張維忠， 胡智慧

(浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

非語(yǔ)言元素(nonverbal elements)是教科書中非文本部分的重要組成部分，特指教科書中的所有圖像[1〗.在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域中，非語(yǔ)言元素對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成與表征有著重要的作用，同時(shí)在難以用文字語(yǔ)言表達(dá)學(xué)習(xí)內(nèi)容的情況下，非語(yǔ)言元素能以更接近學(xué)生認(rèn)知的方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而彌補(bǔ)文字表達(dá)抽象的不足，更生動(dòng)直觀地呈現(xiàn)教科書的知識(shí)點(diǎn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在教材編寫建議中也強(qiáng)調(diào)“教材應(yīng)具備可讀性，易于學(xué)生接受，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供思考的空間……教材的呈現(xiàn)可以將實(shí)物照片、圖形、圖表、文字、數(shù)學(xué)符號(hào)等多種形式結(jié)合起來(lái).”[2]因此，從非語(yǔ)言元素的視角對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教科書進(jìn)行分析，探討我國(guó)數(shù)學(xué)教科書中非語(yǔ)言元素的類型及指向功能，以期為教科書編寫者合理設(shè)置非語(yǔ)言元素及數(shù)學(xué)教師利用非語(yǔ)言元素有效實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)提供啟示與借鑒.

1 研究對(duì)象與分析框架

1.1 研究對(duì)象

選取浙江教育出版社出版的八年級(jí)上、下兩冊(cè)數(shù)學(xué)教科書(以下簡(jiǎn)稱為“教科書”)為研究對(duì)象[3].為了方便統(tǒng)計(jì)，筆者將教科書中所有章節(jié)參照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三大領(lǐng)域，每一領(lǐng)域包含的章節(jié)如表1所示.

表1 教科書章節(jié)按領(lǐng)域分類

1.2 分析框架

國(guó)內(nèi)關(guān)于非語(yǔ)言元素的研究主要集中在插圖這一方面.如張文宇等[4]在中美小學(xué)數(shù)學(xué)教科書插圖比較研究中對(duì)內(nèi)容和功能維度作了分析，按內(nèi)容分為數(shù)據(jù)圖表圖、模型圖、卡通圖、生活圖、史料圖，按功能分為裝飾型、表征型、解釋型；孫慶括[5]在前者基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)學(xué)教科書特點(diǎn)，將插圖分為生活類插圖、純數(shù)學(xué)類插圖、肖像圖和實(shí)驗(yàn)圖4類.也有學(xué)者對(duì)插圖的文化取向進(jìn)行了深入分析，如張維忠等[6]從多元文化視角對(duì)我國(guó)3個(gè)版本的初中教科書在國(guó)家文化、階層文化、性別文化和區(qū)域文化4方面進(jìn)行了分析與討論.從文獻(xiàn)綜述來(lái)看，大部分研究者沒(méi)有重視幾何圖形這一非語(yǔ)言元素，僅將其包括在純數(shù)學(xué)圖形這一類型，所有插圖都用同一個(gè)功能分類模型.但是，這種做法存在一定的不合理性.有研究者指出，我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形與幾何”在內(nèi)容分布中占到一半[7]，在數(shù)學(xué)教科書中所占比例為40.18%[8]，因此在初中教科書中，幾何圖形是不可忽視的非語(yǔ)言元素.Gunzel等[1]提出了非語(yǔ)言元素類型和功能的分析框架，該分析框架將非語(yǔ)言元素劃分為：精確的幾何形狀、圖片或照片、統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖、表格形式及其他5種類型.其中對(duì)精確的幾何形狀進(jìn)行了功能分類，分為解釋型、構(gòu)建型和探究型；對(duì)圖片或照片的功能分為數(shù)學(xué)類和非數(shù)學(xué)類.這一研究對(duì)本文有重要參考價(jià)值，但對(duì)于圖片或照片的功能劃分仍不夠深入.因此，本文根據(jù)研究?jī)?nèi)容對(duì)該模型進(jìn)行必要的調(diào)整與改進(jìn)，綜合Gunzel及多位學(xué)者的研究，對(duì)各類型的功能進(jìn)行重新劃分，并結(jié)合具體的教科書建構(gòu)了如下非語(yǔ)言元素的分析框架(見(jiàn)表2).

表2 非語(yǔ)言元素分析框架

需要指出的是，一些圖形為組合圖形，是精確幾何圖形與圖片的結(jié)合，本文將其歸到圖片這一類型中.精確的幾何圖形也包括數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、直線、拋物線、雙曲線這些解析幾何圖形.若一個(gè)圖形在題目中被使用2次，且使用的功能不同，則按2次計(jì)算，否則按1次計(jì)算.

2 非語(yǔ)言元素類型與指向功能分析

2.1 非語(yǔ)言元素類型分析

教科書對(duì)非語(yǔ)言元素的使用豐富多樣.研究發(fā)現(xiàn),教科書中非語(yǔ)言元素類型的分布有如下特點(diǎn)(見(jiàn)表3)：1)各類型非語(yǔ)言元素在教科書中分布不均衡.其中精確的幾何形狀類型占整個(gè)非語(yǔ)言元素?cái)?shù)量的64%，數(shù)量最多.最直接的原因是在八年級(jí)教科書中“圖形與幾何”這一領(lǐng)域有關(guān)章節(jié)約占整體的45%，而幾何知識(shí)用語(yǔ)言描述過(guò)于抽象，因此都是以幾何圖形為輔助，以便達(dá)到直觀明了的效果，方便學(xué)生思考.圖片與照片類型共有221處，在各領(lǐng)域中使用的頻率都較高，這一類型中非語(yǔ)言元素大都與生活情境或數(shù)學(xué)歷史文化息息相關(guān)，突顯了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活和滲透數(shù)學(xué)歷史文化的理念.2)各類非語(yǔ)言元素在教科書不同領(lǐng)域中分布特點(diǎn)不同.在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，精確的幾何圖形與圖片或照片這兩類非語(yǔ)言元素所占比例最高.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合一直是貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，因此,用數(shù)軸表示數(shù)的范圍，用函數(shù)圖像表示數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式等在“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域”中應(yīng)用得非常廣泛.在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域中最主要的是數(shù)據(jù)的收集與表示，大都用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的形式，因而在統(tǒng)計(jì)與概率中，統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖這一非語(yǔ)言元素是最突出的.

表3 教科書中非語(yǔ)言類型統(tǒng)計(jì)

2.2 非語(yǔ)言元素類型指向功能分析

2.2.1 精確的幾何形狀類型的指向功能分析

從功能維度分析，在精確的幾何形狀類型中(見(jiàn)圖1)，解釋型(76%)在教科書中使用最為普遍.解釋型能將呈現(xiàn)的抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得直觀，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng).如教科書在用文字描述三角形的中線、高線、角平分線的定義時(shí)，會(huì)在旁邊附加解釋型的圖形，或大部分的幾何習(xí)題中都會(huì)給出題目表示的幾何圖形.

建構(gòu)型在教科書中所占比例最少，約為10%，一般用于探索解決問(wèn)題的思路或用幾何圖形建構(gòu)模型來(lái)解決問(wèn)題.如在幾何證明的解題中，呈現(xiàn)添加輔助線后的幾何圖形作為圖示，學(xué)生可以借助建構(gòu)型的幾何圖形來(lái)尋求解題的靈感.再如教科書中非常重視數(shù)軸的使用，在“認(rèn)識(shí)不等式”這一章節(jié)中，常用數(shù)軸表示不等式，借助數(shù)軸比較數(shù)的大小.這種作為數(shù)學(xué)模型的幾何圖形，能建立數(shù)與形的聯(lián)系，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合及一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.

圖1 精確的幾何形狀類型的指向功能統(tǒng)計(jì)

探究型的幾何圖形使用也較少(14%)，通常是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾何圖形.例如在“平行四邊形及性質(zhì)”一課的探究活動(dòng)中，已知四邊形ABCD，若把它改成一個(gè)以AB為一條底邊的梯形或平行四邊形，并保持面積不變，可以怎樣改？請(qǐng)畫圖說(shuō)明.探究型的幾何圖形還有一個(gè)重要的功能便是利用幾何圖形來(lái)證明數(shù)學(xué)命題，如教科書中利用趙爽弦圖讓學(xué)生探究勾股定理.但是教科書對(duì)于勾股定理更多的圖形證明方法卻未介紹，劉徽在《九章算術(shù)》中介紹的“出入相補(bǔ)法”[9]，國(guó)外學(xué)者Weber等用了不同的分割方法，都是直接用圖形去證明勾股定理[10].這些介紹既能讓學(xué)生了解幾何圖形探究功能的強(qiáng)大之處，也可以讓學(xué)生感受到多元文化之間的碰撞與交融.

2.2.2 圖片類型的指向功能分析

從圖片或照片這一類型來(lái)看(見(jiàn)圖2)，裝飾型(34%)最為常見(jiàn)，但和數(shù)學(xué)文本關(guān)聯(lián)度不大，只是為了增加教科書的美觀.這些圖片皆具藝術(shù)性，能夠使學(xué)生在使用教科書時(shí)緩解疲勞感，也可以培養(yǎng)學(xué)生的藝術(shù)欣賞水平.有研究顯示，圖片的呈現(xiàn)要符合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，否則，不僅不能有效提高學(xué)生的解題能力，反而會(huì)分散學(xué)生的注意力，尤其是對(duì)于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于他們更容易受其他刺激的干擾，因此教科書需謹(jǐn)慎地使用這一類圖片[11].還有一些是和數(shù)學(xué)史有關(guān)的歷史人物和資料的圖像，如在“證明”這一章節(jié)末，在介紹費(fèi)馬和他的猜想中提供了費(fèi)馬和懷爾斯的肖像圖，以及紀(jì)念郵票圖，體現(xiàn)了濃厚的數(shù)學(xué)歷史文化.表征型、解釋型、探究型的圖片與數(shù)學(xué)文本的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，在教科書中約占66%.表征型(16%)和探究型(23%)的圖片大都源于真實(shí)生活，表征型圖片可以建立起數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)概念具體化、可視化，同時(shí)也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象而來(lái).例如溫度計(jì)表示的數(shù)軸、巴黎鐵塔中的三角形、甘肅永昌出土的菱形圖案、比利時(shí)地毯中的菱形圖案等.探究型的圖片是在現(xiàn)實(shí)生活的圖片中探究數(shù)學(xué)的性質(zhì)，例如尋找印度泰姬陵圖片中的軸對(duì)稱圖形，判別中國(guó)結(jié)的對(duì)稱性，探究地圖上點(diǎn)的位置關(guān)系等.

圖2 圖片類型的指向功能統(tǒng)計(jì)

2.2.3 表格形式類型的指向功能分析

表格形式類型的指向功能主要分為2種:一種是任務(wù)型(共18處)，在浙教版數(shù)學(xué)教科書中最為典型的是在一元二次方程這節(jié)的課內(nèi)練習(xí)中(見(jiàn)圖3),任務(wù)型的表格能夠反復(fù)考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用或一個(gè)知識(shí)點(diǎn)多種形式的轉(zhuǎn)化，有利于學(xué)生鞏固知識(shí)，形成基本技能;另一種為評(píng)價(jià)型，放在章節(jié)末的小結(jié)中，作為一種評(píng)價(jià)工具(見(jiàn)圖4)，共11處，對(duì)學(xué)生起到診斷與激勵(lì)作用.學(xué)生可以通過(guò)該表格診斷自己對(duì)本章節(jié)知識(shí)的掌握情況，從而激發(fā)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)動(dòng)力.教師可以通過(guò)收集學(xué)生的該表格來(lái)反思當(dāng)前的教學(xué)，起到評(píng)價(jià)的調(diào)控作用.

圖3 數(shù)學(xué)任務(wù)型的表格形式

2.2.4 其他類型的指向功能分析

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，教科書對(duì)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文本這一功能的非語(yǔ)言元素都是用箭頭加便箋的形式去突出數(shù)學(xué)文本，并沒(méi)有深入到內(nèi)容上用符號(hào)或標(biāo)志去強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容.對(duì)闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的非語(yǔ)言元素非常少，浙教版數(shù)學(xué)教科書兩冊(cè)書中僅4處.這一類型的非語(yǔ)言元素大都是利用思維導(dǎo)圖組織知識(shí)框架，突出數(shù)學(xué)核心概念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系.如四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間轉(zhuǎn)化的關(guān)系圖；有理數(shù)的分類圖等.

圖4 評(píng)價(jià)型的表格形式

由于統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的非語(yǔ)言元素僅呈現(xiàn)數(shù)據(jù)及趨勢(shì)這一功能，因此不作詳細(xì)闡述.

3 結(jié)論與啟示

3.1 結(jié) 論

3.1.1 精確的幾何形狀類型中建構(gòu)型和探究型功能的非語(yǔ)言元素所占比例較低

從分析中可知，教科書中建構(gòu)型和探究型分別占10%和14%，在教科書中使用得比較少.更進(jìn)一步講，根據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)的知識(shí)維度，教科書中的知識(shí)可分為4種類型：事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)、程序性知識(shí)、元認(rèn)知知識(shí)[12].建構(gòu)型和探究型的幾何圖形往往是解決問(wèn)題的方法、探究問(wèn)題的途徑，能夠表現(xiàn)程序性知識(shí).同時(shí)建構(gòu)型和探究型可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)的學(xué)習(xí).因此,這也說(shuō)明教科書在促進(jìn)學(xué)生程序性知識(shí)和元認(rèn)知知識(shí)這些高水平認(rèn)知的非語(yǔ)言元素?cái)?shù)量設(shè)置上相對(duì)較少.

3.1.2 圖片類型重視各種功能的非語(yǔ)言元素的運(yùn)用

教科書對(duì)圖片類型各種功能的非語(yǔ)言元素均比較重視，注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，讓學(xué)生在源于真實(shí)生活的圖片情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.在圖片類型中，4種功能的非語(yǔ)言元素所占比例相當(dāng).雖然表征型最少，只占16%，但是對(duì)于能用現(xiàn)實(shí)生活中事物表征的概念，教科書都會(huì)用表征型的圖片來(lái)呈現(xiàn).以三角形這一章節(jié)為例，在章首位置，用鐵塔、吊車懸臂圖片來(lái)引發(fā)學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)及三角形性質(zhì)的思考；在三角形全等的判定中采用了錢塘江大橋圖片展示現(xiàn)實(shí)生活中的全等三角形結(jié)構(gòu)；在三角形的穩(wěn)定性中呈現(xiàn)大橋的鋼梁，起重機(jī)的支架圖片，讓學(xué)生感受到三角形結(jié)構(gòu)起到的穩(wěn)固作用.

3.1.3 其他類型對(duì)闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)功能的非語(yǔ)言元素重視不夠

浙教版數(shù)學(xué)教科書在八年級(jí)兩冊(cè)教科書中，僅4處是闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的非語(yǔ)言元素，出現(xiàn)在“三角形的初步認(rèn)識(shí)”“特殊三角形”“特殊平行四邊形”這3個(gè)章節(jié)中，這說(shuō)明教科書已注意到這一功能的非語(yǔ)言元素，特別是在“特殊平行四邊形”章節(jié)中，用這一類型的非語(yǔ)言元素，清晰、明了地展現(xiàn)了四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化的條件.但從所占數(shù)量上看，教科書沒(méi)有給予一定的重視.建議在每一章節(jié)的小結(jié)中設(shè)置這一類非語(yǔ)言元素，作為對(duì)這一章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的梳理.

3.2 啟 示

3.2.1 注重構(gòu)建型、探究型功能和高水平認(rèn)知的非語(yǔ)言元素對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的作用

非語(yǔ)言元素的數(shù)量并非越多越好，應(yīng)以激發(fā)學(xué)生思考、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn).從浙教版數(shù)學(xué)教科書來(lái)看，體現(xiàn)高水平認(rèn)知的非語(yǔ)言元素?cái)?shù)量較少，而能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造能力的非語(yǔ)言元素更是少之又少.有研究者指出，高認(rèn)知水平數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)為學(xué)生提供了運(yùn)用高水平的思維和推理的機(jī)會(huì)，日復(fù)一日，學(xué)生從高水平任務(wù)中體驗(yàn)到的累計(jì)效果，就在于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)得到潛在的發(fā)展，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力得到提高[13].同樣，體現(xiàn)高水平認(rèn)知的非語(yǔ)言元素也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，例如通過(guò)介紹多元文化下勾股定理的各種幾何證明，幾何圖形中的黃金分割發(fā)現(xiàn)等探究型功能的非語(yǔ)言元素，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探索幾何圖形的各種性質(zhì)的創(chuàng)新思維.再如在軸對(duì)稱與中心對(duì)稱章節(jié)中，聯(lián)系數(shù)學(xué)文化，介紹舍埃爾《變形》《天和水》等利用平移、旋轉(zhuǎn)和反射的概念創(chuàng)作的藝術(shù)作品[14]，讓學(xué)生嘗試用簡(jiǎn)單的幾何圖形通過(guò)變換得到更多有藝術(shù)性的數(shù)學(xué)圖形，在圖形探究中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力等等.

3.2.2 重視闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)功能的非語(yǔ)言元素，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯

無(wú)論是義務(wù)教育階段還是高中階段，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都強(qiáng)調(diào)要注重突出數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，突顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性.教科書要落實(shí)這一理念，可以通過(guò)添加闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)類型的非語(yǔ)言元素來(lái)實(shí)現(xiàn).一些數(shù)學(xué)概念間關(guān)系的流程圖可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，基于數(shù)學(xué)核心內(nèi)容框架體系建立的思維導(dǎo)圖能突出數(shù)學(xué)主線.這些都有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的整體性與統(tǒng)一性.因此，教科書應(yīng)重視這一類型的非語(yǔ)言元素，深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，捋清各部分內(nèi)在的邏輯關(guān)系，突出數(shù)學(xué)思想方法，從而更集中地聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心的素養(yǎng).