李東明，柴長忠，沈文強，王彥琪，崔云先

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

壓電驅動的柔性鉸鏈微動平臺因響應快,結構緊湊,分辨率高等優(yōu)點而被廣泛使用，如微機電系統(MEMS)的加工制造,細胞注射,原子力學顯微鏡(AFM)精度的提高等，均占有極其重要的地位[1]。近年來，Mikio Muraoka等利用位移放大機構設計的二維精密定位平臺，定位精度可達10 nm，行程可達400 μm[2]；南洋理工大學[3]設計了一種三向大行程操作平臺，其具有較大的剛度，各向定位精度在20 nm內；朱軍輝設計的剛度為2.21 N/μm二維納米定位平臺，其固有頻率為556.02 Hz、559.42 Hz，重復定位精度為±33 nm[4]；上海交通大學設計了一種新型的垂直運動精密微定位平臺，行程可達112.9 μm，剛度為3.167 N/μm，固有頻率為636 Hz[5]；南京航空航天大學提出的新型二維壓電工作臺x、y向剛度分別為4.923 N/μm、5.931 N/μm，兩方向行程分別為41.6 μm、42.9 μm，其位移分辨率為50 nm[6]。由此可見，驅動位移和剛度是相互矛盾的物理量，人們希望在滿足位移要求時，獲得盡量大的剛度和高的定位精度。

本文設計了一種雙平行柔性鉸鏈結構的二維微動平臺，在滿足不低于5 μm的位移條件下，獲得了剛度高于5 N/μm的微動平臺。對其進行仿真分析表明，微動平臺具有良好的靜、動態(tài)特性。

1 二維微動平臺的結構設計

設計的二維微動平臺結構如圖1所示。平臺整體布局采用串聯式結構，以雙平行柔性鉸鏈結構作傳動機構，柔性鉸鏈為雙圓弧形，平臺可實現在輸出位移方向直線運動，無附加位移，輸出結果精確。平臺由壓電陶瓷執(zhí)行器驅動，其定位精確，分辨率高；x向壓電陶瓷驅動平臺做左右運動，y向壓電陶瓷驅動平臺做上下運動，且x、y向的柔性鉸鏈布置方向垂直，平臺x向運動時，y向柔性鉸鏈結構相對為剛性結構，反之亦然，即x、y向運動位移無耦合。

圖1 二維微動平臺結構示意圖

2 微動平臺結構優(yōu)化

為了平臺能獲得更好的靜、動態(tài)特性，需要對平臺作主要傳動機構的雙平行柔性鉸鏈結構進行結構優(yōu)化，使平臺在給定位移的情況下，剛度達到最大，定位精度和固有頻率最高。

2.1 設計變量的確定

根據圖1所示的結構可知，本文使用的是半圓弧柔性鉸鏈，其剛度主要由半徑r、厚度t決定。由于采用雙平行柔性鉸鏈結構作為傳動機構，因此，選取r、t和同側兩柔性鉸鏈半圓弧圓心距l(xiāng)作為設計變量，即X=[x1,x2,x3]T=[r，t,l]T。

2.2 目標函數的建立

2.2.1x(y)向剛度

因x、y向結構一致，故兩個方向的剛度也一致，只需要計算一個方向的剛度即可。圖2為雙平行柔性鉸鏈結構的等效力學模型，圖3為單個雙圓弧柔性鉸鏈模型。

圖2 雙平行柔性鉸鏈結構等效力學模型

圖3 單個雙圓弧柔性鉸鏈模型

根據功能原理可知，運動過程中微動平臺所積蓄的彈性勢能為

(1)

式中：Fx為平臺所受的驅動力；Δx為平臺的輸出位移；Kα為圖3中柔性鉸鏈繞z軸的轉角剛度；α為柔性鉸鏈繞z軸的轉角。

圖3中，在繞z向彎矩Mz作用下，根據單軸雙圓弧柔性鉸鏈的理論計算式[7]可知：

(2)

式中：E=196.5×109Pa為所用材料的彈性模量，本文所用材料為65Mn；b為柔性鉸鏈z向的長度。

因此，平臺x(y)方向的剛度Kx理論計算式為

(3)

2.2.2z向剛度

微動平臺在z向剛度的計算方法與x向一致。圖3中，在繞y向彎矩My作用下，根據單軸雙圓弧柔性鉸鏈的理論計算式[8]可知：

(4)

(5)

式中：Kβ為圖3中柔性鉸鏈繞y軸的轉角剛度；s=r/t。因此，平臺z向剛度為

(6)

2.2.3 平臺結構優(yōu)化多目標函數的建立

在給定的位移條件下，本文要求各方向上剛度最大，此為多目標優(yōu)化問題。本文采用線性加權法建立綜合考慮平臺各方向剛度的統一目標函數，因為x(y)方向和z方向剛度同等重要，因此，兩個方向的權重值(w1,w2)都取為1，即w1=w2=1。本文目標函數為

(7)

2.3 約束條件的建立

2.3.1x(y)向最大位移至少5 μm

本文要求x(y)向的最大位移Δx≥5 μm，根據選用的壓電陶瓷驅動器可得平臺所受最大驅動力Fmax=264 N。由此可得

(8)

2.3.2z向最大位移不超過1 μm

本文要求微動平臺在Fz=70 N的作用力下z向位移不超過1 μm，即

(9)

2.3.3x(y)向最大應力不超過許用應力

(10)

2.3.4z向最大應力不超過許用應力

微動平臺在z向的最大應力計算和x向一樣，得出z向最大應力σ2應滿足如下條件：

(11)

2.3.5 保持雙平行柔性鉸鏈結構形狀基本不變

為保證優(yōu)化后的雙柔性鉸鏈結構的形狀不發(fā)生較大的變化，根據初始值，應滿足如下要求：

4r-l≤0

(12)

2.4 平臺多目標結構優(yōu)化的求解

本文以x(y)和z向的結構剛度為優(yōu)化目標，是多目標優(yōu)化問題，同時又有約束條件，也是一個有約束非線性規(guī)劃問題。由于序列二次規(guī)劃算法在求解有約束非線性規(guī)劃問題中具有收斂性好,計算效率高,邊界搜索能力強的優(yōu)點，因此，本文采用該算法對平臺結構優(yōu)化數學模型進行求解。

在MATLAB軟件中已含有基于序列二次規(guī)劃算法的優(yōu)化求解程序，即在MATLAB軟件中調用fmincon優(yōu)化程序便可對有約束非線性規(guī)劃問題進行求解。因此，使用初始值和上述統一目標函數以及約束條件，在MATLAB軟件中進行編程，對結構優(yōu)化的數學模型進行求解。求解后的微動平臺柔性鉸鏈的r、t、l分別為1.01 mm、0.34 mm、4.05 mm。根據優(yōu)化后的數據可計算出平臺剛度的理論值：平臺x(y)方向剛度理論值Kx=5.46 N/μm，位移理論值Δx=6.89 μm，z向剛度理論值Kz=70 N/μm。

3 微動平臺的有限元仿真

3.1 平臺靜態(tài)性能仿真

本文采用ANSYS軟件本身的三維建模模塊對平臺進行三維建模，并進行靜態(tài)仿真。對平臺進行自動網格劃分，劃分后平臺有878 113個網格單元和1 323 634個節(jié)點，對平臺添加固定約束和驅動力，而后求解平臺的最大輸出位移和應力云圖。圖4、5分別為平臺x、y向的仿真應力云圖。

圖4 平臺x向應力云圖

圖5 平臺y向應力云圖

由圖4、5可知，兩方向的最大應力均遠小于材料的許用應力，滿足應力約束條件。由仿真結果可知，x向位移為7.01 μm，y向位移為6.76 μm，x向剛度為5.36 N/μm，y向剛度為5.56 N/μm，均滿足要求。對比位移理論值Δx=6.89 μm、剛度理論值Kx=5.46 N/μm，x向位移誤差為1.7%，y向位移誤差為1.9%，x、y向剛度誤差均為1.8%。根據誤差大小可知優(yōu)化結果可靠。

Solar cycle modulation on the relationship between North Atlantic Oscillation and Middle East subtropical

誤差產生的原因主要有:

1)理論計算忽略了鉸鏈的伸縮變形。

2)理論計算忽略了材料變形帶來的反作用力。

3)理論計算的簡化力學模型與仿真模型有差異。

4)仿真中網格劃分的精密程度影響仿真結果。

5)仿真計算求解存在一定的近似計算。

3.2 平臺動態(tài)性能分析

對上述建立的三維模型進行前6階的模態(tài)仿真，即在分析樹處添加要求解的前6階總變形命令，而后進行求解。觀看仿真后的模態(tài)振型圖，其仿真振型圖如圖6所示。

圖6 微動平臺模態(tài)振型圖

由圖6可知，平臺x向固有頻率為1.363 kHz，y向固有頻率為1.027 kHz，兩者均大于1 kHz，具有良好的動態(tài)特性。

4 結論

1)本文采用雙平行柔性鉸鏈結構設計了一種二維串聯式微動平臺，并用二次序列規(guī)劃算法對其進行了結構優(yōu)化，優(yōu)化結果為：r=1.01 mm，t=0.34 mm，l=4.05 mm。

2)微動平臺x(y)向位移理論值為6.89 μm、剛度理論值Kx=5.46 N/μm，滿足x(y)向剛度高于5 N/μm，位移不小于5 μm的設計要求。對平臺進行動、靜態(tài)仿真分析，x、y向位移結果分別為7.01 mm、6.76 μm，x、y向剛度分別為5.36 N/μm、5.56 N/μm。與位移理論值相比，x、y向位移誤差分別為1.7%、1.9%；與剛度理論值相比，x、y向剛度誤差為1.8%，表明優(yōu)化結果可靠。

3)根據模態(tài)分析可知，x、y向固有頻率分別為1.363 kHz、1.027 kHz，均大于1 kHz，即微動平臺具有良好的抗震性和動態(tài)特性。