徐秀斌, 何寧杰

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,求解非線性算子方程在工程技術(shù)中已有廣泛的應(yīng)用,但如可應(yīng)用于非線性微分方程、邊值問題和積分方程組求解等領(lǐng)域是學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn).設(shè)X,Y是Banach空間,Ω?X是一非空開凸子集,H:Ω?X→Y為非線性算子,考慮求解非線性方程

H(x)=0.

(1)

一般情況下,通常用迭代法求解非線性方程(1)的根,如果H是一個可微算子,那么Newton法[1-4]就是解方程(1)最常用的迭代方法之一,其迭代格式為

xn+1=xn-[H′(xn)]-1H(xn),n=0,1,….

(2)

但是,這種方法需要算子H′的存在性,若算子H不可微,則無法使用Newton法解方程(1).在這種情況下,通常使用差商法去逼近Newton法中的算子H′(xn).記L(X,Y)為從X到Y(jié)的所有有界線性算子組成的空間,對x,y∈Ω,若[x,y;H]∈L(X,Y)滿足

[x,y;H](x-y)=H(x)-H(y),

(3)

則稱[x,y;H]為算子H在點(diǎn)x和y處的一階差商.

文獻(xiàn)[5]提出了與Newton法有相同收斂速度的線性插值法，且無需求解H′(xn)，迭代格式如下：

(4)

文獻(xiàn)[6-8]把H拆成以下兩部分：

H(x)=F(x)+G(x)=0.

(5)

式(5)中:F是可微算子;G是連續(xù)不可微算子.

許多學(xué)者對Newton法作了二步修正[9-11]，研究了半局部收斂性.文獻(xiàn)[12]提出了如下類似于二步修正Newton法的二步迭代法:

(6)

證明了在Lipschitz條件下的半局部收斂性.

文獻(xiàn)[13]引入了如下迭代法:

(7)

證明了該方法在一類ω條件下的半局部收斂性.

受文獻(xiàn)[12-13]的啟發(fā)，本文將討論迭代式(6)在ω條件下的半局部收斂性,同時證明解的唯一性.

1 半局部收斂性分析

這一節(jié)研究迭代法的半局部收斂性.取初值x0,y0∈Ω,并且假設(shè)：

1)‖y0-x0‖≤2α.

3)?x,y∈Ω,

‖F(xiàn)′(x)-F′(y)‖≤ω1(‖x-y‖).

(8)

式(8)中:ω1:R+→R+是一個連續(xù)不減的函數(shù);ω(0)≥0.

4)?x,y,u,v∈Ω,

‖[x,y;G]-[u,v;G]‖≤ω2(‖x-u‖,‖y-v‖).

(9)

式(9)中:ω2:R+×R+→R+是關(guān)于2個變量都連續(xù)不減的函數(shù);ω(0,0)≥0.

定理1假設(shè)條件1)～4)成立,記

m=max{β(ω1(η)+ω2(2α+η,0)),β(ω1(η)+ω2(2η,0))}.

不妨再設(shè)方程

(10)

存在最小正根r.如果

即x1∈B(x0,r).根據(jù)Taylor公式得

(11)

另一方面,由差商公式可知

G(x1)-G(x0)=[x1,x0;G](x1-x0).

(12)

結(jié)合式(11)和式(12)可知,

H(x1)=F(x1)+G(x1)=H(x0)+F′(x0)(x1-x0)+

-(F′(x0)+[y0,x0;G])(x1-x0)+F′(x0)(x1-x0)+

[x1,x0;G](x1-x0)-[y0,x0;G](x1-x0)+

(13)

從而

‖H(x1)‖≤‖[x1,x0;G]-[y0,x0;G]‖‖x1-x0‖+

(ω1(η)+ω2(2α+η,0))‖x1-x0‖.

(14)

又因?yàn)?/p>

所以

‖y1-x0‖≤‖y1-x1‖+‖x1-x0‖≤[1+β(ω1(η)+ω2(2α+η,0))]‖x1-x0‖

即y1∈B(x0,r).由x1,y1∈B(x0,r)得

β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))<1.

(15)

即x2有定義.

由式(14)和式(15)可得

(16)

因此,

‖x2-x0‖≤‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤(M+1)‖x1-x0‖≤r,

即x2∈B(x0,r).

類似于式(13)可得

H(x2) =F(x2)+G(x2)=H(x1)+F′(x1)(x2-x1)+

-(F′(x1)+[y1,x1;G])(x2-x1)+F′(x1)(x2-x1)+

從而

‖H(x2)‖≤‖[x2,x1;G]-[y1,x1;G]‖‖x2-x1‖+

(ω1(η)+ω2(2η,0))‖x2-x1‖.

(17)

所以

M‖x2-x1‖≤M2‖x1-x0‖;

‖y2-x0‖=‖y2-x2‖+‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤

M2‖x1-x0‖+M‖x1-x0‖+‖x1-x0‖≤(M2+M+1)‖x1-x0‖

因此，y2∈B(x0,r).

假設(shè)xn,yn∈B(x0,r),則

β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r)) < 1.

所以Ln的逆存在,且

‖xn+1-xn‖≤M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖≤η.

類似于式(13)可得

H(xn) =F(xn)+G(xn)=H(xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+

-(F′(xn-1)+[yn-1,xn-1;G])(xn-xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+

[xn,xn-1;G](xn-xn-1)-[yn-1,xn-1;G](xn-xn-1)+

從而

‖H(xn)‖≤‖[xn,xn-1;G]-[yn-1,xn-1;G]‖‖xn-xn-1‖+

(ω1(η)+ω2(2η,0))‖xn-xn-1‖.

所以

M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖.

那么

‖xn+1-x0‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn-xn-1‖+…+‖x1-x0‖≤

故xn+1∈B(x0,r).從而證得由式(6)產(chǎn)生的序列{xn}是有定義的,且含于B(x0,r)中.

下證{xn}是柯西列.?q∈N,有

‖xn+q-xn‖≤‖xn+q-xn+q-1‖+‖xn+q-1-xn+q-2‖+…+‖xn+1-xn‖≤

(18)

‖H(xn)‖≤(ω1(r)+ω2(2r,0))‖xn-xn-1‖,

所以當(dāng)n→∞時,‖xn-xn-1‖→0.由H(x)的連續(xù)性可知,H(x*)=0.

則

L(y*-x*)=H(y*)-H(x*)=0.

因此,如果L-1存在,那么必有y*=x*.實(shí)際上,

βω2(‖y*-y0‖,‖x*-x0‖)≤β(ω1(r)+ω2(r+2α,r))<1.

由Banach引理可知,L-1存在,故y*=x*.定理1證畢.

考慮條件3)和4)的特殊情形:

3′)?x,y∈Ω,

‖F(xiàn)′(x)-F′(y)‖≤K‖x-y‖,K>0.

4′)?x,y,u,v∈Ω,

‖[x,u;G]-[y,v;G]‖≤K‖x-y‖+K‖u-v‖,K>0.

則得

推論1在1),2),3′)和4′)成立的條件下,設(shè)m=max{βK(2α+2η),3Kβη}.假設(shè)方程

2 數(shù)值例子

考慮下列非線性方程組:

(19)

式(19)中,(x1,x2)∈Ω:={(x1,x2)∈R2|x1,x2>0}.令

F=(f1,f2),G=(g1,g2).

易知

因此,

α≈0.116 5;β≈0.753 6;η≈0.230 4;m≈0.341 1;r≈0.500 3.

且β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))≈0.632 2<1,M≈0.927 4<1.從而滿足了半局部收斂結(jié)果的假設(shè)，解的唯一性區(qū)域?yàn)閧x∈R2:‖x-x0‖≤0.500 3}.

3 結(jié) 語

討論了具有不可微算子的二步迭代法的半局部收斂性，證明了非線性算子F的一階導(dǎo)數(shù)和非線性算子G的一階差商滿足ω條件下的半局部收斂定理，推廣了文獻(xiàn)[12]的結(jié)果.但本文未給出不可微算子的二步迭代法在ω條件下的局部收斂定理及收斂半徑，這是以后還可以繼續(xù)研究的課題.