是對于人的認(rèn)識能力的自覺反省.

就數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)及其歷史發(fā)展而言，其與理性有著某種天然的聯(lián)系.自古希臘以來，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”、柏拉圖的理念世界及利用數(shù)學(xué)方法研究天體運(yùn)動規(guī)律等，都表明數(shù)學(xué)在認(rèn)識人類所生存于這個(gè)世界的規(guī)律上的價(jià)值.而數(shù)學(xué)的公理體系、邏輯論證等則為人類超越感性經(jīng)驗(yàn)的束縛提供了工具，使人們認(rèn)識到紛繁復(fù)雜、變化多樣的外在表象背后的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)特征.此外，數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性、數(shù)學(xué)建模及其預(yù)測功能等為理解人類與自然、社會的關(guān)系及解決問題提供了可靠的工具.克萊因[5]認(rèn)為，“作為理性精神的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，而且取代它們成為思想和行動的指南.”

基于此，數(shù)學(xué)教育也自然成為培養(yǎng)理性精神的重要載體.丁石孫[6]曾指出，“數(shù)學(xué)給人的不只是知識，而且是思想方法，數(shù)學(xué)是理性思維的典型.”然而需要引起重視與討論的問題是，理性精神是否是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自然結(jié)果？一定程度而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)能提高人思維的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，但卻不必然地能使人具備理性精神.王光明等[7]在對東西方數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上指出，“西方體現(xiàn)了為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)的特征，而中國則更多體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具價(jià)值，該工具價(jià)值或者體現(xiàn)為重視數(shù)學(xué)的技術(shù)化應(yīng)用，或者體現(xiàn)為將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究作為實(shí)現(xiàn)個(gè)人功利的手段，遮蔽了數(shù)學(xué)本身的理性價(jià)值.”

也有研究者對數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀進(jìn)行分析后認(rèn)為，數(shù)學(xué)盡管是一種思維科學(xué)，并充滿著理性，但受應(yīng)試教育、分?jǐn)?shù)至上等方面的影響，以及受教師本身認(rèn)識的限制，數(shù)學(xué)教學(xué)中仍以教知識、練技能為主，而“數(shù)學(xué)理性的光芒”被淹沒在大量缺乏思想的運(yùn)算、推理中，理性思維與精神并未得到有意識的培養(yǎng)[8].可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理性精神需要有意識的培養(yǎng).

2 民族數(shù)學(xué)是理性精神培養(yǎng)的重要載體

那么，數(shù)學(xué)教育中應(yīng)通過什么樣的途徑與方式培養(yǎng)學(xué)生的理性精神？當(dāng)下的學(xué)校教育在這方面還有哪些值得改善的地方？民族數(shù)學(xué)又能為學(xué)校數(shù)學(xué)教育提供怎樣的補(bǔ)充作用？

理性精神至少體現(xiàn)在兩個(gè)層面：一是理性思維意識與習(xí)慣，二是理性思維方式與能力.就當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)來看，后者是比較受到關(guān)注的.具體地說，教師要求學(xué)生在數(shù)學(xué)思考與表達(dá)上要有邏輯，能有依據(jù)地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，這能使學(xué)生的思維方式更具理性，并且其理性思維能力也能得到提升.然而，低學(xué)段的學(xué)校數(shù)學(xué)因過于關(guān)注數(shù)學(xué)的具體性與直觀性而未能很好地體現(xiàn)理性精神；而隨著學(xué)段的升高，學(xué)校數(shù)學(xué)又會逐漸表現(xiàn)出數(shù)學(xué)體系的獨(dú)立性與自我完備性，在更好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性精神的同時(shí)，卻也使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系處于越來越明顯的疏離狀態(tài).后者可能會導(dǎo)致，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的理性思維方式與能力并不能遷移到與數(shù)學(xué)處于明顯疏離狀態(tài)的現(xiàn)實(shí)生活中.這也是指，理性思維的意識與習(xí)慣并不會隨理性思維方式與能力的發(fā)展而形成，前者也有可能限制后者在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮作用.Civil[9]的研究發(fā)現(xiàn)，如果學(xué)生只是體驗(yàn)了如代數(shù)等數(shù)學(xué)，那么當(dāng)學(xué)生第一次面對日常生活情境中的數(shù)學(xué)，或需要通過討論、爭論、發(fā)現(xiàn)，而不是直接給予的數(shù)學(xué)時(shí)，是很難接受的.

當(dāng)然，從2000年以來的課程改革中，教師越來越關(guān)注數(shù)學(xué)與學(xué)生生活間的密切聯(lián)系，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)尤其是初等數(shù)學(xué)的生活本源，通過這種方式還能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與能力.這從一定程度上是對理性思維意識與習(xí)慣的關(guān)注，因?yàn)檫@會要求學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法去思考、解決生活中的問題.然而,這方面目前還存在兩個(gè)主要問題:一方面，創(chuàng)設(shè)的情境過于理想化、明確化，學(xué)生一眼便能識別出這些問題“是一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用題”，甚至很明確地知道用什么數(shù)學(xué)知識加以解決；另一方面，教學(xué)中的生活情境往往是背景性的，而非活動性的，即這些情境是在數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上“套”上去的，其教學(xué)目的是為了引出數(shù)學(xué)知識，或使數(shù)學(xué)問題變得更加現(xiàn)實(shí)，因此這種情境往往是可以替換的.在教學(xué)過程中，在實(shí)現(xiàn)引出新知后，這種情境也就功成身退了.比如圓錐體的學(xué)習(xí)可以用蒙古包，也可以用稻草垛，還可以用農(nóng)民噴灑農(nóng)藥時(shí)產(chǎn)生的水柱.而活動性生活情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題是內(nèi)在于情境的，教學(xué)過程是提煉情境中的數(shù)學(xué)問題并解決情境問題的過程.比如，一個(gè)班中常有多位同學(xué)生日相同的巧合，然后尋找到能解釋這種巧合的數(shù)學(xué)知識，即“獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”，教學(xué)過程是在解決這一問題的過程中展開的.這樣的情境更開放、更自然，而且往往具有難以替代性.

基于上述討論，筆者認(rèn)為民族數(shù)學(xué)(ethno-mathematics,又被翻譯成“民俗數(shù)學(xué)”)作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育資源的一種補(bǔ)充，可以有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)理性精神上的功效.所謂民族數(shù)學(xué)，是指不同文化中所產(chǎn)生與使用的數(shù)學(xué)，具有多種形態(tài)，“日常數(shù)學(xué)”便是其中之一.民族數(shù)學(xué)雖然在數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性、體系性等方面不如學(xué)校課程中的數(shù)學(xué)來得精深和富有邏輯，但它與學(xué)生文化有著更密切的聯(lián)系，并使其中的數(shù)學(xué)問題根植于背景之中.這類問題應(yīng)用于教學(xué)，將使學(xué)生更加切實(shí)地感受數(shù)學(xué)之于生活的價(jià)值，形成用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的意識與習(xí)慣，這也是理性思維的意識與習(xí)慣形成的一個(gè)重要方面.另一方面，民族數(shù)學(xué)又可以作為學(xué)校數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活間的一座橋梁，為學(xué)生理性思維能力的提升提供中介.鄭毓信[10]在對民族數(shù)學(xué)與學(xué)校數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)、局限性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，指出應(yīng)將2種數(shù)學(xué)形態(tài)很好地融合起來.民族數(shù)學(xué)在內(nèi)容上往往比較具體，又往往來自于學(xué)生熟悉的文化背景中，因此,將民族數(shù)學(xué)作為學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)與背景，有助于為學(xué)生抽象的理性思維培養(yǎng)提供臺階.

3 挖掘并轉(zhuǎn)化旨在培養(yǎng)理性精神的民族數(shù)學(xué)

如何挖掘具有針對性的民族數(shù)學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生的理性精神？一個(gè)可行的思路是依據(jù)理性及理性精神概念本身的發(fā)展階段與層次挖掘具有針對性的民族數(shù)學(xué)，并轉(zhuǎn)化為教學(xué)中可以使用的形態(tài)，具體可包括以下3個(gè)方面.

3.1 利用民族數(shù)學(xué)去昧破迷、把握世界規(guī)律

數(shù)學(xué)作為科學(xué)理性的典范，去昧破迷應(yīng)是其重要的德育功能.對神明的篤信，將一些巧合現(xiàn)象歸因于上天的啟示，這是愚昧無知、宗教迷信的典型表現(xiàn).可以通過民族數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)方法解釋如“巧合”等現(xiàn)象背后的科學(xué)規(guī)律，從而破除迷信.

比如，“托夢”就是一個(gè)典型的例子.有許多夢境會在做夢后的幾天內(nèi)發(fā)生在真實(shí)的生活中，這是一種巧合.但許多人會把這種巧合的原因歸結(jié)為神秘的力量.事實(shí)上，除去“日有所思、夜有所夢”這一心理因素外，用數(shù)學(xué)來解釋則能使人在對待這些事情上變得理性.具體而言，首先，能引起人們關(guān)注并認(rèn)為“托夢”的往往是在他夢中和真實(shí)生活中都極少出現(xiàn)的事情，這種巧合會讓人產(chǎn)生驚奇感.其實(shí)，每個(gè)人的夢境都是多種多樣的，所以夢里的事與真實(shí)生活有所重疊也沒有什么好稀奇的，也正因如此,許多夢境在真實(shí)生活中再現(xiàn)的巧合并不會引起人們的關(guān)注，能引起關(guān)注的只是那些很稀奇的事.其次，某個(gè)特定的稀奇事件發(fā)生的可能性是極小的(假設(shè)該事件明天發(fā)生的可能性是一百萬分之一)，但能讓人產(chǎn)生同等驚奇感的稀奇事件是不止一件的(假設(shè)這樣的事件有100件)，因此，兩件稀奇事件同時(shí)在某一天發(fā)生的可能性就會上升.另外，人的感受是有一定的延續(xù)性，即今天的夢境在之后的一周內(nèi)、一個(gè)月內(nèi)甚至一年內(nèi)發(fā)生都會讓人產(chǎn)生驚奇感，只不過強(qiáng)度不一樣.那么按照上述假設(shè)，利用獨(dú)立性事件概率的數(shù)學(xué)知識便能發(fā)現(xiàn)，一個(gè)人在20年中發(fā)生上述巧合的可能性會超過一半.換一個(gè)視角思考這個(gè)問題，在認(rèn)識的20個(gè)人中，一年內(nèi)會有上述巧合發(fā)生在他們身上的可能性超過了一半.當(dāng)然,這個(gè)例子的討論是有很大的主觀性，因?yàn)槭裁词前偃f分之一的稀奇事件是很難確定的，這只是人的主觀感受而已.但無論如何，數(shù)學(xué)為我們平常的巧合提供了一些解釋，而無需求助于神秘力量.

3.2 利用民族數(shù)學(xué)促成感性體驗(yàn)向理性思維的轉(zhuǎn)變

民族數(shù)學(xué)一方面有助于學(xué)生豐富具體而直接的文化體驗(yàn)，另一方面又蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思維，這為學(xué)生由感性體驗(yàn)向理性思維的轉(zhuǎn)變提供了可能.以下將以數(shù)學(xué)美的欣賞到數(shù)學(xué)模式的認(rèn)識與建構(gòu)為例，來說明民族數(shù)學(xué)是如何為學(xué)生理性思維的發(fā)展提供載體的.

圖形模式的重復(fù)與變換是產(chǎn)生數(shù)學(xué)美的一種重要方式.圖1展示了澳大利亞墨爾本皇家展覽館正門上方的孔雀圖案，利用燈光效果和以孔雀頭為圓心的3個(gè)同心圓產(chǎn)生了立體效果.從數(shù)學(xué)角度來看，該圖案既可以看作是由最左側(cè)的扇形以孔雀頭為圓心、經(jīng)過11次旋轉(zhuǎn)變換得到，而每個(gè)扇形用擁有光源的內(nèi)側(cè)小扇形、中間近似的橢圓形(下稱“類橢圓形”)和外側(cè)圓形加以填充；也可以看成是3個(gè)同心圓面上圖案的迭代變換關(guān)系，即最靠近圓心處的扇形、中間類橢圓形和最外側(cè)的圓形，這也可以被看作一個(gè)近似的相似變換.圖2悉尼歌劇院的圖案模式與圖1有相近之處，也體現(xiàn)了以同心圓為基礎(chǔ)的相似、旋轉(zhuǎn)變換等數(shù)學(xué)模式，只是由圖1的平面圖形變成了圖2中的立體圖形.圖3顯示的墨爾本城市購物中心的屋頂則進(jìn)一步在圓錐體中體現(xiàn)了相似、旋轉(zhuǎn)等變換模式，而如果將該屋頂中的幾何模式投影到一個(gè)平面上，則與圖1又具有完全相同的圖形變化模式.當(dāng)圖3中的圓錐母線變成圓弧狀或直線和曲線的組合形態(tài)時(shí)，即可演變出圖4和圖5中的建筑藝術(shù).上述建筑圖形能讓學(xué)生直觀地感受建筑之美，也能認(rèn)識到其背后的數(shù)學(xué)元素.而當(dāng)具有上述圖形模式的圖案有序呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生的注意力便會從單純的審美轉(zhuǎn)向模式的識別，即從對具體幾何圖形的關(guān)注轉(zhuǎn)向這些圖案中蘊(yùn)藏的圖形變化規(guī)律與模式，思維方式也會從具體轉(zhuǎn)向抽象.更進(jìn)一步，讓學(xué)生在模式識別的基礎(chǔ)上，欣賞與建構(gòu)新的圖案時(shí)，抽象思維又在現(xiàn)實(shí)中得到了應(yīng)用，而這又會反過來提升理性思維的能力.

圖1 墨爾本皇家展覽館 圖2 悉尼歌劇院 圖3 墨爾本城市購物中心

3.3 利用民族數(shù)學(xué)促進(jìn)自覺反省

傳統(tǒng)的學(xué)校數(shù)學(xué)常給人以絕對的確定性與客觀性的誤解，甚至出現(xiàn)對數(shù)學(xué)真理性、先驗(yàn)性的迷信與盲從.從基礎(chǔ)教育的角度而言，上述現(xiàn)象也有其價(jià)值，比如視數(shù)學(xué)為真理的標(biāo)準(zhǔn)，從而強(qiáng)化對數(shù)學(xué)的重視程度；又如在教學(xué)中會強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，以奠定較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).但另一方面，這也會造成人們數(shù)學(xué)觀念的狹隘性，忽視人類在數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的能動性.隨著我國數(shù)學(xué)課程改革中對數(shù)學(xué)過程的強(qiáng)調(diào)，上述問題可能在一定程度上會得到緩解.而民族數(shù)學(xué)能在其中起到較好的補(bǔ)充作用.首先在觀念層面，民族數(shù)學(xué)承認(rèn)不同的文化群體在創(chuàng)造或使用上也許不同于學(xué)校數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)形態(tài),即是承認(rèn)數(shù)學(xué)是人類的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動，而且受相應(yīng)文化的影響.因此，在學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中呈現(xiàn)如不同文化中多樣的計(jì)數(shù)方式、加減算法、空間模型等，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化相關(guān)性與人類的創(chuàng)造性.其次，由于民族數(shù)學(xué)與學(xué)校數(shù)學(xué)的思維方法有時(shí)存在差異，因此,將民族數(shù)學(xué)中多樣的數(shù)學(xué)方法納入學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中又能拓展學(xué)生的思維，為學(xué)生比較、反思與優(yōu)化思維方法提供載體.

圖4 墨爾本某商場 圖5 墨爾本某建筑

總之，理性精神作為數(shù)學(xué)德育的核心內(nèi)容，需要在課程與教學(xué)過程中有意識地培養(yǎng).在具體的實(shí)施中，應(yīng)關(guān)注民族數(shù)學(xué)對于理性精神培養(yǎng)的作用，并對民族數(shù)學(xué)進(jìn)行挖掘與教育學(xué)轉(zhuǎn)化，以更好地落實(shí)理性精神的培養(yǎng)[11].