王斌銳 蘆 韓 靳明濤 謝勝龍

(中國計量大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 杭州 310018)

0 引言

傳統(tǒng)的農(nóng)業(yè)采摘機(jī)器人手臂是一個多關(guān)節(jié)系統(tǒng)，其機(jī)械結(jié)構(gòu)和驅(qū)動裝置具有高質(zhì)量、高剛度、功率質(zhì)量比低等特點(diǎn)，但在柔順性和安全性方面有所欠缺。隨著機(jī)器人技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，新型機(jī)器人手臂具有精度高、響應(yīng)快、承載能力大等特點(diǎn)[1]，同時具有良好的柔順性，以獲得更好的安全性和自我恢復(fù)能力[2]。

氣動肌肉(Pneumatic muscle，PM)作為一種與人體肌肉的生物特性相似的新型驅(qū)動器[3]，具有結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕、輸出力/自重比大、柔性大等優(yōu)點(diǎn)[4-5]，且具有和人體肌肉相似的柔順性，因而廣泛用于醫(yī)療輔助康復(fù)[6]、仿生[7]和農(nóng)業(yè)機(jī)器人[8]等領(lǐng)域。采用氣動肌肉作為驅(qū)動裝置，模仿人體手臂關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)設(shè)計的機(jī)械手臂，具有質(zhì)量輕、柔順性好、結(jié)構(gòu)簡單緊湊、強(qiáng)度大、不易損害操作對象、與人類交互性良好的特點(diǎn)[9]。但由于氣動肌肉編織網(wǎng)之間、編織網(wǎng)與橡膠管之間的摩擦、橡膠管的伸縮變形導(dǎo)致的遲滯現(xiàn)象[10]，氣動肌肉呈現(xiàn)出強(qiáng)非線性，為提高氣動肌肉的控制精度，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。

圖2 不同負(fù)載下遲滯曲線Fig.2 Hysteresis curves of different loads

根據(jù)遲滯回線的描述方法，遲滯模型可分為微分型遲滯模型和積分型遲滯模型兩類[11]。Prandtl-Ishlinskii(PI)模型[12]屬于積分型遲滯模型。傳統(tǒng)PI(Clas sical Prandtl-Ishlinskii, CPI)模型是由Preisach發(fā)展而來，該模型由有限個Play算子或Stop算子加權(quán)疊加構(gòu)成[13]，具有結(jié)構(gòu)簡單、精度高、便于求逆、能用較少的參數(shù)描述遲滯特性曲線，且不存在誤差累加等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于遲滯非線性系統(tǒng)建模中，但只能用于描述對稱的遲滯曲線[14]。LIN等[15]采用依賴于氣壓的遲滯建模方法推導(dǎo)了氣動肌肉的遲滯模型，并與基于廣義Bouc_Wen和PI模型的建模方法進(jìn)行對比，認(rèn)為PI模型和廣義Bouc_Wen模型較Maxwell模型更真實(shí)反映了氣動肌肉的遲滯特性；SEBASTIAN[16]采用廣義Play算子建立了氣動肌肉的遲滯模型，并與Maxwell模型、Bouc_Wen模型進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)采用廣義Play算子對氣動肌肉的遲滯擬合效果最優(yōu)。

對于帶有遲滯特性的非線性系統(tǒng)，常用建立逆模型的控制策略，并在系統(tǒng)前面串聯(lián)逆補(bǔ)償器來抵消遲滯的影響，即逆模型控制[17]。MINH等[18]采用基于前饋遲滯模型補(bǔ)償控制的級聯(lián)控制策略控制單根氣動肌肉位置，內(nèi)、外部回路分別用于控制氣動肌肉氣壓和動力學(xué)的非線性，使得氣動肌肉對負(fù)載的改變具有良好的魯棒性。由于逆遲滯模型精度依賴于系統(tǒng)的遲滯特性，且對參數(shù)敏感，也有學(xué)者提出了一些其他控制策略[19]。

本文在CPI模型的基礎(chǔ)上，研究改進(jìn)閾值和包絡(luò)函數(shù)，設(shè)計一種可描述非對稱遲滯現(xiàn)象的改進(jìn)PI(Modified Prandtl-Ishlinskii, MPI)模型，采用MPI模型對氣動肌肉驅(qū)動的肘關(guān)節(jié)輸入氣壓與輸出角之間的非對稱遲滯現(xiàn)象進(jìn)行建模，基于該模型設(shè)計前饋積分逆補(bǔ)償器，搭建積分逆補(bǔ)償PID控制器，對補(bǔ)償器的遲滯補(bǔ)償作用進(jìn)行驗(yàn)證。

1 氣動肌肉肘關(guān)節(jié)遲滯特性分析

圖1中的四連桿肘關(guān)節(jié)，以氣動肌肉為驅(qū)動器，可將氣動肌肉的線性位移轉(zhuǎn)換為下臂轉(zhuǎn)動。本文對肘關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角與氣動肌肉內(nèi)部氣壓的遲滯特性進(jìn)行測試。在空載和6、12 kg負(fù)載下，對氣動肌肉施加變幅值的驅(qū)動信號，得到遲滯曲線如圖2所示。

圖1 肘關(guān)節(jié)測試平臺Fig.1 Elbow joint test platform1.四連桿肘關(guān)節(jié) 2.SMC比例閥 3.Beckhoff控制器 4.計算機(jī)

由圖2可知，肘關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角與氣動肌肉內(nèi)部氣壓之間存在遲滯關(guān)系，且遲滯環(huán)都非對稱。隨著負(fù)載的增加，肘關(guān)節(jié)遲滯環(huán)形狀發(fā)生變化，肘關(guān)節(jié)啟動位置(即0°位置)附近的遲滯環(huán)會逐漸減小。為了更好地控制肘關(guān)節(jié)，需要建立精確的遲滯模型。

2 肘關(guān)節(jié)遲滯建模

2.1 CPI模型和MPI模型

CPI模型由不同權(quán)值和閾值的Play算子加權(quán)疊加構(gòu)成[20]，用來描述系統(tǒng)的遲滯特性，如圖3所示。

圖3 CPI模型結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of CPI model

基于Play算子的CPI模型可表示為

(1)

式中z(t)——模型輸出

p0——系數(shù)，需要進(jìn)行參數(shù)辨識得到

v(t)——模型輸入

Fri——Play算子輸出

ri——第i個算子閾值

p(ri)——CPI模型的權(quán)值函數(shù)

在改進(jìn)Play算子[20]的基礎(chǔ)上建立MPI模型。改進(jìn)Play算子的輸入與輸出關(guān)系如圖4所示。

圖4 改進(jìn)Play算子的輸入輸出關(guān)系Fig.4 Input and output relationship of modified Play operator

由圖4可知，改進(jìn)Play算子的輸出w(t)會沿著曲線γr或γl增加或減少，而不是直線。曲線γr和γl又被稱為包絡(luò)函數(shù)。因此改進(jìn)的Play算子可通過選擇合適的包絡(luò)函數(shù)，描述更多種類的遲滯特性曲線。

MPI模型可表示為

(2)

式中H(v(t))——關(guān)于輸入的多項(xiàng)式函數(shù)

pk——多項(xiàng)式系數(shù)

2.2 遲滯建模與參數(shù)辨識

對于式(1)CPI模型，權(quán)值表達(dá)式為

p(ri)=ρe-τri

(3)

對于式(2)MPI模型，包絡(luò)函數(shù)、閾值及多項(xiàng)式表達(dá)式為

(4)

ri=αi

(5)

(6)

其中權(quán)值表達(dá)式同式(3)，由式(3)～(6)可知，模型中需辨識的參數(shù)有ρ、τ、a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2、b3、α、p0、p1等。由于Levenberg-Marquardt方法辨識速度快，且適用于多種場合，故本文基于該方法來進(jìn)行參數(shù)辨識。辨識得到的參數(shù)如表1、2所示。

表1 CPI模型參數(shù)辨識結(jié)果Tab.1 Identification results of CPI model parameters

圖5 肘關(guān)節(jié)遲滯建模結(jié)果Fig.5 Hysteresis modeling results of elbow joint

圖6 建模誤差Fig.6 Modeling error

CPI、MPI模型建模結(jié)果如圖5、6所示。由圖5、6可知，CPI模型只能描述對稱的遲滯曲線，MPI模型可以描述非對稱遲滯曲線，但在遲滯環(huán)的拐點(diǎn)處建模誤差較大。采用最大誤差與肘關(guān)節(jié)最大轉(zhuǎn)動角的比值來描述建模準(zhǔn)確性，CPI與MPI模型誤差率分別為22.67%和4.65%。

3 遲滯補(bǔ)償控制器設(shè)計

基于遲滯模型設(shè)計補(bǔ)償器，綜合了PID和逆模型思想的積分逆補(bǔ)償器(Integral inverse compensator，I-I補(bǔ)償器)，可稱為基于MPI模型的積分逆補(bǔ)償PID控制器(MPI-I-I-PID)，包括前饋I-I補(bǔ)償器和PID控制器。MPI-I-I-PID的控制框圖如圖7所示。

圖7 基于MPI模型的積分逆補(bǔ)償PID的控制框圖Fig.7 Control block diagram of MPI-I-I-PID

設(shè)計的控制律可表示為

(7)

式中u(t)——控制量u1(t)——補(bǔ)償量

u2(t)——PID控制器的輸出量

K——I-I補(bǔ)償器的調(diào)節(jié)參數(shù)

e1——理想輸入信號與預(yù)測信號的差值

Kp——比例系數(shù)

e2——理想輸入信號與實(shí)際輸出信號的差值

TI——積分時間常數(shù)

TD——微分時間常數(shù)

yd(t)——理想輸入信號

y1(t)——MPI模型的預(yù)測信號

y(t)——實(shí)際輸出信號

控制量u(t)可映射為氣壓信號，p1、p2為兩側(cè)氣動肌肉的初始?xì)鈮?。u(t)映射的氣壓信號與p1、p2相加減，從而控制肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動。

4 遲滯補(bǔ)償控制仿真及實(shí)驗(yàn)

4.1 遲滯補(bǔ)償控制仿真

為驗(yàn)證所設(shè)計控制器的有效性，以yd(t)=45sin(πt/25-π/2)+45作為跟蹤信號進(jìn)行了仿真分析，并將仿真結(jié)果與PID控制器、基于CPI模型的積分逆補(bǔ)償PID控制器(CPI-I-I-PID)進(jìn)行對比，仿真結(jié)果與誤差如圖8所示。

圖8 等幅值正弦信號下的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of uniform amplitude sinusoidal signal

圖9 不同負(fù)載下的正弦跟蹤曲線Fig.9 Sinusoidal tracking curves under different loads

由圖8可知，MPI-I-I-PID能改善肘關(guān)節(jié)的遲滯非線性，提高跟蹤精度；MPI-I-I-PID的最大跟蹤誤差小于PID和CPI-I-I-PID；控制仿真的均方根誤差分別為1.991 20°、1.401 30°、1.017 10°。所以MPI-I-I-PID控制精度更高。由于MPI模型在遲滯環(huán)的拐點(diǎn)處建模誤差較大，因此在輸入信號的極值處，跟蹤誤差較大。

4.2 遲滯補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)

根據(jù)PID、CPI-I-I-PID和MPI-I-I-PID控制原理框圖，在肘關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)平臺開展實(shí)驗(yàn)。給定角度信號為yd(t)=45(sin(πt/25+π/2)+1)，周期50 s，幅值90°。在空載和6 kg負(fù)載下的控制結(jié)果如圖9所示，控制誤差如圖10所示。

由圖9對比可見，MPI-I-I-PID控制會使抖動的幅度減小，穩(wěn)定性提高。由圖10可見，MPI-I-I-PID控制會使誤差幅值減小。但隨著負(fù)載的增加，MPI-I-I-PID的控制效果在減弱。

圖10 不同負(fù)載下跟蹤誤差曲線Fig.10 Tracking error curves under different loads

圖11 積分逆補(bǔ)償分段PID正弦跟蹤曲線Fig.11 Sinusoidal tracking curves of integral inverse compensation piecewise PID

啟動位置附近出現(xiàn)較大誤差，原因如下：①氣動肌肉在初始充氣時，隨著氣壓的增加，并沒有收縮，也無輸出力，所以存在死區(qū)。②由四連桿肘關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)分析可知，肘關(guān)節(jié)啟動位置時，氣動肌肉拉力相對于轉(zhuǎn)軸的力臂較小，傳動效率較低。③初始位置需要克服較大靜摩擦力，負(fù)載越大，靜摩擦力越大。

針對上述原因，給定角度信號為：yd(t)=15+37.5(sin(πt/25+π/2)+1)，避開機(jī)構(gòu)的死區(qū)，在肘關(guān)節(jié)的0°與90°位置使用分段PID，即采用不同的PID參數(shù)。在空載和6 kg負(fù)載下的控制跟蹤結(jié)果如圖11所示。

PID、CPI-I-I-PID、MPI-I-I-PID、分段PID(pPID)和分段MPI-I-I-PID(MPI-I-I- pPID)等5種控制轉(zhuǎn)動角均方根誤差如表3所示。

表3 不同負(fù)載下轉(zhuǎn)動角均方根誤差Tab.3 Root mean square error of different loads (°)

由圖9～11及表3可知，MPI-I-I-PID控制能減小誤差，提高控制精度；但隨著負(fù)載的增加，積分逆補(bǔ)償?shù)目刂菩Ч跍p弱；在底端與頂端使用分段PID并避開肘關(guān)節(jié)死區(qū)的情況下，最大誤差明顯

減小，與期望軌跡的偏差進(jìn)一步減小，控制精度進(jìn)一步提高。

5 結(jié)論

(1)MPI模型具有較高的建模精度，能描述肘關(guān)節(jié)的輸入氣壓與輸出角度的遲滯現(xiàn)象。

(2)基于MPI遲滯模型設(shè)計的I-I-PID控制器使抖動幅度減小，但隨著負(fù)載的增加，積分逆補(bǔ)償控制效果減弱。

(3)在使用分段PID并避開肘關(guān)節(jié)死區(qū)的情況下，肘關(guān)節(jié)跟蹤的最大誤差明顯減小，受負(fù)載影響降低，控制精度提高。