王強， 賈希勝， 程中華， 冉悄然， 孫正

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003； 2.陸軍軍事交通學(xué)院， 天津 300161)

0 引言

在陸軍部隊轉(zhuǎn)型建設(shè)向合成化發(fā)展的背景下，合成部隊編配多種武器裝備已具備獨立執(zhí)行任務(wù)的能力。合成部隊在執(zhí)行全域機(jī)動作戰(zhàn)時，需攜行備件實施伴隨保障，而備件的配置將在很大程度上影響伴隨保障的效果,與此同時合成部隊的快速機(jī)動作戰(zhàn)特點決定了其遂行保障任務(wù)的局限性。因此在運力有限條件下，制定出戰(zhàn)時使系統(tǒng)保障能力最大的備件配置方案，對合成部隊遂行保障時加快轉(zhuǎn)變戰(zhàn)斗力生成具有重要的現(xiàn)實意義。

目前對備件攜行量的研究通常假設(shè)裝備部件故障率或備件需求量為已知量，主要從系統(tǒng)級的角度進(jìn)行分析，圍繞戰(zhàn)時裝備的任務(wù)要求，通過建立規(guī)劃約束方程評估優(yōu)選出備件攜行方案[1-3]，簡化對戰(zhàn)時裝備的故障因素分析。實際合成部隊在執(zhí)行遂行任務(wù)時，裝備的戰(zhàn)場損傷不僅包括裝備自身使用退化造成的非戰(zhàn)斗損傷，還包括受敵打擊產(chǎn)生的戰(zhàn)斗損傷，具有較強的隨機(jī)性和并發(fā)性，且往往以不同概率造成我方裝備多部件同時損傷，屬于典型的隨機(jī)性共因失效事件[4]。

共因失效概念的提出，主要用于多部件裝備系統(tǒng)的可靠性分析與評估，已取得了豐碩成果。許多學(xué)者對基于共因失效理論的多部件裝備系統(tǒng)可靠性及維修保障進(jìn)行了深入研究，已應(yīng)用于電子[5-6]、機(jī)械[7-8]等工程領(lǐng)域。隨著共因失效研究的不斷深入，為軍事領(lǐng)域中對戰(zhàn)時裝備群的可靠性分析提供了新的思路。相比于傳統(tǒng)備件攜行方案以裝備單一故障因素分析，共因失效理論能夠更加準(zhǔn)確地描述戰(zhàn)時裝備集群的受擊損傷，表征裝備兩種因素的競爭失效對裝備可靠性的影響。在相關(guān)理論研究中，文獻(xiàn)[9]針對執(zhí)行多階段任務(wù)的多部件裝備系統(tǒng)，分析在共因失效情況下該裝備系統(tǒng)任務(wù)成功概率的評估問題；文獻(xiàn)[10]在競爭失效情況下，對多類型部件在不同維修策略下的備件供應(yīng)進(jìn)行了分析，但考慮的故障因素之間相互獨立，沒有考慮故障因素的相關(guān)性。綜上所述，在運用共因失效理論時，大部分?jǐn)?shù)學(xué)模型假設(shè)裝備戰(zhàn)損情況為理想狀態(tài)，即受擊故障與退化之間相互獨立。而實際戰(zhàn)場環(huán)境中，在分析裝備系統(tǒng)的共因失效問題時，裝備使用退化與受擊故障之間的相關(guān)性通常容易被忽視。

本文結(jié)合戰(zhàn)時裝備群遂行作戰(zhàn)任務(wù)的特點,考慮戰(zhàn)時維修策略，對相關(guān)共因失效場合下的備件需求進(jìn)行計算，建立多約束下的攜行備件配置優(yōu)化方程，并通過對合成部隊的攜行備件進(jìn)行配置優(yōu)化，驗證模型的可行性。

1 問題描述與假設(shè)

戰(zhàn)時合成部隊在執(zhí)行跨區(qū)機(jī)動作戰(zhàn)任務(wù)時，裝備群在機(jī)動過程中除自身使用故障外，還面臨著敵方的縱深打擊。裝備在兩種故障因素的共同作用下，需伴隨保障分隊攜行部分備件，完成裝備群的戰(zhàn)場搶修，實現(xiàn)裝備性能的快速恢復(fù)。為簡化合成部隊?wèi)?zhàn)時保障過程,本文限定研究對象為遂行作戰(zhàn)任務(wù)的合成部隊裝備群，在實施全域機(jī)動前，對攜行備件進(jìn)行合理規(guī)劃。首先考慮裝備群受敵方火力打擊這一典型共因失效事件，根據(jù)戰(zhàn)時維修策略對任務(wù)階段的備件需求量進(jìn)行測算；其次考慮各攜行備件的重要程度和約束條件，以備件的保障概率為目標(biāo)建立備件配置優(yōu)化方程；最后利用改進(jìn)的邊際效應(yīng)法得出備件攜行配置方案。戰(zhàn)時遂行作戰(zhàn)環(huán)境復(fù)雜，合成部隊多型號裝備群因受擊造成的戰(zhàn)斗損傷隨機(jī)性強，裝備故障因素之間具有相關(guān)性。為了便于針對備件配置的分析研究，作如下假設(shè)：

1)戰(zhàn)時裝備故障原因主要是受擊造成的極端沖擊失效與自然退化失效，此外裝備受擊造成的非極端沖擊會使裝備的退化故障率呈幾何過程增加[11]。

2)裝備遭敵打擊過程為泊松過程，裝備自然使用時的故障時間服從指數(shù)分布。

3)裝備在受擊后會造成多部件同時損傷，且各部件造成極端沖擊失效的概率不同。

4)若裝備發(fā)生退化失效則先進(jìn)行原件修理。考慮到戰(zhàn)時部隊級的維修能力有限，假設(shè)原件維修以一定概率使故障部件修復(fù)如新，若不能修復(fù)如新，則對故障部件實施換件修理；若裝備發(fā)生極端沖擊失效時，則直接實施換件修理。戰(zhàn)時裝備系統(tǒng)維修保障的具體流程，如圖1所示。

5)合成部隊具有多型號裝備，不同型號裝備對任務(wù)的重要程度不同。在攜行量有限時，應(yīng)優(yōu)先攜帶重要程度高的裝備備件；對于同一型號裝備，假設(shè)其關(guān)鍵功能備件為串聯(lián)結(jié)構(gòu)。

6)戰(zhàn)時裝備系統(tǒng)的保障能力用裝備系統(tǒng)的備件保障概率來衡量。

7)故障部件的維修和更換時間忽略不計。

8)任務(wù)期間攜行備件在存儲過程中不發(fā)生退化失效。

2 考慮隨機(jī)共因失效條件下戰(zhàn)時合成部隊攜行備件需求計算

2.1 考慮隨機(jī)共因失效條件下單裝備單部件系統(tǒng)的備件需求計算

隨機(jī)共因失效過程實質(zhì)上是多部件系統(tǒng)在同一外部沖擊誘因作用下，多個部件同時發(fā)生競爭失效的事件。因此，本文首先利用單部件系統(tǒng)的故障率，得出任務(wù)期間單裝備單部件系統(tǒng)的備件需求量，然后進(jìn)一步計算分析戰(zhàn)時合成部隊多型號裝備群的備件需求。

首先分析非極端沖擊對裝備系統(tǒng)的影響。裝備系統(tǒng)在每次非極端沖擊后性能加速退化，直到部件壽命到達(dá)使用閾值時裝備系統(tǒng)發(fā)生失效。如圖2所示，裝備系統(tǒng)的初始故障率為λ(t=0)，當(dāng)?shù)趉次非極端沖擊發(fā)生后，系統(tǒng)的故障率增加至λ(tk)=αk-1λ(t=0),(α>1;k=1,2，…)。

其次分析戰(zhàn)時裝備系統(tǒng)發(fā)生共因失效的過程。如圖3所示，設(shè)tk為發(fā)生第k次沖擊的時間，τk為第k次沖擊與第k-1次沖擊之間的間隔時間。部件故障后，以p″的概率使部件修復(fù)如新，不能修復(fù)如新的概率為1-p″. 由假設(shè)4可知，此時裝備部件需進(jìn)行換件修理，部件的故障率變?yōu)槌跏贾郸?

在任務(wù)時間t內(nèi)發(fā)生故障的數(shù)量由兩部分組成：一方面是由極端沖擊故障后不能原件修復(fù)造成的備件需求，另一方面是由于裝備使用退化故障后不能原件修復(fù)造成備件需求。

首先分析單部件裝備系統(tǒng)在極小時間段τ內(nèi)部件故障的情況。由泊松分布性質(zhì)可知[14]，在極小的時間段τ內(nèi)僅可能發(fā)生一次沖擊，則裝備部件發(fā)生故障的概率計算如下：

1)在τ時間內(nèi)，裝備系統(tǒng)因使用退化發(fā)生故障的概率為

(1)

2)在τ時間內(nèi)，裝備系統(tǒng)受到極端沖擊后發(fā)生故障的概率為

(2)

部件故障后，以概率p″進(jìn)行原件修復(fù)，否則故障部件必須進(jìn)行換件修理，即可得出時間τ內(nèi)，單部件系統(tǒng)需要的備件數(shù)量為

d(τ)=P1·1(1-p″)+P2·1.

(3)

由于裝備部件的自然退化與遭敵打擊過程均為隨機(jī)事件過程，解析法無法進(jìn)行求解驗證。因此，本文采用蒙特卡洛仿真計算方法，在任務(wù)時間t內(nèi)，得出單部件系統(tǒng)的備件總需求量D(t).

2.2 考慮隨機(jī)共因失效條件下多型號裝備多部件系統(tǒng)的備件需求計算

戰(zhàn)時合成部隊執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)時，需要多型號裝備配合實施。因此，當(dāng)敵方對我方部隊進(jìn)行火力攻擊時，可能造成我方不同型號裝備多部件同時受到打擊損傷。根據(jù)不同裝備部件的性能，受到打擊后造成極端沖擊失效的概率也不同。因此，本節(jié)考慮隨機(jī)共因失效條件下，多型號裝備多部件系統(tǒng)的備件需求量計算。

1)在τ時間內(nèi)，第i種型號裝備的多部件系統(tǒng)因使用退化發(fā)生故障的概率為

(4)

2)在τ時間內(nèi)，第i種型號裝備的多部件系統(tǒng)受到極端沖擊后發(fā)生故障的概率為

(5)

(6)

同理，利用蒙特卡洛仿真計算方法，可計算出任務(wù)時間t內(nèi)，第i種裝備多部件系統(tǒng)的備件總需求量Di(t).

3 有限運輸能力下的戰(zhàn)時備件配置模型的建立

3.1 目標(biāo)函數(shù)

戰(zhàn)時對合成部隊裝備保障方案優(yōu)劣的判斷主要依據(jù)備件的保障概率來衡量。目前文獻(xiàn)使用較多的是指“在規(guī)定的時間內(nèi)，裝備備件的需求能夠被滿足的概率[15]”。由此可知，備件的保障概率與備件需求量、維修能力和可用備件數(shù)量有關(guān)，其值的大小體現(xiàn)了現(xiàn)有保障能夠滿足裝備需求的能力。對于合成部隊多型號裝備群執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)時，分析其中每一個單裝備系統(tǒng)，其關(guān)鍵部件一般可看成串聯(lián)結(jié)構(gòu)，具有相同的重要程度，則合成部隊具有多型號裝備，其關(guān)鍵功能部件的分析如圖4所示。綜上所述可知，第i種型號裝備的備件保障概率計算公式為

(7)

式中：sij為第i種型號裝備上第j種備件的實際供應(yīng)量；dij為第i種型號裝備上第j種備件的實際需求量；qi為第i種型號裝備數(shù)量。

此外，合成部隊具有多型號裝備，各裝備對完成任務(wù)的重要程度具有差異性，應(yīng)優(yōu)先保障重要裝備的戰(zhàn)斗力恢復(fù)。因此，對于多型號裝備備件的保障概率為

(8)

式中：αi為不同型號裝備重要程度的權(quán)重值，利用層次分析法可知，不同型號裝備的重要程度權(quán)重滿足

α1+α2+…+αi+…+αN=1.

(9)

3.2 約束條件

戰(zhàn)時合成部隊實施全域機(jī)動作戰(zhàn)時，其攜行運輸保障有限，應(yīng)考慮到攜行保障在空間和重量受限的實際，合理制定備件攜行方案，提高合成部隊整體的機(jī)動能力。

伴隨保障攜行備件總的質(zhì)量必須在給定的運輸總質(zhì)量范圍內(nèi)，即

(10)

式中：wij為第i種型號裝備第j種備件的質(zhì)量；W為允許攜行的備件總質(zhì)量。

伴隨保障攜行備件所占用總的空間必須在給定的運輸空間范圍內(nèi)，即

(11)

式中：vij為第i種型號裝備第j種備件的體積；V為允許攜行的備件總體積。

伴隨保障攜行備件總的費用必須在給定的總費用范圍內(nèi)，即

(12)

式中：cij為第i種型號裝備上第j種備件的成本；C為允許攜行備件總的費用。

由以上分析可知，戰(zhàn)時合成部隊的攜行備件優(yōu)化模型就是確定不同型號裝備的備件數(shù)量方案，在任務(wù)時間t內(nèi)，滿足總體積和總質(zhì)量的限制條件下，使攜行備件的保障概率最大。

(13)

式中：D為備件需求數(shù)量。

3.3 攜行備件配置模型的求解

戰(zhàn)時合成部隊備件攜行方案的目標(biāo)函數(shù)是使保障分隊攜行備件的保障概率最大，為戰(zhàn)時提供最大的裝備保障能力。對攜行備件配置優(yōu)化過程主要分為2個階段，首先采用蒙特卡洛方法產(chǎn)生隨機(jī)事件,對隨機(jī)共因失效條件下的裝備備件供應(yīng)任務(wù)過程進(jìn)行仿真建模，得出任務(wù)時間階段備件的總需求量，作為下一階段攜行方案評估優(yōu)選的輸入；然后利用邊際效益法進(jìn)行備件攜行方案的配置優(yōu)選。

對于約束方程(13)式最優(yōu)值的求解方法，最常見的是邊際效應(yīng)法，屬于典型的貪婪算法，每次計算比較得出投入單位產(chǎn)品所帶來的最大收益方案。邊際效應(yīng)法的實質(zhì)是效費比分析，本文中的目標(biāo)函數(shù)為合成部隊多型號裝備備件的保障概率，屬于系統(tǒng)的收益，而約束方程是備件攜行需滿足空間、質(zhì)量和費用的限制，則屬于系統(tǒng)的成本。合成部隊攜行備件配置方案受到攜行空間、攜行質(zhì)量和備件費用3個約束，而邊際效應(yīng)法的輸入值邊際增量只能為1個變量，必須先將多個變量轉(zhuǎn)化為1個約束變量后，才能繼續(xù)使用邊際效應(yīng)法。文獻(xiàn)[16]是利用權(quán)重賦值法，將約束的相關(guān)權(quán)重進(jìn)行加權(quán)賦值，使多個約束變量變?yōu)?個約束變量；但是權(quán)重值的不同取值會導(dǎo)致得出不同的最優(yōu)配置方案，且由專家主觀進(jìn)行權(quán)重賦值，難免與真實值造成偏差，當(dāng)約束較多時，其偏差會進(jìn)一步凸顯。因此，本文備件攜行優(yōu)化的主要思想是利用拉格朗日乘子法，將影響備件攜行配置的3個因素轉(zhuǎn)換為備件保障因子，再利用邊際效應(yīng)法求出攜行備件的最優(yōu)配置方案。戰(zhàn)時裝備系統(tǒng)的備件配置仿真流程如圖5所示。圖5中，T為任務(wù)時間，tc為發(fā)生共因失效的時間，td為發(fā)生突發(fā)失效的時間，Sp(j)為第j種備件的數(shù)量。具體求解步驟如下：

步驟1利用拉格朗日乘子，將攜行備件體積、質(zhì)量、費用統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為備件保障約束，即

Zij=λvvij+λwwij+λccij,

(14)

式中：Zij為備件sij的備件保障約束；λv為備件sij的體積因子；λw為備件sij的質(zhì)量因子；λc為備件sij的費用因子。

步驟2將(8)式改寫為以下形式：

(15)

步驟3由于(15)式中單裝備備件的保障概率psij(Zij)(i=1,2,…,N)不是關(guān)于備件數(shù)量的凸函數(shù)，不能直接使用邊際效益法，需對(15)式兩邊取對數(shù)，得到：

(16)

步驟4對攜行備件的保障概率進(jìn)行1階差分計算，可得：

步驟5選擇ζ作為邊際效應(yīng)因子，根據(jù)邊際效益法原理進(jìn)行計算。對于第N種型號裝備的第M個備件進(jìn)行邊際分析，有

(17)

通過(17)式計算所有追加單位備件的邊際效應(yīng)因子，挑選出備件保障概率增長最大的方案。確定備件的種類，并將該備件數(shù)量增加1個單位,其他備件數(shù)量保持不變，進(jìn)行下一輪的邊際效應(yīng)因子比較分析。重復(fù)步驟5進(jìn)行循環(huán)迭代計算，直至備件不再滿足約束時停止迭代,此時得出滿足任務(wù)要求下的最優(yōu)備件攜行方案為

(18)

此時，有W*≤W，V*≤V，C*≤C.

步驟6在利用邊際效應(yīng)法求解之前，必須確定備件保障約束Zij中各個約束因子的權(quán)重值，即確定λv、λw和λc的值。選定其中一個約束因子設(shè)為1，其余設(shè)為0，利用(14)式求出備件保障約束。以初始時考慮備件體積為例，則令λv=1,λw=0,λc=0，則有qij=1×vij+0×wij+0×cij.

步驟7利用邊際效應(yīng)法求出此時的最優(yōu)備件攜行方案為

(19)

步驟8計算該方案下的備件體積、備件質(zhì)量和備件的總費用，記為V(S0)、W(S0)和C(S0)，并計算出初始因子λw、λc和備件保障約束因子Zij，即

(20)

將(20)式中的初始約束因子代入(17)式，利用邊際效益法進(jìn)行迭代尋優(yōu)。由于合成部隊具有多型號裝備，且各個型號裝備對于系統(tǒng)保障能力的重要程度不同，應(yīng)優(yōu)先保障對系統(tǒng)保障能力影響較大的裝備備件。對于同一裝備，各關(guān)鍵部件之間為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，缺少任何一個備件種類，會使裝備保障概率為0.針對此特點，可令備件配置方案中各初始備件的數(shù)量均為1.

步驟9由步驟7計算所得到的初始方案中，若體積約束或質(zhì)量約束超過設(shè)定指標(biāo)，則需要增大因子的值、形成懲罰因子，其具體計算方法如下：

(21)

接步驟6，初始時僅考慮體積，得出初始方案中若質(zhì)量約束超出指標(biāo)，則利用(21)式增加質(zhì)量約束的懲罰因子，計算得出新的保障約束為

Cij=vij+(Δλw+λw)wij+(Δλc+λc)cij.

(22)

再利用邊際效益法進(jìn)行尋優(yōu)，每次得出方案后，根據(jù)其質(zhì)量和體積值，利用(20)式或(21)式計算保障約束，進(jìn)入下一次迭代尋優(yōu)，直至得出符合條件的最優(yōu)方案。

4 實例分析

以某旅作戰(zhàn)演習(xí)為例，該旅直屬合成營接上級通知，需在任務(wù)時間t內(nèi)，進(jìn)行全員全裝機(jī)動至某地域執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)，為保障該營裝備的戰(zhàn)備完好性，需在運輸限制條件下合理規(guī)劃攜行部件，使合成營的備件保障概率最大。已知合成營3種型號裝備及其關(guān)鍵部件如圖6所示，其相關(guān)參數(shù)見表1. 部隊在機(jī)動途中遭敵打擊的隨機(jī)共因失效事件服從泊松分布，以第1節(jié)中所描述的相關(guān)故障和維修策略為研究背景，對合成營的攜行備件進(jìn)行配置優(yōu)化。

表1 裝備的相關(guān)參數(shù)

為了說明邊際效益法與傳統(tǒng)的優(yōu)化配置方法的優(yōu)劣，將以下6種方案進(jìn)行對比分析，其具體數(shù)據(jù)詳見表2.

方案1:初始時考慮體積約束求出初始配置方案，再通過判斷保障約束加入懲罰因子，利用邊際效益法求出最優(yōu)方案。

方案2：初始時考慮質(zhì)量約束求出初始配置方案，再通過判斷保障約束加入懲罰因子，利用邊際效益法求出最優(yōu)方案。

方案3：僅考慮體積約束時，得出備件配置方案。

方案4：僅考慮質(zhì)量約束時，得出備件配置方案。

方案5：將體積約束、質(zhì)量約束和費用約束進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，再對3類約束進(jìn)行權(quán)重賦值，根據(jù)指揮員的偏好，權(quán)重賦值為：qw=0.3,qv=0.6,qc=0.1，利用邊際效益法直接求出最優(yōu)方案。

方案6：將體積約束、質(zhì)量約束和費用約束進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，再對3類約束進(jìn)行權(quán)重賦值，相比方案5，將其相應(yīng)權(quán)重賦值為：qw=0.5,qv=0.4,qc=0.1，利用邊際效益法直接求出最優(yōu)方案。

表2 各配置方案比較

由方案1與方案2可知，利用拉格朗日乘子法得出的配置方案均滿足攜行約束。二者在初始時選擇的約束不同，但最終求得的配置方案是相同的。因此，拉格朗日乘子法對初始時的約束選擇，對配置方案的確定沒有影響。

由方案3與方案4可知，當(dāng)僅考慮單一約束進(jìn)行求解時，求出的方案中，其他約束不滿足限定條件。但方案制定者依據(jù)最優(yōu)備件的保障概率曲線，在合成部隊執(zhí)行任務(wù)前，可以根據(jù)決策者的偏好以及相應(yīng)約束限制，制定最優(yōu)備件攜帶種類和數(shù)量。例如，以圖7中點(359.9 kg，0.8 kg)為例進(jìn)行說明，當(dāng)任務(wù)要求備件的保障概率須達(dá)到80%時，所有備件質(zhì)量之和最小為359.9 kg，因此，設(shè)定的質(zhì)量最小指標(biāo)值必須達(dá)到359.9 kg，當(dāng)給定的質(zhì)量指標(biāo)小于該值時，相應(yīng)地，應(yīng)該通過適當(dāng)降低備件的保障概率來達(dá)到滿足約束條件上限要求，同理可根據(jù)體積與備件的保障概率的關(guān)系(見圖8)，合理制定備件攜行方案。

由方案5與方案6可知，利用傳統(tǒng)的線性加權(quán)法求解多約束優(yōu)化問題時，由于各個因素的賦值權(quán)重不同，導(dǎo)致最終配置方案也不同，各個因素的權(quán)重值由裝備指揮員的偏好進(jìn)行判斷，其主觀的干預(yù)性對配置方案的影響較大。

5 結(jié)論

本文考慮戰(zhàn)時合成部隊遂行任務(wù)在執(zhí)行任務(wù)過程中會遭敵打擊后發(fā)生故障這一復(fù)雜情況,針對共因失效條件下的備件攜行配置優(yōu)化問題，分析了裝備兩種故障因素的相關(guān)性，建立了共因失效條件下的備件需求模型。以備件的保障概率為目標(biāo)，建立了多約束條件下的備件配置優(yōu)化方程，采用拉格朗日因子法求解出最優(yōu)方案。以某合成部隊遂行任務(wù)為例進(jìn)行了驗證,為戰(zhàn)時備件攜行配置優(yōu)化研究提供了理論支撐。模型中，備件的故障分布和隨機(jī)共因失效的時刻可以服從于任意分布。

下一步可從以下兩點對戰(zhàn)時備件保障進(jìn)行深入研究：一是多種維修策略下的備件保障問題；二是維修時間約束下的備件保障問題。這也是下一步的重點研究內(nèi)容。