金文奇， 寧金貴， 王劍， 鄧波

(63850部隊(duì)， 吉林 白城 137000)

0 引言

燒蝕磨損是火炮彈道性能退化的根本原因，燒蝕內(nèi)彈道仿真是獲取火炮燒蝕磨損后的內(nèi)彈道性能以及膛內(nèi)特征點(diǎn)諸元的重要手段，可以為火炮身管壽命設(shè)計(jì)、身管壽命狀態(tài)評判或預(yù)測提供重要支撐，因此高精度的火炮燒蝕內(nèi)彈道仿真成為火炮業(yè)內(nèi)研究的一個(gè)重點(diǎn)方向。目前，內(nèi)彈道仿真研究主要立足于經(jīng)典內(nèi)彈道理論，在發(fā)射藥燃燒規(guī)律、彈丸起動(dòng)壓力、火炮內(nèi)膛結(jié)構(gòu)等差異方面開展研究。張喜發(fā)等[1]建立了彈丸起動(dòng)壓力方程與火炮坡膛結(jié)構(gòu)、彈帶屬性(結(jié)構(gòu)、尺寸、材質(zhì)等)和起始部膛線剩余高度的函數(shù)關(guān)系，取代了經(jīng)典內(nèi)彈道學(xué)的估算法，用以確定彈丸起動(dòng)壓力，提供一種燒蝕火炮內(nèi)彈道仿真方法(簡稱張氏燒蝕內(nèi)彈道方法)。米糧川等[2]以彈丸起動(dòng)壓力穩(wěn)定性為研究對象，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和高塑性有限元理論對彈帶擠進(jìn)坡膛過程進(jìn)行數(shù)值仿真研究，得出起動(dòng)壓力受坡膛角影響較大的結(jié)論。孫河洋等[3]研究了不同坡膛結(jié)構(gòu)對彈帶擠進(jìn)過程受力影響，指出坡膛結(jié)構(gòu)及彈帶應(yīng)力狀態(tài)對火炮內(nèi)彈道性能的影響。劉雙杰等[4]利用某鈍感發(fā)射藥的燃燒規(guī)律建立了某型火炮的內(nèi)彈道模型，得出鈍感劑含量的微小增量就會(huì)引起膛壓急劇升高的結(jié)論。劉林等[5]建立了基于混合裝藥經(jīng)典內(nèi)彈道的某榴彈炮內(nèi)彈道Simulink仿真模型，并進(jìn)行了內(nèi)彈道參數(shù)符合計(jì)算，結(jié)果表明平均相對誤差及各單項(xiàng)誤差均可滿足工程實(shí)際要求。王加剛等[6]建立了基于埋頭彈兩次點(diǎn)火及火藥燃燒控制技術(shù)的內(nèi)彈道理論模型，分析了主裝藥藥量、彈丸質(zhì)量、藥室容積、火藥力等參數(shù)變化對內(nèi)彈道性能的影響。Lu等[7]進(jìn)行了埋頭彈火炮藥室推進(jìn)劑點(diǎn)火燃燒的實(shí)驗(yàn)研究與數(shù)值模擬。Liu等[8]建立了燃燒輕氣炮內(nèi)彈道雙區(qū)準(zhǔn)維燃燒模型，數(shù)值模擬了燃燒輕氣炮氫- 氧預(yù)混氣體低溫高壓裝填條件下的內(nèi)彈道過程。

綜上所述可知，只有文獻(xiàn)[1]研究了燒蝕炮膛對內(nèi)彈道性能的影響，但未考慮燒蝕磨損引起的藥室容積增大、變炮膛截面積、彈后容積增量等因素對火炮內(nèi)彈道性能的影響。為提高燒蝕火炮內(nèi)彈道諸元仿真精度，精確預(yù)測燒蝕火炮內(nèi)彈道諸元和剩余身管壽命，指導(dǎo)火炮研制、使用和試驗(yàn)鑒定，本文提出一種基于全膛燒蝕磨損特征的火炮內(nèi)彈道仿真方法。

1 基于全膛燒蝕磨損特征的內(nèi)彈道仿真

1.1 燒蝕火炮內(nèi)彈道結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

燒蝕火炮與新炮內(nèi)彈道結(jié)構(gòu)如圖1所示。

設(shè)新炮彈后火藥氣體自由容積為W，W=Wψ+Sl，Wψ為藥室火藥氣體自由容積，S為新炮膛截面積，S=πd2/4；燒蝕火炮彈后火藥氣體自由容積為W′，W′=Wψa+W(l)，Wψa為燒蝕藥室火藥氣體自由容積，W(l)為彈丸行程l時(shí)增加的彈后容積，W(l)=Sl+ΔW(l)，ΔW(l)為彈后燒蝕容積增量；S′(l)為燒蝕炮膛任一截面積，S′(l)=π(d+Δd(l))2/4，Δd(l)為對應(yīng)的燒蝕等效內(nèi)徑增量(后文簡寫為Δd)。由此可知，燒蝕火炮與新炮的內(nèi)彈道性能參數(shù)存在以下變化：彈后火藥氣體自由容積由Wψ+Sl增大為Wψa+Sl+ΔW(l)、火藥氣體作用于彈底的有效面積由等截面積S增大為變截面積S′(l)、彈丸起動(dòng)壓力因燒蝕磨損變小。

燒蝕火炮炮膛截面積S′(l)和彈后燒蝕容積增量ΔW(l)可采用注液和測徑兩種方式測量。

1.1.1 注液式測量

注液式炮膛截面積測量方式如圖2所示。

測量時(shí)，首先通過漏斗向藥室密封的垂直炮管內(nèi)注入體積為Δw0的測量液(Δw0應(yīng)滿足浮塊下底面與彈丸運(yùn)動(dòng)起始位置齊平)，記錄標(biāo)尺初始讀數(shù)l0；然后逐次向垂直炮管注入適量體積的測量液Δwi(i=1,2,…,n1，i為截面順序數(shù)，n1為身管總截面數(shù))，記錄對應(yīng)的標(biāo)尺讀數(shù)li；依據(jù)如下公式計(jì)算距密封塞上表面l(l=li-l0)處的炮膛截面積S′(l)和彈后燒蝕容積增量ΔW(l):

(1)

(2)

(3)

式中：j為彈丸行程l對應(yīng)的圓臺(tái)數(shù)。

1.1.2 測徑式測量

采用傳統(tǒng)測內(nèi)徑方法，按步長100 mm從膛線起始部至炮口測量燒蝕炮膛同一截面多個(gè)方向(至少水平和垂直兩個(gè)方向)的內(nèi)徑，用均值作為炮膛等效圓截面直徑。假定彈丸行程l處的等效圓截面直徑為d+Δd，則炮膛截面積S′(l)=π(d+Δd)2/4，燒蝕等效直徑增量Δd. 在計(jì)算ΔW(l)時(shí)，可將燒蝕炮膛看成由沿炮膛軸線從膛線起始部至炮口的n1-1個(gè)不同參數(shù)等效圓臺(tái)組成，設(shè)任意圓臺(tái)上底直徑為di(di=d+Δdi)、下底直徑為di-1(di-1=d+Δdi-1)、高為h，則彈丸行程l(對應(yīng)第j個(gè)圓臺(tái)的上底)時(shí)增加的彈后容積W(l)可用(4)式表示：

(4)

(5)

則彈后燒蝕容積增量ΔW(l)可表示為

(6)

1.2 內(nèi)彈道模型

經(jīng)典內(nèi)彈道模型[9-12]由(7)式～(10)式組成。

幾何燃燒定律：

ψ=χZ+χλZ2,

(7)

式中：ψ為火藥已燃百分?jǐn)?shù)；χ、λ為火藥形狀特征量；Z為火藥已燃相對厚度。

燃速定律：

(8)

式中：e為藥粒已燃厚度；u1為燃速系數(shù)；p為炮膛壓力。

彈丸運(yùn)動(dòng)方程：

Spdt=φmdv,

(9)

式中：φ為次要功計(jì)算系數(shù)；m為彈丸質(zhì)量；v為彈丸運(yùn)動(dòng)速度。

內(nèi)彈道學(xué)基本方程：

(10)

火炮燒蝕后，致使內(nèi)彈道模型中的彈丸起動(dòng)壓力、彈丸運(yùn)動(dòng)方程和內(nèi)彈道基本方程改變，下面分別敘述。

燒蝕火炮的彈丸起動(dòng)壓力[1]：

(11)

將S′(l)=π(d+Δd)2/4展開，并用S、d和Δd表示為

(12)

由于Δd較小，工程計(jì)算時(shí)可略去(12)式中的第3項(xiàng)，則燒蝕炮膛截面積可表示為

S′(l)≈S(1+2Δd/d).

(13)

將W′=Wψa+Sl+ΔW(l)變換為

W′=S(lψa+l+lΔd).

(14)

對于已燃火藥ψ、彈丸行程l、炮膛截面積S′(l)、彈后空間增加體積為W(l)的火炮，此時(shí)彈丸運(yùn)動(dòng)動(dòng)力變?yōu)閜S′(l)，火藥氣體殘存勢能pW變?yōu)閜W′，即由Sp(lψ+l)變換為Sp(lψa+l+lΔd)，則(9)式、(10)式變換為

(15)

(16)

對于(16)式中的lΔd可用β1=lΔd/l表示，則(16)式變換為

式中：β1為燒蝕磨損容積增量相對縮徑長。

幾何燃燒定律選取三項(xiàng)式的形狀函數(shù)，燃速定律選取指數(shù)函數(shù)，建立基于全膛燒蝕磨損特征的燒蝕火炮內(nèi)彈道模型如下：

(17)

式中：μ為火藥形狀特征量；e1為弧厚；Ik為火藥燃燒結(jié)束瞬間的燃燒全沖量。

1.3 減面燃燒火藥的分析解

1.3.1 前期結(jié)束時(shí)

由于l=0、v=0、彈丸起動(dòng)壓力p0已由(11)式確定，根據(jù)定容狀態(tài)方程，求得火藥已燃百分?jǐn)?shù)ψ0、火藥相對表面積σ0和火藥燃去的相對厚度Z0：

(18)

1.3.2 第一時(shí)期

借鑒經(jīng)典內(nèi)彈道學(xué)第一時(shí)期彈道諸元求解方法，將(17)式中的方程2和方程3聯(lián)立，消去pdt,即得

(19)

對(19)式積分，從起始條件v=0、Z=Z0到任一瞬間v、Z，由于火藥已燃相對厚度Z與初始火藥已燃厚度Z0的差x=Z-Z0，則有

(20)

將Z=x+Z0代入(17)式中的(1)式，并令K1=χσ0，從而導(dǎo)出

ψ=ψ0+K1x+χλx2.

(21)

(22)

為了導(dǎo)出l的表達(dá)式，對(22)式兩邊積分：

(23)

(24)

將(20)式、(21)式代入(17)式中的方程5，并整理得，壓力函數(shù)：

(25)

(26)

(27)

式中：σm、vm、β1m分別為最大膛壓時(shí)對應(yīng)的火藥相對表面積、彈丸速度、燒蝕磨損容積增量相對縮徑長，δ1=1/(α-1/δ)。(27)式即為最大膛壓條件方程。

(28)

(28)式為最大膛壓條件的另一種表達(dá)式，要確定xm必須預(yù)先已知pmax，而pmax又正是所求的值，此外pmax必然出現(xiàn)在xm～1-Z0之間。因此只能采用逐次逼近法。其原理如下：

3) 對于情況①，迭代終止時(shí)的p(r)即為最大膛壓pmax；對于情況②，最大膛壓pmax必定出現(xiàn)在x(r-1)～x(r)之間，以x2=(x(r-1)+x(r))/2代替x，計(jì)算對應(yīng)的v、ψ、l和p，若p-p(r-1)≤Δp或p-p(r)≤Δp，則取p作為pmax的近似值，否則進(jìn)行下一輪迭代；

4) 令h1=(x(r)-x(r-1))/m1，按步驟2進(jìn)行迭代，若出現(xiàn)y(r-1)>0、y(r)=0，則p(r)則為pmax；若出現(xiàn)y(r-1)>0、y(r)<0，則以x2=(x(r-1)+x(r))/2代替x，計(jì)算對應(yīng)的v、ψ、l和p，取p作為pmax的近似值。

通常m1取300～500之間的整數(shù)，第一輪迭代就能獲得滿足精度要求的最大膛壓。

1.3.3 燃燒結(jié)束時(shí)

將火藥燃燒結(jié)束瞬間的條件：Z=1，x=xk=1-Z0(xk為火藥燃燒結(jié)束時(shí)已燃相對厚度Z與初始火藥已燃厚度Z0的差)、ψ=1代入(20)式、(24)式和(25)式，即得vk、lk和pk的表達(dá)式為

(29)

式中：下標(biāo)k代表火藥燃燒結(jié)束標(biāo)志；l1a為火藥燃燒完時(shí)的燒蝕藥室自由容積縮徑長。

1.3.4 第二時(shí)期

火藥已燃燒完，內(nèi)彈道模型變?yōu)?/p>

(30)

將(30)式中方程1、方程2聯(lián)立并消去Sp，得到

(31)

(32)

對(32)式導(dǎo)出以l為函數(shù)的速度方程:

(33)

由(30)式方程2，得

(34)

將燃燒結(jié)束時(shí)壓力表示為

(35)

(36)

將(33)式和(35)式中的l替換為彈丸全行程lg，則得炮口速度和膛壓為

(37)

由第一時(shí)期和第二時(shí)期膛壓p、彈丸速度v的解析解，可得到燒蝕火炮整個(gè)內(nèi)彈道時(shí)期的p-l和v-l曲線。

1.3.5 各時(shí)期時(shí)間曲線的計(jì)算

式中：t′取0～l′之間速度的平均值，即t′=2l′/v′，v′為l′對應(yīng)的速度。為減小誤差，通常取盡可能小的l′值。

1.4 內(nèi)彈道數(shù)值解

用多孔火藥的形狀函數(shù)和燃速定律替代方程組(17)式中的方程1和方程2，即得到多孔火藥基于全膛燒蝕磨損特征的內(nèi)彈道模型：

(38)

(39)

(39)式為1階微分方程組，要求解內(nèi)彈道性能，通常采用4階龍格- 庫塔法[9，14-15]。其方法如下：

對于1階微分方程組

式中：q為因變量順序數(shù)，q=1，2，…，Q，Q為因變量個(gè)數(shù)；yq為z的第q個(gè)因變量；yq0為z=z0時(shí)的初值。

上述微分方程組的解：

式中：k為自變量x的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)；步長h2=zk+1-zk；

2 算例

采用1.4節(jié)建立的燒蝕內(nèi)彈道無量綱微分方程組(39)式，用4階龍格- 庫塔法編程對某高射炮射擊前后的內(nèi)彈道進(jìn)行仿真計(jì)算。

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

某高射炮內(nèi)彈道計(jì)算所需參數(shù)如表1所示。射擊驗(yàn)證前初速為988.3 m/s，射彈1 145發(fā)后，初速為902.2 m/s，射擊后燒蝕磨損量Δd如表2所示，燒蝕磨損容積增量縮徑長lΔd如表3所示。

依據(jù)表2數(shù)據(jù)得到Δd的示意圖，如圖3所示。

磨損量Δd的擬合函數(shù)：

依據(jù)表3數(shù)據(jù)得到lΔd的示意圖如圖4所示。

表1 內(nèi)彈道計(jì)算所需參數(shù)

表2 射擊后燒蝕磨損量

表3 燒蝕磨損容積增量縮徑長

磨損縮徑長lΔd擬合函數(shù)：

2.2 初始條件

lΔd=0.070 8 m，p0=12.4 MPa，ψ0=8.6×10-3，Z0=0.011 5，Ik=9.32×10-5,B=2.169,Δ=7.682×102，ρ=2.439×10-4，Zk=1.443.

2.3 仿真計(jì)算結(jié)果

將內(nèi)彈道計(jì)算結(jié)果繪制成p-t、v-t、p-l、v-l曲線，如圖5～圖8所示。

從圖5～圖8可以看出：1)相同彈藥條件下，射擊驗(yàn)證前的最大膛壓大于射擊磨損后最大膛壓，且最大值出現(xiàn)時(shí)機(jī)向炮口方向移動(dòng)；2)相同彈藥條件下，射擊驗(yàn)證前的初速大于射擊磨損后初速；3)射擊磨損后，只考慮彈丸起動(dòng)壓力的最大膛壓、初速大于考慮彈丸起動(dòng)壓力和全膛燒蝕磨損的最大膛壓和初速。

射擊驗(yàn)證前與磨損后實(shí)測值和仿真值結(jié)果如表4所示。

表4 射擊驗(yàn)證前與磨損后實(shí)測值和仿真值

從圖5～圖8和表4可知：1)基于全膛燒蝕磨損的內(nèi)彈道仿真值與試驗(yàn)值符合較好，初速誤差為0.9%，能夠滿足火炮工程實(shí)踐3%仿真誤差要求；2)只考慮彈丸起動(dòng)壓力的內(nèi)彈道仿真值比考慮全膛燒蝕磨損和彈丸起動(dòng)壓力的仿真值誤差大。

3 結(jié)論

本文對火炮燒蝕磨損后內(nèi)彈道性能變化規(guī)律進(jìn)行了仿真研究。通過分析和計(jì)算建立了體現(xiàn)全膛燒蝕的彈丸運(yùn)動(dòng)方程和內(nèi)彈道基本方程，從而建立基于全膛燒蝕的內(nèi)彈道模型，并導(dǎo)出了相應(yīng)的內(nèi)彈道解算方法。以某火炮試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果表明能夠滿足火炮工程實(shí)踐的仿真誤差要求。主要貢獻(xiàn)及所得結(jié)論如下：

1) 引入了燒蝕磨損容積增量縮徑長，建立了基于全膛燒蝕磨損特征的內(nèi)彈道模型，拓展了燒蝕磨損內(nèi)彈道理論。

2) 構(gòu)建了基于全膛燒蝕磨損特征的內(nèi)彈道模型的分析解法和數(shù)值解法。

3) 以某型火炮燒蝕磨損試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，利用數(shù)值解法進(jìn)行了內(nèi)彈道仿真計(jì)算，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合度較好。

4) 本文建立的方法可指導(dǎo)火炮身管壽命內(nèi)彈道仿真試驗(yàn)。