(石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，河北 石家莊 050043)

0 引言

非平穩(wěn)信號遍布生產(chǎn)生活各個領域，如機械故障信號、語音信號、通信信號、生物醫(yī)學信號、地質勘探信號、雷達探測信號等等均屬于非平穩(wěn)信號。傳統(tǒng)的時域和頻域分析方法不能兼顧信號在時域和頻域的局部化特征，而這些特征恰好反映非平穩(wěn)信號的本質，時頻分析方法既能反映信號的頻率信息，又能反映頻率隨時間的變化規(guī)律，因此，時頻分析方法成為處理非平穩(wěn)信號的有效手段。主要的時頻分析方法包括：Gabor變換、短時Fourier變換(STFT)、小波變換(WT)、Wigner-Ville分布(WVD)、自適應信號分解方法等，然而受Heisenberg測不準原理、交叉項干擾及模態(tài)混疊等的影響，很多方法時頻分辨率很低，不能準確分析非平穩(wěn)信號的時變特征。

為提高時頻分布的時頻分辨率，Auger et al[1]提出時頻重排算法，利用重排算子將時頻能量重新分配，使能量重心聚集在信號的瞬時頻率脊線附近，有效提高了時頻聚集性，但計算量較大。Daubechies et al[2]提出了同步壓縮小波變換(synchrosqueezing wavelet transform, SST)，其本質是小波變換與時頻重排技術的結合，對小波變換后時頻分布在頻率/尺度方向進行壓縮，以達到更高的時頻聚集性，相比于重排技術，同步壓縮小波變換計算速度快，且支持信號的重構。此方法自被提出以來，大量學者對此給予關注，并展開了一系列深入研究，同時將其應用到機械故障診斷、地震探測信號分析、土木結構識別、語音信號識別等多個領域。Chuan et al[3]指出由于同步壓縮小波變換僅在頻率域上進行壓縮變換，在時間域上沒有處理，這就導致其對強調頻信號分析時會發(fā)生能量的擴散，時頻聚集性下降，提出廣義同步壓縮變換，并用于齒輪故障診斷中。Feng et al[4]認為同步壓縮小波變換在處理多分量信號時會存在頻率混疊問題，提出迭代解調分析法，以得到精確的時頻譜，并應用于行星齒輪箱故障診斷中。Wang et al[5]提出匹配同步壓縮法用于處理快速變化的多分量信號，并應用于機械故障診斷。劉景良等[6-7]將同步壓縮小波變換引入土木工程領域，用來識別結構的瞬時頻率，并采用解析模態(tài)分解方法改進同步壓縮性能。汪祥莉等[8]利用同步壓縮小波變換處理混沌干擾下的諧波信號提取，取得了良好效果。金艷等[9]將同步壓縮變換擴展到同步壓縮Chirplet，結合分數(shù)低階方法處理復雜噪聲干擾下線性調頻信號參數(shù)估計問題。于剛[10]提出同步提取方法來改進同步壓縮小波變換的抗噪性能，用于挖掘機振聲信號時頻分析。Iatsenko et al[11]對同步壓縮小波變換在瞬時頻率估計以及信號重構方面做出了探索。由此可見，作為一種改良的基礎時頻分析方法，同步壓縮小波變換有很大的挖掘潛力以及廣闊的應用空間，對其進行深入研究是有必要、有價值的。現(xiàn)有文獻還沒有對此方法進行全面、透徹分析，所以本文針對幾種典型非平穩(wěn)信號對同步壓縮小波變換進行全方位的探討，并與短時傅里葉變換和連續(xù)小波變換這兩種傳統(tǒng)時頻分析對比分析，此工作對時頻分析領域將有很好的指導意義。

1 同步壓縮小波變換

Daubechies提出的同步壓縮小波變換是從連續(xù)小波變換(CWT)出發(fā)的，首先對信號進行連續(xù)小波變換，再進行時頻重排，對小波系數(shù)進行壓縮變換，使得時頻分布更清晰、時頻分辨率更高。假設一個多分量諧波信號x(t)為

(1)

式中，Ak(t)>0，φk′ (t)>0，且信號的幅值Ak(t)變化比頻率φk′ (t)變化緩慢，同步壓縮小波變換可以準確分析此類信號的時頻特征，精確提取各分量的頻率成分。

首先對于給定的母小波函數(shù)Φ對信號進行連續(xù)小波變換如下

(2)

Daubechies從一個純粹的諧波信號開始分析同步壓縮小波變換，首先對諧波信號進行小波變換得到的小波系數(shù)會聚集在原信號的頻率附近，并且振蕩頻率與原信號也相同，所以通過計算各小波系數(shù)的振蕩頻率對原信號頻率進行估計，再利用壓縮算子將頻率相同的小波系數(shù)壓縮到一起，可以明顯提高時頻分布的時頻聚集性。這里以一個幅值恒定的諧波信號s(t)為例進行闡述。

s(t)=Acos(ωt)

(3)

其連續(xù)小波變換為

(4)

(5)

式中，?bWs(a,b)為Ws(a,b)對b的一階偏導。

(6)

同步壓縮的實質就是將小波變換系數(shù)在頻率/尺度方向的擴散區(qū)域壓縮至一個以ωl為中心的集中區(qū)域，以達到提高時頻聚集性的目的。

2 仿真信號分析

為了全面分析同步壓縮小波變換，下面將分別從單分量信號與多分量信號兩大類出發(fā)，其中涉及諧波信號和強調頻信號成分，并分析信噪比對同步壓縮小波變換的影響，通過Rényi熵評價時頻聚集性，同時與短時傅里葉變換和連續(xù)小波變換做對比。本文中同步壓縮變換統(tǒng)一采用Morlet小波。

2.1 單分量信號分析

為了簡潔，采用分段信號s(t)進行分析，其中，0～6 s為調頻信號，6～12 s為諧波信號，表達式如下

(7)

采樣頻率100 Hz。圖1至圖4分別為無噪聲、SNR=5、SNR=0、SNR=-5情況下幾種時頻分析方法對比圖。SNR表示信噪比，計算式如下

(8)

式中，Ps和PN分別表示信號和噪聲的有效功率。

由圖1可以看出，在無噪聲情況下，STFT和CWT雖然能識別信號的頻率成分，但時頻譜聚集性很差，SST時頻聚集性非常高，能夠清晰顯示調頻分量和諧波分量。由圖2～圖4可以看出，STFT和SST受噪聲干擾非常嚴重，在信噪比逐漸減小的情況下，其時頻分布越來越模糊，最后已經(jīng)不能識別信號成分，而SST由于將時頻系數(shù)進行壓縮變換使時頻聚集性提高，受噪聲影響較小，在低信噪比下仍能保持高時頻聚集性。

圖1 無噪聲情況下幾種時頻分析對比圖(單分量)

圖2 SNR=5時幾種時頻分析方法對比圖(單分量)

圖3 SNR=0時幾種時頻分析方法對比圖(單分量)

圖4 SNR=-5幾種時頻分析方法對比圖(單分量)

Rényi熵可以客觀評價時頻聚集性的好壞，Rényi熵值越小表示時頻聚集性越高，表1列出了不同信噪比下幾種時頻分析方法的Rényi熵值。由表1可以看出，3種時頻分析方法Rényi熵隨信噪比減小而增加，表明時頻聚集性隨信噪比減小而變弱。在各信噪比情況下，3種方法時頻聚集性關系為：SST>STFT>CWT。綜上所述，SST在時頻聚集性上較傳統(tǒng)的STFT和CWT顯著提高。

表1 單分量信號不同信噪比下幾種時頻分析方法的Rényi熵

2.2 多分量信號分析

為了使所分析信號更具廣泛性，此處選擇一個幅值調制的線性調頻信號和一個余弦和線性混合調制的調頻信號相疊加，多分量信號s(t)表達式如下

s(t)=cos(2π(0.1t2.6+3sin(2t)+10t))+e-0.2tcos(2π(40t+t2.3))

(9)

采樣時間為10 s，采樣點數(shù)2 000。

圖5至圖8分別為無噪聲、SNR=5、SNR=0、SNR=-5情況下幾種時頻分析方法對比圖。由圖可見，對于多分量信號，STFT和CWT仍然存在能量發(fā)散，時頻聚集性差的問題，且隨著信噪比降低，對于線性調頻信號已無法識別，余弦調制信號也基本被淹沒在噪聲中。SST在無噪聲情況下，時頻聚集性仍然良好，由圖5(d)～圖8(d)可以看出，隨著噪聲干擾增強，SST的時頻聚集性基本不受影響，仍能清晰顯示各頻率分量，可見其對于強調頻信號仍然有效。

圖5 無噪聲情況下幾種時頻分析對比圖(多分量)

圖6 SNR=5情況下幾種時頻分析對比圖(多分量)

圖7 SNR=0情況下幾種時頻分析對比圖(多分量)

圖8 SNR=-5情況下幾種時頻分析對比圖(多分量)

同樣用Rényi熵評價這幾種方法處理多分量信號的時頻聚集性，Rényi熵結果如表2所示。由表2可以看出，3種時頻分析方法Rényi熵仍然與信噪比呈負相關，時頻聚集性隨信噪比減小而變弱。在各信噪比情況下，3種方法時頻聚集性關系為：SST> CWT>STFT。通過與表1對比可以發(fā)現(xiàn)，這3種時頻分析方法在處理多分量信號時的時頻聚集性均比單分量信號的時頻聚集性稍差。

表2 多分量信號不同信噪比下幾種時頻分析方法的Rényi熵

3 實驗分析

為驗證本文方法的實用性，以QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障實驗臺為操作平臺，選用軸承型號為NU205EM，對軸承外圈故障信號進行分析,實驗臺及故障軸承外圈如圖9所示。該滾動軸承參數(shù)如表3所示，信號的采樣頻率為25 600 Hz，時間10 s，軸承轉頻變化范圍：11.4～24.6 Hz。

圖9 QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障實驗臺及故障外圈

表3 滾動軸承NU205EM參數(shù)

故障振動信號時域波形如圖10所示，鍵相脈沖信號如圖11，擬合出的轉頻曲線如圖12。對該故障振動信號做同步壓縮小波變換，可得時頻圖如圖13所示，從時頻圖上可以清晰識別故障信號轉頻及其倍頻變化情況，是一種有效的時頻分析手段。從此時頻圖中提取出轉頻曲線與實際轉頻曲線對比，如圖14，通過計算得轉頻曲線估計誤差為9.51%，能夠滿足實際應用需求。

圖10 時域波形

圖11 鍵相脈沖

圖12 轉頻曲線

圖13 同步壓縮小波變換

圖14 轉頻曲線對比圖

4 結論

通過幾種典型信號對STFT、CWT和SST 3種方法對比分析，結果表明SST在時頻聚集性上較傳統(tǒng)方法STFT和CWT顯著提高，且具有較強的噪聲魯棒性，通過實測軸承變轉速故障信號驗證了其實用性，對于復雜工程信號，SST是一種有效的時頻分析方法。