韓忠磊，段 薇，周 濤，胡三寶

(1.武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070；3.武漢船舶通信研究所，湖北 武漢 430079)

單軌跡車輛有兩個(gè)顯著的振蕩模態(tài)，weave和wobble模態(tài)。Wobble模態(tài)產(chǎn)生于轉(zhuǎn)向自由度，低速時(shí)更易發(fā)生，表現(xiàn)為轉(zhuǎn)向搖晃；weave模態(tài)包含了轉(zhuǎn)向、側(cè)翻、橫擺和側(cè)向自由度，高速時(shí)更易發(fā)生，表現(xiàn)為迂回穿行。Sharp在1971年研究了關(guān)于摩托車直線行駛穩(wěn)定性的問題[1]，辨識(shí)出了非振蕩模態(tài)capsize模態(tài)及振蕩模態(tài)weave和wobble模態(tài)。之后Sharp論證了車架柔性對(duì)摩托車高速weave模態(tài)的影響[2]，柔性車架通過后輪與車身之間的線性彈簧-阻尼器來表征。Sharp還討論了摩托車輪胎動(dòng)態(tài)特性不同假設(shè)下車輛weave模態(tài)和wobble模態(tài)的頻率響應(yīng)[3]。Rajput等利用牛頓-歐拉法建立了較為簡(jiǎn)單的單軌跡車輛模型[4-5]，對(duì)影響車輛行駛穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)向器阻尼、車輛質(zhì)心位置等參數(shù)進(jìn)行了根軌跡的圖解分析。文獻(xiàn)[6]研究了車輛穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)時(shí)設(shè)計(jì)參數(shù)和道路摩擦對(duì)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[7]研究了單軌跡車輛模態(tài)辨識(shí)方法。

對(duì)于單軌跡車輛的穩(wěn)定性分析一般是將模型線性化，考慮側(cè)向和縱向運(yùn)動(dòng)解耦，在不同車速下進(jìn)行根軌跡分析。多數(shù)文獻(xiàn)指出，capsize模態(tài)即車輛的側(cè)傾模態(tài)是最重要的模態(tài)，因?yàn)樗碚髁藛诬壽E車輛側(cè)翻倒地自由度的穩(wěn)定性，當(dāng)capsize模態(tài)不穩(wěn)定時(shí)，分析weave及wobble模態(tài)已然失去意義。而車輛設(shè)計(jì)參數(shù)、行駛工況、輪胎模型對(duì)capsize模態(tài)穩(wěn)定性定量分析的研究較少。為了定量分析車輛參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，以齊次坐標(biāo)推導(dǎo)了單軌跡車輛的9自由度動(dòng)力學(xué)模型DOF9-BIKE，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論計(jì)算了單軌跡車輛直線行駛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的條件。

1 單軌跡車輛建模

單軌跡車輛模型包括：前、后輪，前、后總成，前非簧質(zhì)量。前、后總成通過轉(zhuǎn)向器連接在一起。模型的9個(gè)自由度分別為：后總成質(zhì)心3個(gè)方向的移動(dòng)，車架的橫擺、俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)以及前、后輪的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。如圖1所示。

圖1 單軌跡車輛DOF9-BIKE模型

1.1 多體動(dòng)力學(xué)模型

全局坐標(biāo)系的方向如圖1所示。由于齊次坐標(biāo)矩陣對(duì)于空間剛體的位置和姿態(tài)描述較為簡(jiǎn)便，計(jì)算方便，這里把5個(gè)部件各分配一個(gè)齊次坐標(biāo)矩陣Ti：Ti={ui,wi,vi,Gi},i=1,2,…，5。前3個(gè)列向量為方向向量，分別為繞X、Y、Z旋轉(zhuǎn)的余弦矩陣，第4個(gè)列向量為平移向量，表示位置。

前總成坐標(biāo)矩陣為T3，局部坐標(biāo)系原點(diǎn)為X2Y2平面與轉(zhuǎn)向軸的交點(diǎn)P3={x3,y3,z3,1}T。X3Z3平面平行于前輪回轉(zhuǎn)平面，X3軸垂直于轉(zhuǎn)向軸向前，方向向量為u3={ux3,uy3,uz3,0}T；Y3軸平行于前輪軸，方向向量為w3={wx4,wy4,wz4,0}T；Z3軸方向向量為v3={vx3,vy3,vz3,0}T。

前非簧質(zhì)量坐標(biāo)矩陣為T5，局部坐標(biāo)系原點(diǎn)利用齊次坐標(biāo)變換為G5=T4{Gx5,Gy5,Gz5,1}T，其中Gx5,Gy5,Gz5為前非簧質(zhì)量質(zhì)心在前輪局部坐標(biāo)系下的位置。方向向量為：u5=u3,w5=w4,v5=v3。

整個(gè)建模用到n=33個(gè)廣義坐標(biāo)，包括G1,P3,G4位置坐標(biāo)，各方向向量，以及與輪胎旋轉(zhuǎn)相關(guān)的廣義坐標(biāo)θ1,θ4。則廣義坐標(biāo)向量為：

q={x1,y1,z1,sx1,sy1,wy1,wz1,vx1,vy1,x3,y3,

z3,ux3,uy3,uz3,vy3,sx4,sy4,wy4,wz4,vx4,

vz1,vz3,vz4,x4,y4,z4,vy4,θ1,θ4,wx1,vx3,wx4}T

其約束方程為:

φj=0,j=1,2，…，g

其中g(shù)=n-9。

由于方向向量均為單位向量，則有：

φ1=|s1|-1φ2=|w1|-1φ3=|v1|-1

φ4=|s4|-1φ5=|w4|-1φ6=|v4|-1

φ7=|u3|-1φ8=|v3|-1

由圖1所示，滿足正交關(guān)系的向量應(yīng)有：

φ9=s1·w1φ10=s1·v1φ11=v1·w1

φ12=s4·w4φ13=s4·v4φ14=v4·w4

φ15=u3·w4φ16=v3·w4φ17=u3·v3

φ18=w1·v3

向量G1P3垂直于平面Y3Z3，長(zhǎng)度為l13，有：φ19=G1P3·w1,φ20=G1P3·v1,φ21=|G1P3|-l13。

圖1中，點(diǎn)R3=G4-lRu3必須在轉(zhuǎn)向系坐標(biāo)Z3軸上，P3R3長(zhǎng)度為l34，則有：

φ22=P3R3·w4,φ23=P3R3·u3,

φ24=|P3R3|-l34

1.2 輪胎模型

1.3 拉格朗日方程

帶約束的拉格朗日方程如下：

(1)

式中：K為系統(tǒng)動(dòng)能；λj為拉格朗日乘子;Qi為廣義力。

式(1)可利用增廣法將其轉(zhuǎn)化為常微分方程，并通過Baumgarte穩(wěn)定化方法可得到動(dòng)力學(xué)方程如下[8-10]：

2 穩(wěn)定性理論模型

研究單軌跡車輛在直線行駛時(shí)的穩(wěn)定性問題實(shí)際上是研究其穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。為了研究的方便，將系統(tǒng)方程化為Воронец方程形式[11]。

(2)

(σ=1,2,…,ε)

(3)

(4)

(5)

(α=k+1,k+2,…,ε;ρ=1,2,…,m-ε;

τ,ν,σ=1,2,…,ε;β=1,2,…,g)

式中，L,F分別為系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)和耗散力，上述條件意味著約束條件后面(n-m)個(gè)是Чаплытин約束(方程不顯含坐標(biāo)但有其速度，且速度被消去，則消去后可獨(dú)立于約束方程進(jìn)行研究)，剩下為一般形式的約束。坐標(biāo)qα(α=k+1,k+2,…,ε)為循環(huán)坐標(biāo)。此外還假設(shè)

(α,τ,δ=k+1,k+2,…,ε;ρ=1,2，…,m-ε)

(6)

第一組條件意味著，對(duì)循環(huán)速度沒有耗散；第二、三組意味著確保穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)流形存在，其維數(shù)不小于循環(huán)坐標(biāo)和非完整約束數(shù)目之和。可以證明，在所指條件下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程有解：

(7)

(α=k+1,k+2,…,ε)

(8)

式中，wij，uij,vij為系統(tǒng)方程泰勒展開后的系數(shù)項(xiàng)，式(8)顯然有(m-k)個(gè)零根，其余2k個(gè)根滿足式(9)。由Лялунов-Малкин定理成立有：在滿足式(4)～式(6)的非完整系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的鄰域內(nèi)，受擾運(yùn)動(dòng)特征方程的全部根λ除了(m-k)個(gè)外都在左半平面，那么穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的(但非漸進(jìn)穩(wěn)定)。

(9)

3 模型驗(yàn)證及穩(wěn)定性分析

3.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證DOF9-BIKE模型的正確性，將模型在工況1下的仿真結(jié)果與BIKESIM結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。工況1設(shè)置為：2～4 s，驅(qū)動(dòng)力矩150 N·m；5～7 s，側(cè)傾角為10°；7～10 s，側(cè)傾角為12°。其中側(cè)傾角利用PID反饋控制轉(zhuǎn)向力矩實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果對(duì)比如圖2～圖6所示。

圖2 縱向速度對(duì)比

圖3 轉(zhuǎn)向力矩對(duì)比

圖4 側(cè)傾角對(duì)比

圖5 后輪垂向力對(duì)比

圖6 前輪側(cè)向力對(duì)比

兩種模型從靜平衡狀態(tài)開始施加后輪驅(qū)動(dòng)力，由于DOF9-BIKE模型未考慮懸架，在驟加速和停止加速時(shí)，輪胎垂向力對(duì)比有明顯差別，但在完成加速后，輪胎垂向力大致相等。由于側(cè)傾角為反饋控制，故仿真結(jié)果基本吻合。BIKESIM模型從直線行駛狀態(tài)過渡到回轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，在懸架作用下，輪胎側(cè)向力較小，則車輛側(cè)向速度較小，即其縱向速度對(duì)比較大，故穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)所需轉(zhuǎn)向力矩較小。由圖2～圖6可知，模型DOF9-BIKE和BIKESIM仿真結(jié)果曲線趨勢(shì)一致，且基本吻合，兩者結(jié)果的偏差是由車輛動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中懸架作用導(dǎo)致的。且考慮計(jì)算誤差，說明了所建立DOF9-BIKE模型的正確性。

3.2 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

分析DOF9-BIKE模型，有滿足式(4)～式(6)的穩(wěn)態(tài)解：

qi={wx1,vx3,z4,vy4,wx4}

qρ為除廣義坐標(biāo)x1,y1,x3,y3外剩下的20個(gè)廣義坐標(biāo)。將所建立模型DOF9-BIKE轉(zhuǎn)化為第2節(jié)所述形式，并得到系統(tǒng)特征方程式(9)。計(jì)算得到單變量下單軌跡車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性條件，如表1所示。

表1 車輛穩(wěn)定的單變量條件

為了驗(yàn)證條件計(jì)算的正確性，在BIKESIM中改變車輛參數(shù)，在工況2下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。工況2設(shè)置為：施加驅(qū)動(dòng)力矩使車輛到達(dá)一定速度，9～10 s施加10 N·m轉(zhuǎn)向力矩。這里主要是研究單軌跡車輛受擾動(dòng)的傾覆問題，故這里僅列出側(cè)傾角受擾變化曲線，如圖7～圖11所示。

圖7 縱向速度對(duì)干擾下的側(cè)傾角影響

由圖7可知，車速小于24 km/h時(shí)，施加干擾轉(zhuǎn)向力矩，車輛側(cè)傾角振蕩發(fā)散，終使車輛側(cè)傾倒地。當(dāng)車速大于24 km/h，車輛受擾后能夠自動(dòng)回正到側(cè)傾角為零的行駛狀態(tài)，車輛的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。車速增大會(huì)使擾動(dòng)側(cè)傾角減小但回復(fù)時(shí)間增加。

由圖8可知，轉(zhuǎn)向器阻尼在0.04～3 Nms/(°)范圍內(nèi)可使車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。3 Nms/(°)的阻尼在實(shí)車上是不會(huì)出現(xiàn)的，這里僅驗(yàn)證條件計(jì)算的正確性。同樣，阻尼增大會(huì)使擾動(dòng)側(cè)傾角減小但回復(fù)時(shí)間增加。

圖8 轉(zhuǎn)向器阻尼對(duì)干擾的下側(cè)傾角影響

圖9為輪胎側(cè)傾剛度對(duì)車輛穩(wěn)定性的影響。這里側(cè)傾剛度是指由側(cè)傾角產(chǎn)生的輪胎回正力矩。當(dāng)側(cè)傾剛度在0.1～4 Nm/(°)范圍內(nèi)時(shí)車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。適當(dāng)增加側(cè)傾剛度不僅可以減小側(cè)傾角擾動(dòng)，且可減小回復(fù)時(shí)間。

圖9 側(cè)傾剛度對(duì)干擾下側(cè)傾角影響

由圖10可知，當(dāng)輪胎側(cè)偏剛度大于40 N/(°)時(shí)，可使車輛穩(wěn)定。在滿足車輛穩(wěn)定的條件下，增加側(cè)偏剛度可減小側(cè)傾角擾動(dòng)。

質(zhì)心X位置表示從前輪輪心至后總成質(zhì)心的X向距離。由圖11可知，質(zhì)心X向位置在130～1 350 mm范圍內(nèi)車輛的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。在穩(wěn)定范圍之內(nèi)適當(dāng)前移可使擾動(dòng)側(cè)傾角減小且減小回復(fù)時(shí)間。

圖10 側(cè)偏剛度對(duì)干擾下的側(cè)傾角影響

圖11 質(zhì)心X向位置對(duì)干擾下的側(cè)傾角影響

4 結(jié)論

(1)以齊次坐標(biāo)描述單軌跡車輛各部件的位置和姿態(tài)，考慮輪胎力矩，建立了9自由度非線性模型DOF9-BIKE。在典型工況下，仿真驗(yàn)證了所建模型的正確性。

(2)將模型轉(zhuǎn)化為Воронец方程形式。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論計(jì)算了單變量下單軌跡車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的條件。從計(jì)算結(jié)果及驗(yàn)證可以看出，車速超過某一限值，足夠的輪胎側(cè)偏剛度是保證單軌跡車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的必要條件。車速增大可使側(cè)傾角擾動(dòng)幅值減小但回復(fù)時(shí)間增加，增大側(cè)偏剛度可減小擾動(dòng)幅值。對(duì)于具體的車輛，轉(zhuǎn)向器阻尼、輪胎側(cè)傾剛度、質(zhì)心位置都應(yīng)滿足一定的取值范圍，才能使車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。