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        EKF、UKF和CKF的濾波性能對比研究

        2019-06-25 03:35:12
        關(guān)鍵詞:估計(jì)值協(xié)方差卡爾曼濾波

        趙 辰

        (1.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院,河北 石家莊 050043;2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 石家莊 050043)

        0 引言

        濾波是指將有用信號(hào)中的噪聲進(jìn)行濾除的一種方法。生活中的系統(tǒng)基本都是非線性的,針對非線性系統(tǒng)的濾波方法主要有EKF、UKF和CKF。EKF是將非線性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)并略去高階項(xiàng),一般適用于弱非線性系統(tǒng)。EKF相對UKF、CKF較為簡單且容易實(shí)現(xiàn),但在強(qiáng)非線性情況下濾波性能差,且計(jì)算量相比UKF和CKF大,有時(shí)會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散[1]。UKF則用UT變換對均值和協(xié)方差的非線性傳遞進(jìn)行處理,因此其精度高于EKF。UKF廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤、汽車行駛狀態(tài)估計(jì)、導(dǎo)航系統(tǒng)和飛行器飛行姿態(tài)估計(jì)等領(lǐng)域。UKF雖然克服了EKF易發(fā)散的缺點(diǎn),但在高維系統(tǒng)中UKF需要合理地調(diào)節(jié)參數(shù)才能得到好的濾波效果[2],應(yīng)用比較困難。

        最近,基于Cubature變換的CKF濾波算法由Arasaratnam et al提出[3-4],該算法在狀態(tài)估計(jì)、機(jī)動(dòng)目標(biāo)定位等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。CKF應(yīng)用球面徑向準(zhǔn)則對狀態(tài)后驗(yàn)均值和協(xié)方差進(jìn)行逼近,并通過2n個(gè)相同權(quán)值的Cubature點(diǎn)經(jīng)系統(tǒng)方程得到新的狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)而推導(dǎo)出下一時(shí)刻狀態(tài)的預(yù)測點(diǎn),整個(gè)過程不需對復(fù)雜的Jacobi矩陣進(jìn)行計(jì)算,具有很好的濾波效果[5]。針對目前的相關(guān)文獻(xiàn),大多數(shù)是基于EKF與UKF濾波算法的應(yīng)用對比研究,以及UKF與CKF濾波算法的應(yīng)用對比研究,而基于3種濾波算法濾波性能對比研究的文獻(xiàn)尚不存在。因此本文在相同的非線性系統(tǒng)模型下,對比分析了EKF、UKF和CKF濾波算法的實(shí)現(xiàn)原理以及各自估計(jì)值與真實(shí)值的誤差,綜合比較了3種算法的濾波性能。

        1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

        EKF的離散非線性系統(tǒng)狀態(tài)和觀測方程分別表示為

        (1)

        現(xiàn)在假定控制量的輸入為0,已知噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣G(k),過程噪聲W(k)和觀測噪聲V(k)相互獨(dú)立。過程噪聲W(k)、觀測噪聲V(k)都是均值為0的高斯白噪聲。

        (2)

        (3)

        (4)

        則狀態(tài)方程為

        X(k+1)=Φ(k+1|k)X(k)+G(k)W(k)+Φ(k)

        (5)

        式中,初始值為X(0)=E[X(0)]。

        (6)

        (7)

        (8)

        則觀測方程為

        Z(k)=H(k)X(k)+y(k)+V(k)

        (9)

        將卡爾曼濾波方程應(yīng)用到非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程(5)和觀測方程(9)可得EKF濾波遞推方程

        (10)

        P(k+1|k)=Φ(k+1|k)P(k|k)ΦT(k+1|k)+Q(k+1)

        (11)

        K(k+1)=P(k+1)HT(k+1)[H(k+1)P(k+1|k)HT(k+1)+R(k+1)]-1

        (12)

        (13)

        P(k+1)=[I-K(k+1)H(k+1)]P(k+1|k)

        (14)

        式中,濾波的初始狀態(tài)值X(0)和誤差的初始協(xié)方差陣P(0)初始值分別為:E[X(0)]、var[X(0)]。

        2 無跡卡爾曼濾波

        UKF與EKF不同的是,它并不是線性化處理估計(jì)點(diǎn)附近的非線性方程f和h,而是由UT變換確定的采樣點(diǎn)來表示非線性函數(shù)的高斯分布,進(jìn)而近似系統(tǒng)狀態(tài)的概率密度以達(dá)到狀態(tài)估計(jì)的目的[7]。

        2.1 UT變換的原理

        UT變換的原理為:UT變換用一個(gè)確定數(shù)量的參數(shù)集來近似非線性系統(tǒng)的高斯分布,并在原來狀態(tài)的分布中按能夠達(dá)到現(xiàn)在狀態(tài)分布和原來狀態(tài)分布的均值和協(xié)方差相等的規(guī)則選取部分采樣點(diǎn),再在非線性的函數(shù)中代入上述采樣點(diǎn)求出相應(yīng)的點(diǎn)集,均值和誤差協(xié)方差就可以通過求出的點(diǎn)集得到,這樣求得的均值和協(xié)方差具有2階及以上精度[8]。

        (1)求解2n+1個(gè)Sigma點(diǎn),即采樣點(diǎn)。

        (15)

        (2)計(jì)算上述采樣點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)值。

        (16)

        式中,上標(biāo)表示第幾個(gè)采樣點(diǎn);m為平均值;c為協(xié)方差;a為控制采樣點(diǎn)的狀態(tài);λ=a2(n+κ)-n是比例參數(shù),可以降低預(yù)測誤差,κ為待選參數(shù),它的取值不受界限的限制,并能保證(n+λ)P為半正定矩陣;β≥0是權(quán)系數(shù),它可以合并方程中的高階項(xiàng)進(jìn)而將高階項(xiàng)的影響考慮在內(nèi)。

        2.2 UKF算法實(shí)現(xiàn)

        對于不同時(shí)刻k,非線性系統(tǒng)可由具有W(k)的隨機(jī)變量X和具有V(k)的觀測變量Z構(gòu)成并表示為

        (17)

        式中,f是非線性狀態(tài)方程函數(shù);h是非線性觀測方程函數(shù)。

        設(shè)W(k)含有協(xié)方差陣Q,V(k)含有協(xié)方差陣R,不同時(shí)刻k隨機(jī)變量X的UKF濾波步驟如下:

        (1)利用式(16)、式(17)取得一組采樣點(diǎn)及采樣點(diǎn)的權(quán)值

        (18)

        (2)一步預(yù)測2n+1個(gè)Sigma點(diǎn)集的結(jié)果為

        X(i)(k+1|k)=f[k,X(i)(k|k)]i=1,2,…,2n+1

        (19)

        (3)計(jì)算非線性系統(tǒng)狀態(tài)一步預(yù)測的值及協(xié)方差陣,其中權(quán)值w(i)通過式(16)得到。這不同于普通卡爾曼濾波算法,普通卡爾曼濾波算法只需通過上一時(shí)刻的狀態(tài)代入狀態(tài)方程,計(jì)算一次就可以得到狀態(tài)的預(yù)測;而UKF是利用一組Sigma的預(yù)測值,并對它們進(jìn)行加權(quán)求平均值,進(jìn)而得到系統(tǒng)狀態(tài)量的一步預(yù)測

        (20)

        (21)

        (4)根據(jù)式(3)中一步預(yù)測結(jié)果的值,進(jìn)行相同的變換得到新Sigma點(diǎn)集

        (22)

        (5)將上一步驟的新Sigma點(diǎn)集代入式(1)中,得到觀測量

        Z(i)(k+1|k)=h[X(i)(k+1|k)]i=1,2,…,2n+1

        (23)

        (6)通過步驟(5)的sigma點(diǎn)集的觀測值計(jì)算得到觀測后的均值和協(xié)方差

        (24)

        (25)

        (26)

        (7)計(jì)算卡爾曼增益

        (27)

        (8)最后狀態(tài)更新和協(xié)方差更新的結(jié)果為

        (28)

        P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-K(k+1)PzkzkKT(k+1)

        (29)

        由上可得,UKF在處理非線性濾波時(shí)能以2階或2階以上泰勒精度逼近后驗(yàn)均值和協(xié)方差,而EKF達(dá)不到二階以上精度,因此UKF相比EKF具有更高的濾波精度。

        3 容積卡爾曼濾波

        CKF是一種新的用于非線性系統(tǒng)濾波的方法,可以高效地逼近高斯概率密度函數(shù)而成為高精度數(shù)值的卡爾曼濾波器。CKF基于Cubature規(guī)則在笛卡兒坐標(biāo)系下通過高斯加權(quán)的多維函數(shù)積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為單個(gè)多維的幾何體容積計(jì)算,可以得到較高數(shù)值精度的計(jì)算結(jié)果,因此進(jìn)行非線性濾波變換后的精度優(yōu)于EKF、UKF[9]。CKF依靠確定的Cubature點(diǎn)來計(jì)算后驗(yàn)概率密度函數(shù)[10-11],相比EKF有較好的可實(shí)現(xiàn)性,同時(shí)也避免了截?cái)嗾`差。與UKF相比,CKF的Cubature點(diǎn)權(quán)值大小相等且對稱出現(xiàn),因此并不需要像UKF那樣提前設(shè)置參數(shù),在選擇方式上更加簡捷,計(jì)算速度更快。

        (30)

        式中,ei∈Rn表示第i個(gè)元素為1的單位向量。

        (31)

        (32)

        3.1 狀態(tài)更新

        (1)基于狀態(tài)估計(jì)的采樣點(diǎn)的計(jì)算。

        (33)

        (34)

        (2)容積點(diǎn)Xi,k|k-1的預(yù)測。

        Xi,k|k-1=f(ξi,k-1),i=1,2,…,L

        (35)

        (36)

        (4)狀態(tài)預(yù)測誤差Pk|k-1。

        (37)

        3.2 量測更新

        (1)基于狀態(tài)預(yù)測的采樣點(diǎn)的計(jì)算。

        (38)

        (3)新息的協(xié)方差Pzz,k|k-1。

        (39)

        (4)狀態(tài)與量測向量之間的互協(xié)方差矩陣Pxz,k|k-1。

        (40)

        (5)卡爾曼增益矩陣Gk。

        (41)

        (42)

        (7)狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣Pk。

        (43)

        同樣可以看出,CKF也可以2階或2階以上Taylor精度逼近非線性系統(tǒng)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差,由此判斷CKF估計(jì)精度也高于EKF。從式(33)可以看出,與UKF相比,CKF在非線性濾波過程中不需要任何參數(shù),且始終為正的權(quán)值Wi,適合強(qiáng)非線性系統(tǒng)的估計(jì),這就保證了濾波器可靠地運(yùn)行。因此CKF較UKF來看,可以在非線性系統(tǒng)都保持更高的數(shù)值穩(wěn)定性,有效克服了UKF在非線性系統(tǒng)中可能會(huì)濾波發(fā)散的缺點(diǎn)[13]。

        4 仿真對比分析

        在Matlab中進(jìn)行實(shí)驗(yàn),選擇過程狀態(tài)協(xié)方差陣Q=10,測量噪聲協(xié)方差陣R=1,原始狀態(tài)陣X=1,原始估計(jì)方差陣p=1 000,樣本數(shù)目n=100。本模型為非線性模型,其離散方程為

        (44)

        各個(gè)算法的估計(jì)值對比圖、估計(jì)值誤差對比圖和10次仿真結(jié)果估計(jì)值誤差表分別如圖1、圖2和表1所示。

        圖1 3種算法估計(jì)值對比圖

        圖2 3種算法估計(jì)值誤差對比圖

        表1 10次仿真結(jié)果估計(jì)值誤差

        根據(jù)圖1、圖2和表1歸納得出如下結(jié)論。

        (1)EKF具有較快的計(jì)算速度,但它的估計(jì)值偏離真實(shí)值的程度較大,尤其在樣本數(shù)目為50,72時(shí)刻左右偏離的較明顯,估計(jì)值誤差明顯最大。

        (2)UKF較EKF的估計(jì)值離真實(shí)值更接近一些,這是因?yàn)閁KF基于UT變換進(jìn)行確定性采樣,且用一系列指定的樣本來對系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度進(jìn)行逼近,濾波效果優(yōu)于EKF。但在樣本數(shù)目為3,49,74時(shí)刻左右偏離真實(shí)值較明顯,估計(jì)值誤差較大。

        (3)CKF較EKF、UKF的估計(jì)值更加接近真實(shí)值,估計(jì)值誤差為3種算法最小,因此它的估計(jì)精度最高。因?yàn)镃KF在狀態(tài)估計(jì)過程中,不需要任何的參數(shù),權(quán)值為正,從而保證了濾波器可以穩(wěn)定地運(yùn)行。

        5 結(jié)論

        通過EKF、UKF和CKF的對比可以發(fā)現(xiàn),EKF是在普通卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上通過對非線性函數(shù)方程的近似線性化處理進(jìn)而得到一個(gè)線性化的模型來進(jìn)行狀態(tài)估計(jì);而UKF通過一個(gè)高斯分布對非線性方程的概率密度進(jìn)行近似,再用一些指定的Sigma點(diǎn)投影到觀測方程中得到一個(gè)新的高斯分布去近似之前的高斯分布進(jìn)而估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)。在計(jì)算速度方面,EKF較快,但濾波性能最差。UKF雖能很好地解決這個(gè)問題,但假如系統(tǒng)狀態(tài)為非高斯環(huán)境,就極易產(chǎn)生較大的誤差。CKF因采用Cubature規(guī)則無需對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理,且無論狀態(tài)維數(shù)大小和參數(shù)的選擇,都能保證非線性系統(tǒng)的有效濾波估計(jì),對比分析可知CKF的估計(jì)值最接近真實(shí)值,且估計(jì)值誤差最小。

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