周輝 鄭俊 張傳慶 胡大偉 高陽 楊凡杰

摘? ?要：利用應(yīng)力釋放法原理，在收斂-約束解析法基礎(chǔ)上，提出了適合任意斷面隧洞的收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法，通過與收斂-約束解析法對比驗證該方法的有效性，并與常用的數(shù)值方法進(jìn)行對比，最后對收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的計算誤差進(jìn)行分析.研究結(jié)果表明：收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法適合非圓形隧洞，由于通過施加節(jié)點(diǎn)支撐反力實現(xiàn)應(yīng)力釋放，該方法同樣適合應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜的隧洞;以滇中引水工程為例，將收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法與收斂-約束解析法的計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的有效性;收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法計算結(jié)果存在一定的誤差，其整體相對誤差小于10%.收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的適用性更加廣泛，可為隧洞工程的初期支護(hù)優(yōu)化設(shè)計及安全性評價提供參考，具有一定的工程應(yīng)用價值.

關(guān)鍵詞：收斂-約束法;隧洞;應(yīng)力釋放法;圍巖特征曲線;不平衡力;應(yīng)力分布

中圖分類號：TV6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： By using the principle of stress release method， a numerical solution method of convergence-confinement characteristic curve was proposed for tunnels with various cross-sections based on the convergence-confinement analysis method. The validity of the proposed method was verified by comparison with the convergence-confinement analytical method， and compared with the usual numerical methods. Finally， the calculation error of the numerical solution method for convergence-confinement characteristic curve was analyzed. The results show that the numerical solution method of convergence-confinement characteristic curve is suitable for non-circular tunnel， and due to the stress release achieved by applying support reaction to nodes， the method is also suitable for the tunnel with complicated stress condition. Taking the Dianzhong diversion project as an example，the numerical solution method of convergence-confinement curve was compared with the calculation results of the convergence-confinement analytical method， and the validity of the numerical solution method of convergence-confinement curve was verified. Despite some error in the result of the numerical solution method of convergence-confinement curve， the overall relative error is less than 10%. The application of the numerical solution method for convergence-confinement characteristic curve is more extensive，which can provide reference for the optimization design of primary support and safety evaluation of tunnel engineering， and the numerical solution method has a certain value of engineering application.

Key words： convergence-confinement method;tunnel;stress release method;ground reaction curve;unbalanced force;stress distribution

近年來，大型引水工程在我國各缺水地區(qū)大量建設(shè)，發(fā)展迅速，如南水北調(diào)工程、引灤入津工程、引黃入晉工程、引大入秦工程、引黃濟(jì)青工程、牛欄江-滇池補(bǔ)水工程和滇中引水工程等.引水工程線路長，沿線地質(zhì)條件復(fù)雜多變，其中，深埋引水/輸水隧洞常常是這類工程的關(guān)鍵控制性工程，其在安全施工和健康運(yùn)行的保障中所面臨的圍巖穩(wěn)定性控制難題日益突出，如何合理評價圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)相互作用關(guān)系以及進(jìn)行隧洞支護(hù)優(yōu)化設(shè)計是工程界一直關(guān)心的問題[1].收斂-約束法是工程中評價圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)相互作用關(guān)系以及進(jìn)行隧洞支護(hù)優(yōu)化設(shè)計的常用方法之一，其思想由Fenner提出.目前已成為國際通用的隧洞支護(hù)設(shè)計方法.Oreste等[2]提出了一種用收斂-約束法進(jìn)行圓形斷面隧洞錨桿支護(hù)設(shè)計的新方法.Torres等[3]基于Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則并利用收斂-約束法進(jìn)行隧道支護(hù)設(shè)計.Cui等[4]利用虛擬支護(hù)力并結(jié)合收斂-約束法進(jìn)行圓形隧洞支護(hù)設(shè)計.張常光等[5-7]探討了收斂-約束法中的空間效應(yīng)方法以及圍巖塑性區(qū)變形特性對隧道收斂約束法的影響規(guī)律.蘇永華等[8]基于收斂-約束法原理建立了地下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性定量評價方法.Vlachopoulos等[9]利用改進(jìn)的圍巖縱向特性曲線進(jìn)行隧道收斂約束法分析.以上都是對靜水應(yīng)力作用下圓形隧洞所進(jìn)行的收斂-約束法研究，而實際工程中隧洞的斷面形式多樣，圓形斷面只是一種較為常見的斷面形式，且實際地應(yīng)力分布復(fù)雜多變，對于非圓形斷面或非靜水應(yīng)力狀態(tài)，收斂-約束解析法并不適用.因此，如何進(jìn)行復(fù)雜斷面隧洞的支護(hù)評價更加具有工程實際意義.針對收斂-約束法在非圓形隧洞中的應(yīng)用，已有國內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行探索，對于非圓形隧洞主要通過數(shù)值方法進(jìn)行解決，目前常用的數(shù)值方法有兩種.其中一種是利用數(shù)值方法得出非圓形隧洞斷面上不同點(diǎn)的圍巖特征曲線，然后利用收斂-約束法對隧洞不同位置進(jìn)行單獨(dú)分析.Nicieza等[10]在圓形斷面徑向位移的基礎(chǔ)上增加斷面形狀函數(shù)，并利用有限差分法對斷面形狀函數(shù)進(jìn)行擬合.孫闖等[11]、扈世民[12]和陳峰賓等[13]利用收斂-約束法分析隧洞斷面不同位置的圍巖穩(wěn)定性和支護(hù)安全性.這些都只是對圍巖一些特征點(diǎn)進(jìn)行單獨(dú)分析，并且采用同一支護(hù)特征曲線，并未考慮圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)各點(diǎn)之間的相互作用，由于只分析了局部特征點(diǎn)，無法對整體應(yīng)力、變形以及穩(wěn)定性進(jìn)行分析評價.另外一種是利用等效方法，將非圓形斷面等效成圓形斷面，然后利用數(shù)值方法分析等效后的圓形隧洞.蘇永華等[14-15]和張盼鳳等[16]提出了隧道非規(guī)則斷面等價圓算法，利用收斂-約束法構(gòu)建非圓形隧洞近似圍巖特征曲線，并分析研究不同等價方法的適用性.這些都是將非圓形隧洞等效成圓形隧洞進(jìn)行分析，而未考慮非圓形斷面形式對圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)變形以及應(yīng)力狀態(tài)的影響.為此，考慮到非圓形斷面上各點(diǎn)圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力狀態(tài)不同，在隧洞開挖邊界上每個節(jié)點(diǎn)分別施加不同的虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力，并利用應(yīng)力釋放法進(jìn)行逐級應(yīng)力釋放，從而建立隧洞斷面面積損失比或隧洞邊界法向位移與應(yīng)力釋放率的關(guān)系曲線，即圍巖特征曲線.通過數(shù)值方法求解非圓形隧洞未支護(hù)和已支護(hù)情況下的圍巖特征曲線，進(jìn)而由兩種情況下圍巖特征曲線得出支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載以及變形，從支護(hù)結(jié)構(gòu)施作到平衡整個過程中均考慮了圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)的相互作用，這種方法在收斂-約束解析法的基礎(chǔ)上結(jié)合應(yīng)力釋放法，并通過數(shù)值方法實現(xiàn)非圓形隧洞收斂-約束特征曲線的求解，以下稱為收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法.

1? ?收斂-約束法

1.1? ?收斂-約束法基本原理

隧洞開挖和支護(hù)示意圖如圖1所示.隧洞為圓形斷面，初始應(yīng)力為靜水應(yīng)力場σ0 .在t0時刻，A-A′斷面離掌子面的距離為L，此時施作初期支護(hù)，隧洞徑向變形為u0r，支護(hù)結(jié)構(gòu)不受力.在t時刻，A-A′斷面離掌子面的距離為Lt，隨著A-A′斷面遠(yuǎn)離掌子面，掌子面對A-A′斷面的約束作用不斷減小，隧洞的徑向變形增加，支護(hù)結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性變形并產(chǎn)生支護(hù)應(yīng)力pts.在tD時刻，掌子面離A-A′斷面距離較遠(yuǎn)，掌子面對A-A′斷面無約束作用，此時的徑向變形為uDr，支護(hù)應(yīng)力為pDs.

A-A′斷面圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)受力如圖2所示，圍巖水平和垂直應(yīng)力為σ0 .隧洞開挖后，由于掌子面的約束作用，產(chǎn)生約束力pi，此時隧洞徑向位移為ur .隨著掌子面遠(yuǎn)離A-A′斷面，約束力pi不斷減小，當(dāng)約束力減小到臨界值pcri時，圍巖進(jìn)入塑性區(qū)，隨著pi繼續(xù)減小，圍巖出現(xiàn)半徑為Rp的塑性區(qū)，支護(hù)結(jié)構(gòu)施作時，圍巖徑向位移為u0r，隨著掌子面遠(yuǎn)離A-A′斷面，支護(hù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的徑向變形為us，同時產(chǎn)生支護(hù)應(yīng)力為ps.

收斂-約束法基本原理如圖3所示，圖中3條特征曲線分別為隧洞縱向變形曲線（LDP）、圍巖特征曲線（GRC）和支護(hù)特征曲線（SCC）.圖3左上圖中縱向變形曲線（LDP）表示未支護(hù)隧洞洞壁圍巖徑向位移沿洞軸線的變化，坐標(biāo)軸橫坐標(biāo)代表斷面離掌子面的距離，坐標(biāo)軸縱坐標(biāo)代表相應(yīng)斷面處洞壁徑向位移ur.圖3右下圖中圍巖特征曲線（GRC）表示掌子面對斷面的約束力pi與洞壁徑向位移之間的關(guān)系，可以通過圓形隧洞的平面應(yīng)變彈塑性解獲得.

1.2? ?圍巖和支護(hù)特征曲線解析解

1.2.1? ?圍巖特征曲線的理想彈塑性解對于深埋圓形隧洞，假定圍巖側(cè)壓力系數(shù)為1（靜水應(yīng)力狀態(tài)），并滿足均勻、連續(xù)、各向同性假定，可按無限大孔洞的求解，則其彈性收斂曲線方程為：

采用Morh-Coulomb準(zhǔn)則，圍巖彈塑性特征曲線方程為：

式中：Rp為塑性區(qū)半徑，可以由式（3）計算.

以上是修正的Fenner公式，式中：ur為洞壁徑向位移;R為洞室半徑;σ0為圍巖初始地應(yīng)力;pi為約束力;E為圍巖的彈性模量;c為圍巖的黏聚力;v為圍巖的泊松比;φ為圍巖的內(nèi)摩擦角.

1.2.2? ?支護(hù)特征曲線的確定

假定支護(hù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系符合理想彈塑性模型，則支護(hù)特征曲線可由式（4）得到.

式中：K為支護(hù)結(jié)構(gòu)剛度，其值為支護(hù)特征曲線的斜率;us為支護(hù)結(jié)構(gòu)的徑向位移.

對于由幾種支護(hù)形式構(gòu)成的組合式支護(hù)：

當(dāng)組合式支護(hù)中的幾種支護(hù)形式同時設(shè)置（uin，j = uin，k）時，

當(dāng)組合式支護(hù)中各支護(hù)形式分別在不同的時間設(shè)置（uin，j ≠ uin，k，j ≠ k）時，

式中：Ktot為組合式支護(hù)體系的剛度;Kj為組合式支護(hù)中各單一支護(hù)的有效剛度;uin，j為組合式支護(hù)中單一支護(hù)設(shè)置時已發(fā)生的洞壁位移;u為組合支護(hù)結(jié)構(gòu)的變形;Kj為組合式支護(hù)中各單一支護(hù)的剛度;uel，j為組合式支護(hù)中各單一支護(hù)達(dá)到彈性極限時的位移;Pmax，tot為組合式支護(hù)結(jié)構(gòu)最大承載力;Pmax，j為組合式支護(hù)中各單一支護(hù)最大承載力;umax，tot為組合式支護(hù)結(jié)構(gòu)最大允許變形值;umax，j為組合式支護(hù)中各單一支護(hù)最大允許位移值.雖然收斂約束原理能較好地解釋圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)之間的相互作用，但收斂-約束特征曲線的解析方法在未平衡時圍巖和支護(hù)之間是相互獨(dú)立的，且該方法存在以下局限性：1）隧洞斷面為圓形;2）地層為均勻、連續(xù)、各向同性介質(zhì)，初始應(yīng)力場為靜水壓力狀態(tài);3）隧洞洞壁各點(diǎn)的徑向位移均相同;4）難以考慮圍巖自重作用的影響.對于收斂-約束法分析時存在的局限性，通過數(shù)值方法能有效地加以解決，國內(nèi)外專家學(xué)者利用數(shù)值方法對上述局限性進(jìn)行了一定的研究，本文在這些研究的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值方法并結(jié)合應(yīng)力釋放法原理分析隧洞圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)的相互作用，并在整個過程中隧洞圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)是相互接觸的，兩者之間相互作用和協(xié)調(diào)變形.根據(jù)收斂-約束法原理，對常用的兩種數(shù)值方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，提出了收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法.

2? ?收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法

2.1 應(yīng)力釋放法原理及其實現(xiàn)

隧洞開挖效應(yīng)的數(shù)值實現(xiàn)方法通過兩種方式實現(xiàn)，分別為：應(yīng)力釋放法和位移釋放法.隨著隧洞開挖以及掌子面推進(jìn)，圍巖應(yīng)力場將發(fā)生重分布.隧洞開挖引起的應(yīng)力釋放主要是由于開挖的時間和空間效應(yīng).當(dāng)掌子面距離某斷面一定距離時，該斷面應(yīng)力開始發(fā)生重分布，此時未開挖圍巖在該斷面擬開挖邊界上產(chǎn)生的約束應(yīng)力為σd，大小等于初始應(yīng)力σ0 .隨著掌子面不斷推進(jìn) σd不斷減小，當(dāng)掌子面通過該斷面且有一定距離后，σd減小到σ0.則應(yīng)力釋放率為初始應(yīng)力和擬開挖圍巖對該斷面開挖邊界上的約束應(yīng)力之差與初始應(yīng)力的比值，即

隧洞開挖時應(yīng)力釋放宏觀表現(xiàn)為圍巖的位移釋放，兩者之間有十分緊密的聯(lián)系，在掌子面前方一定距離處斷面擬開挖邊界開始發(fā)生變形，掌子面通過該斷面一定距離后，洞周位移收斂，無支護(hù)開挖時洞壁所能達(dá)到的最大徑向位移值為umax，隧洞開挖時某一時刻斷面洞壁的徑向位移值為u0，則位移釋放率為某一時刻洞壁的徑向位移與最終收斂位移值的比值[17]，即

在模擬隧洞開挖效應(yīng)時，很難直接控制隧洞洞周的位移以實現(xiàn)位移釋放的目的，分析洞壁變形時，需要在洞壁施加虛擬的支撐反力pi，并通過逐級釋放支撐反力來控制洞壁位移值，也即通過控制應(yīng)力釋放率間接控制位移釋放率，數(shù)值分析中通過控制應(yīng)力釋放率模擬隧洞開挖效應(yīng)也更易于實現(xiàn).對于初始地應(yīng)力為靜水應(yīng)力場的圓形斷面隧洞，應(yīng)力釋放法模擬隧洞開挖效應(yīng)的過程如圖4所示，隨著掌子面推進(jìn)，在斷面上施加虛擬支撐反力pi，pi值與應(yīng)力釋放率λ相關(guān)，隨著掌子面推進(jìn)，應(yīng)力釋放率 由0逐步增加到1.

有限差分原理中，應(yīng)力分量為模型單元的計算參數(shù)，節(jié)點(diǎn)處僅有不平衡力向量，且在平衡狀態(tài)下節(jié)點(diǎn)處的不平衡力近似為0.應(yīng)力釋放法的核心思想就是求得開挖前開挖邊界處開挖體對圍巖的支撐力（開挖掉相應(yīng)單元后，支撐力隨即消失），獲得這一支撐力，然后控制其釋放規(guī)律，達(dá)到模擬隧洞開挖的空間和時間效應(yīng).FLAC3D中開挖相應(yīng)單元后，計算1步，此時得出的邊界節(jié)點(diǎn)處的不平衡力的反力即為最大虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力.開挖前的應(yīng)力場已經(jīng)平衡，此時的節(jié)點(diǎn)速度和不平衡力均為0.開挖后，在第1步計算中應(yīng)變率、應(yīng)變增量及應(yīng)力增量均為0，而此時的不平衡力為[18]

式中：下標(biāo)i為向量分量標(biāo)號;上標(biāo)〈l〉為全局節(jié)點(diǎn)號;P 〈l〉i為施加荷載和集中力在節(jié)點(diǎn)〈l〉處的貢獻(xiàn);[[pi]]l表示擁有節(jié)點(diǎn)的所有單元上某變量對節(jié)點(diǎn)〈l〉的貢獻(xiàn)之和.

對于初始地應(yīng)力為非靜水應(yīng)力或斷面為非圓形的隧洞，應(yīng)力釋放法模擬隧洞開挖效應(yīng)的過程如圖5所示.開挖體被開挖后，計算第1步，可以獲得開挖邊界上節(jié)點(diǎn)的不平衡力分量，開挖邊界上每個節(jié)點(diǎn)的不平衡力合力為F ui.隨著隧洞掌子面推進(jìn)，在斷面開挖邊界節(jié)點(diǎn)上施加虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力F si.隨著掌子面推進(jìn)，應(yīng)力釋放率λ由0逐步增加到1，且假設(shè)在同一時刻每個節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力釋放率λ相同，F(xiàn) si隨著應(yīng)力釋放率λ的變化而變化.

2.2? ?收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法實現(xiàn)

收斂-約束解析法分析時圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)之間相互獨(dú)立，僅僅通過圍巖和支護(hù)特征曲線的交點(diǎn)確定平衡時兩者之間的相互關(guān)系，并且只適合于靜水應(yīng)力狀態(tài)的圓形隧洞，不考慮重力作用，對于應(yīng)力狀態(tài)和斷面形狀復(fù)雜的隧洞并不適用.而收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法在整個過程中均考慮了圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)的相互作用關(guān)系，支護(hù)特征曲線反映了從支護(hù)施作到平衡的整個過程中支護(hù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)和變形，而收斂-約束解析法未考慮圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)在整個過程中的相互作用，并且收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法適用于應(yīng)力狀態(tài)和斷面形式復(fù)雜的隧洞.

圖6所示為靜水應(yīng)力狀態(tài)馬蹄形斷面法向位移分布圖（法向位移放大10倍），可以看出，開挖邊界上各點(diǎn)的位移并不相同.

如圖6所示隧洞邊界上各點(diǎn)法向位移不相同，為統(tǒng)一描述開挖面的變形情況，引入隧洞斷面面積損失比的概念.隧洞開挖后圍巖會向洞室內(nèi)變形，造成隧洞斷面面積減小，隧洞斷面的面積損失比s為隧洞開挖邊界線與變形后邊界線圍成的面積SL與隧洞斷面面積SA的比值，即

收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法原理如圖7所示，圖中λ為應(yīng)力釋放率.由于支護(hù)結(jié)構(gòu)每個部位的變形不相同，承擔(dān)的荷載為非均布荷載，支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載采用荷載比α表示，其值表示支護(hù)承擔(dān)的荷載占開挖釋放總荷載的比值.圖7中縱坐標(biāo)為應(yīng)力釋放率λ和支護(hù)承擔(dān)荷載比α，而橫坐標(biāo)可以根據(jù)實際情況選擇斷面面積損失比或隧洞邊界法向位移.圍巖特征曲線表示圍巖應(yīng)力釋放率與斷面面積損失比或隧洞邊界法向位移之間的關(guān)系曲線，曲線OSE為未支護(hù)圍巖特征曲線，在整個模擬過程中，假設(shè)未施加支護(hù)結(jié)構(gòu)，隧洞邊界只受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力作用，曲線OSE′為已支護(hù)圍巖特征曲線，當(dāng)應(yīng)力釋放率在0 ～ λ0區(qū)間時，隧洞邊界只受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力作用，此階段的曲線與未支護(hù)圍巖特征曲線重合，而應(yīng)力釋放率在λ0 ～ 1區(qū)間時，隧洞受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力和支護(hù)結(jié)構(gòu)的支撐反力作用，點(diǎn)S為支護(hù)作用的點(diǎn)，根據(jù)LDP曲線確定初期支護(hù)施作時的應(yīng)力釋放率為 0，兩條曲線的OS段重合;由于支護(hù)結(jié)構(gòu)受力條件復(fù)雜，支護(hù)特征曲線不能按式（4）直接求解，收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法是利用已支護(hù)和未支護(hù)圍巖特征曲線求解，支護(hù)特征曲線的起點(diǎn)S′是由初期支護(hù)架設(shè)時間決定的，由E′作橫坐標(biāo)垂線與曲線OSE交于點(diǎn)B，該點(diǎn)為支護(hù)特征曲線的終點(diǎn)，此時點(diǎn)B對應(yīng)的縱坐標(biāo)值λb為平衡時圍巖分擔(dān)的荷載，αb為平衡時支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比.支護(hù)荷載計算示意圖如圖8所示，未支護(hù)情況，圍巖應(yīng)力釋放率為λ1，此時對應(yīng)圖7中的點(diǎn)R1，已支護(hù)情況，圍巖應(yīng)力釋放率為λ2，此時對應(yīng)圖7中的點(diǎn)R2.

如圖8所示，未支護(hù)和已支護(hù)情況下，當(dāng)隧洞邊界法向位移或斷面面積損失比相等時，圍巖邊界節(jié)點(diǎn)上總的反力相等.如圖7所示，已支護(hù)圍巖特征曲線在點(diǎn)R2時，圍巖應(yīng)力釋放率為λ2，而未支護(hù)圍巖特征在點(diǎn)R1時，圍巖應(yīng)力釋放率為λ1，已支護(hù)圍巖比未支護(hù)圍巖的應(yīng)力釋放率要高（λ2 - λ1）.如圖8所示，未支護(hù)情況下，隧洞開挖邊界只受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力作用，將虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力拆分為F 2i和F 12i兩部分.已支護(hù)情況下，隧洞邊界上受到支護(hù)結(jié)構(gòu)支撐作用，將支護(hù)結(jié)構(gòu)獨(dú)立出來，此時隧洞開挖邊界受到的反力分為虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力F 2i和支護(hù)反力F SLi兩部分.當(dāng)兩種情況下隧洞開挖邊界每個節(jié)點(diǎn)上的位移相等時，認(rèn)為開挖邊界上每個節(jié)點(diǎn)受到的總反力相等，即F 2i + F 12i = F 2i + F SLi，從而得出F SLi = F 12i，進(jìn)而得出支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比αR = λ2 -λ1.而這兩種情況下隧洞邊界上每個節(jié)點(diǎn)位移并非完全相等，此時很難保證每個節(jié)點(diǎn)上F SLi = F 12i，利用統(tǒng)一的荷載比αR表示每個節(jié)點(diǎn)的荷載比會產(chǎn)生一定誤差，具體分析過程如下.

式中：[[Ai]]l表示擁有節(jié)點(diǎn)i的所有開挖邊界的面積對節(jié)點(diǎn)i的貢獻(xiàn)之和; 為節(jié)點(diǎn)i在開挖面上所占的有效面積;R為節(jié)點(diǎn)i處的等效半徑;uunsi? ? 為未支護(hù)時，節(jié)點(diǎn)i的位移;usi為已支護(hù)時，節(jié)點(diǎn)i的位移;F ui? 為節(jié)點(diǎn)i的最大不平衡節(jié)點(diǎn)力;F si 為節(jié)點(diǎn)i的虛擬支撐反力（施加在隧洞洞周邊界點(diǎn)上）;λi1為未支護(hù)時，節(jié)點(diǎn)i的應(yīng)力釋放率;F SLi? 為支護(hù)結(jié)構(gòu)對節(jié)點(diǎn)i的支撐反力;λi2為已支護(hù)時，節(jié)點(diǎn)i的應(yīng)力釋放率;αi為節(jié)點(diǎn)i處支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比;ξ表示與本構(gòu)模型相關(guān)的參數(shù)，對于彈性變形階段或彈性本構(gòu)模型其值為1.

當(dāng)其中某一個節(jié)點(diǎn)j（j = 1，i）未支護(hù)和已支護(hù)時的位移相等，即uunsj? ? = usj? 時，對于同一個節(jié)點(diǎn)ξ相同，由式（16）～（19）可知αj = λj2 - λj1，由于假設(shè)同一時刻不同節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力釋放率相等，也即節(jié)點(diǎn)j上的支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比α = λ2 - λ1.若其他節(jié)點(diǎn)k（k =1，i且k ≠ j）上的支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比也為α= λ2 - λ1，則此時節(jié)點(diǎn)k未支護(hù)和已支護(hù)時的位移相等，即uunsk? ? = usk? .而實際上節(jié)點(diǎn)k（k = 1，i且k ≠ j）上的支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比αk與節(jié)點(diǎn)j上的支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比α不相等，存在一定的誤差;當(dāng)節(jié)點(diǎn)k上支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比αk取α?xí)r，節(jié)點(diǎn)k的位移為uk = uunsk? ? ，而當(dāng)節(jié)點(diǎn)k上支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比αk為真實值αt時，節(jié)點(diǎn)k的位移為uk = usk? ，則可利用節(jié)點(diǎn)位移相對誤差表示支護(hù)結(jié)構(gòu)承當(dāng)?shù)暮奢d比相對誤差，即

式（20）是利用某一節(jié)點(diǎn)位移相對誤差表示支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比α的相對誤差，而每個節(jié)點(diǎn)的位移相對誤差值不相等，為等效表示所有節(jié)點(diǎn)支護(hù)荷載比α的相對誤差，也可利用隧洞邊界變形后斷面面積損失比相對誤差表示支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比α的相對誤差，即

3? ?工程實例

為驗證收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的有效性，本文以滇中引水工程為背景，利用收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法和收斂-約束解析法進(jìn)行圓形隧洞（與馬蹄形斷面面積相等，半徑為5.38 m）支護(hù)研究，并對數(shù)值解與解析解進(jìn)行對比.通過與解析解對比驗證收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的有效性，利用收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法分析馬蹄形隧洞，并與常用的兩種數(shù)值方法進(jìn)行對比研究，最后分析收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的計算誤差.

3.1? ?工程概況以及模擬過程

滇中引水工程中萬家-羅茨段隧洞埋深一般為200 ～ 400 m，最大埋深640 m.隧洞穿越地層以“滇中紅層”的泥巖、泥質(zhì)粉砂巖、粉砂巖、泥灰?guī)r及砂巖等為主，在線路末段部分出露有下元古界昆陽群泥質(zhì)板巖、粉砂質(zhì)板巖等變質(zhì)巖和震旦系白云巖、白云質(zhì)灰?guī)r等碳酸鹽巖.引水隧洞斷面為馬蹄形，如圖10（a）所示，驗證收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法有效性時采用與馬蹄形隧洞斷面等面積的圓形隧洞，隧洞斷面模型圖如圖9所示.在驗證收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法有效性基礎(chǔ)上，利用該方法分析馬蹄形隧洞，數(shù)值計算模型如圖10（b）所示，并與常用的2種數(shù)值方法進(jìn)行對比.常用的數(shù)值方法分析思路：方法1，在馬蹄形隧洞邊界上施加均布支護(hù)阻力pi，其值由7 MPa逐步減小到0，同時對隧洞開挖邊界上的6個點(diǎn)進(jìn)行位移監(jiān)測，從而得出監(jiān)測點(diǎn)1～6的位移隨支護(hù)阻力變化的曲線，即圍巖特征曲線.方法2，利用面積等效法，將馬蹄形隧洞等效為半徑為5.38 m的圓形隧洞，通過上述方法得出圍巖特征曲線.這兩種方法的支護(hù)特征曲線均按式（4）得到，最后利用數(shù)值法得到的圍巖特征曲線和解析法得到的支護(hù)特征曲線進(jìn)行非圓形隧洞支護(hù)設(shè)計.收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法分析思路：通過開挖瞬間獲得隧洞開挖邊界節(jié)點(diǎn)上的最大不平衡力

逐步增加應(yīng)力釋放率λ的值獲得隧洞邊界位移與不同應(yīng)力釋放率之間的關(guān)系曲線，即圍巖特征曲線.收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法得到兩種圍巖特征曲線，分別為：未支護(hù)圍巖特征曲線和已支護(hù)圍巖特征曲線.在隧洞整個開挖過程中，假設(shè)不施加任何支護(hù)結(jié)構(gòu)，隧洞開挖邊界只受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力作用，通過上述方法獲得隧洞邊界位移與不同應(yīng)力釋放率之間的關(guān)系曲線，即未支護(hù)圍巖特征曲線;在隧洞開挖過程中施加支護(hù)結(jié)構(gòu)，當(dāng)應(yīng)力釋放率為λ0時，支護(hù)結(jié)構(gòu)發(fā)揮作用，此時隧洞開挖邊界受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力和支護(hù)反力作用，通過相同的方法獲得已支護(hù)圍巖特征曲線，根據(jù)已支護(hù)圍巖特征曲線與未支護(hù)圍巖特征曲線之間的差得到支護(hù)特征曲線，如圖7所示.為保證結(jié)果的可比性，初始地應(yīng)力均為靜水應(yīng)力狀態(tài)，值為7.0 MPa.初期支護(hù)模擬時，不考慮鋼筋網(wǎng)的影響，噴射混凝土作為實體單元考慮，不單獨(dú)考慮鋼支撐，而是把它的影響結(jié)合到噴射混凝土中，將鋼支撐和噴射混凝土等效成一個整體，并采用實體單元模擬，系統(tǒng)錨桿采用FLAC3D中的錨索結(jié)構(gòu)單元.掛網(wǎng)噴混凝土、錨桿以及鋼支撐等工序在施工過程中存在一定的先后順序，在實際中發(fā)揮作用的時間先后也不同，本文未研究不同支護(hù)工序發(fā)揮作用的時機(jī)對隧洞支護(hù)設(shè)計的影響，在進(jìn)行分析時，假設(shè)支護(hù)體系中各工序同時發(fā)揮作用.圍巖采用摩爾-庫侖本構(gòu)模型進(jìn)行分析，噴射混凝土以及鋼支撐與噴射混凝土的等效體采用彈性本構(gòu)模型進(jìn)行分析.

3.2? ?圍巖與支護(hù)參數(shù)

不同圍巖級別對應(yīng)的巖體力學(xué)參數(shù)建議取值如表1所示，不同圍巖級別對應(yīng)的初期支護(hù)類型如表2所示，將鋼支撐和噴射混凝土等效成一個整體，并采用等效參數(shù)進(jìn)行模擬，支護(hù)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示.

3.3? ?收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法驗證

收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法與解析法對比結(jié)果如圖11所示，未支護(hù)圍巖特征曲線（數(shù)值法）與圍巖特征曲線（解析法）幾乎重合，在彈性階段，這兩條曲線完全重合.隨著支護(hù)阻力不斷減小和應(yīng)力釋放率不斷增加，兩條曲線逐漸分開，數(shù)值法與解析法得出的支護(hù)特征曲線幾乎重合或平行.

對收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法與解析法計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，并分析數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果的相對誤差，分別如表4和表5所示.Ⅲ級圍巖的圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)最大位移相對誤差最小，Ⅴ級圍巖的圍巖最大位移相對誤差最大，為6.21%，Ⅳ級圍巖的支護(hù)結(jié)構(gòu)最大位移相對誤差最大，為9.87%.Ⅲ～Ⅴ級圍巖的支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)荷載相對誤差均較小，其中Ⅲ級圍巖最大，為6.14%，Ⅴ級圍巖最小，為1.16%.收斂-約束數(shù)值方法與解析法結(jié)果的相對誤差較小，驗證了收斂-約束數(shù)值方法的有效性.

3.4? ?計算結(jié)果對比分析

利用常用的數(shù)值方法和收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法進(jìn)行馬蹄形隧洞（圖10（a））支護(hù)設(shè)計，對比分析結(jié)果如圖12～圖14所示，圖中標(biāo)明了馬蹄形隧洞開挖邊界上的監(jiān)測點(diǎn)位置，斷面等效法和收斂-約束數(shù)值法均取拱頂為研究對象.收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法中未支護(hù)圍巖特征曲線、已支護(hù)圍巖特征曲線和支護(hù)特征曲線均通過數(shù)值方法獲得，而常用的數(shù)值方法中，圍巖特征曲線通過數(shù)值方法獲得，支護(hù)特征曲線通過解析法獲得.收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法是通過在隧洞開挖邊界節(jié)點(diǎn)上施加虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力，常用的數(shù)值方法是通過在隧洞開挖邊界上施加均布荷載，在圍巖應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜情況下，常用的數(shù)值方法很難模擬，而收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法是在邊界節(jié)點(diǎn)上施加虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力，每個節(jié)點(diǎn)上力的大小和方向相互獨(dú)立，對于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)也適用.

Ⅲ級圍巖對比結(jié)果如圖12所示，根據(jù)收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為4.14 mm，支護(hù)承擔(dān)的荷載比為12.06%，等效荷載值約為7 MPa×12.06%=0.84 MPa;根據(jù)斷面等效法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為4.88 mm，等效支護(hù)荷載為0.68 MPa;而馬蹄形隧洞6個監(jiān)測點(diǎn)的圍巖特征曲線均不相同，根據(jù)不同監(jiān)測點(diǎn)得到的支護(hù)結(jié)構(gòu)位移和變形不一樣，其中支護(hù)結(jié)構(gòu)最大位移為5.85 mm，最大支護(hù)荷載為0.81 MPa，支護(hù)結(jié)構(gòu)最小位移為3.62 mm，最小支護(hù)荷載為0.50 MPa.

Ⅳ級圍巖對比結(jié)果如圖13所示，根據(jù)收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為5.61 mm，支護(hù)承擔(dān)的荷載比為19.82%，等效荷載值約為7 MPa × 19.82% = 1.39 MPa;根據(jù)斷面等效法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為7.44 mm，等效支護(hù)荷載為1.35 MPa;而馬蹄形隧洞6個監(jiān)測點(diǎn)的圍巖特征曲線均不相同，根據(jù)不同監(jiān)測點(diǎn)得到的支護(hù)結(jié)構(gòu)位移和變形不一樣，其中支護(hù)結(jié)構(gòu)最大位移為8.37 mm，最大支護(hù)荷載為1.48 MPa，最大荷載已經(jīng)接近支護(hù)結(jié)構(gòu)最大能承擔(dān)的荷載值，支護(hù)結(jié)構(gòu)最小位移為5.74 mm，最小支護(hù)荷載為1.04 MPa.

Ⅴ級圍巖對比結(jié)果如圖14所示，根據(jù)收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為0.90 mm，支護(hù)承擔(dān)的荷載比為7.41%，等效荷載值約為7 MPa × 7.41% = 0.52 MPa;根據(jù)斷面等效法結(jié)果，支護(hù)結(jié)構(gòu)位移為2.17 mm，等效支護(hù)荷載為0.59 MPa;而馬蹄形隧洞6個監(jiān)測點(diǎn)的圍巖特征曲線均不相同，根據(jù)不同監(jiān)測點(diǎn)得到的支護(hù)結(jié)構(gòu)位移和變形不一樣，其中支護(hù)結(jié)構(gòu)最大位移為3.37 mm，最大支護(hù)荷載為0.75 MPa，最大荷載已經(jīng)接近支護(hù)結(jié)構(gòu)最大能承擔(dān)的荷載值，支護(hù)結(jié)構(gòu)最小位移為2.37 mm，最小支護(hù)荷載為0.47 MPa.

常用數(shù)值方法中，直接采用馬蹄形隧洞進(jìn)行模擬，由于隧洞開挖邊界上每個點(diǎn)的位移和支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載不同，很難通過某一點(diǎn)的支護(hù)狀態(tài)反映馬蹄形隧洞支護(hù)情況，而斷面等效法，由于隧洞斷面形態(tài)發(fā)生改變，支護(hù)結(jié)構(gòu)的形狀和受到的應(yīng)力狀態(tài)與馬蹄形隧洞不一致.常用數(shù)值方法中，隧洞開挖邊界上施加均布荷載，當(dāng)圍巖應(yīng)力狀態(tài)較復(fù)雜時，施加均布荷載不合適，模擬過程中，圍巖特征曲線和支護(hù)特征曲線是分開得到的，而支護(hù)結(jié)構(gòu)施作后，圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)相互作用，最后處于平衡狀態(tài)，該方法只能考慮處于平衡狀態(tài)時，支護(hù)結(jié)構(gòu)的變形和承擔(dān)的荷載.而收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法模擬過程中，虛擬支撐反力是施加在隧洞開挖邊界節(jié)點(diǎn)上，每個節(jié)點(diǎn)上支撐反力的大小和方向可以不同，當(dāng)圍巖應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜時，可以通過在邊界節(jié)點(diǎn)上施加不同的虛擬支撐反力，該方法在模擬時，支護(hù)結(jié)構(gòu)施作后，圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)接觸，兩者相互作用，協(xié)調(diào)變形，支護(hù)結(jié)構(gòu)各點(diǎn)之間也會相互影響，通過該方法可以獲得支護(hù)結(jié)構(gòu)施作到平衡整個過程中圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)和變形.

3.5? ?誤差分析

在實際工程中，隧洞開挖后一定要采取適當(dāng)?shù)闹ёo(hù)措施，而本文中未支護(hù)情況是假設(shè)隧洞開挖過程中未施加支護(hù)作用.未支護(hù)情況下，隧洞邊界只受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力作用，支護(hù)情況下，當(dāng)支護(hù)結(jié)構(gòu)發(fā)揮作用后，隧洞邊界受到虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力和支護(hù)反力作用.當(dāng)這兩種情況下隧洞變形后邊界完全重合，也即隧洞邊界受到的總的反力相等，從而根據(jù)兩種情況下虛擬節(jié)點(diǎn)支撐反力的差值得到支護(hù)反力.而收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法進(jìn)行非圓形隧洞支護(hù)計算時，由于假設(shè)支護(hù)結(jié)構(gòu)與圍巖間的每個節(jié)點(diǎn)承擔(dān)的荷載比相同，結(jié)果會產(chǎn)生一定的誤差，相對誤差可根據(jù)公式（21）和（22）計算.根據(jù)3.4節(jié)內(nèi)容可知，Ⅲ級圍巖收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法與常用的數(shù)值方法得到的支護(hù)荷載相差較大，本文以Ⅲ級圍巖為例分析收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法計算誤差.拱頂位移相等時，Ⅲ級圍巖已支護(hù)和未支護(hù)情況下隧洞變形后邊界線如圖15所示（位移值放大100倍），由圖可知兩種情況下邊界變形曲線基本重合，整體相差較小，拱底處位移相差較大.根據(jù)公式（21）和（22）計算收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的相對誤差如表6所示.隨著圍巖應(yīng)力不斷釋放，支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比由0逐步增加到12.06%，斷面面積損失和最大位移相對誤差也隨之增加，最大位移相對誤差為11.03%，則其他邊界點(diǎn)的位移相對誤差均小于11.03%，面積相對誤差僅為5.87%，其可代表收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法結(jié)果的整體相對誤差水平.

4? ?結(jié)? ?論

本文提出了考慮非圓形隧洞的收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法，并以滇中引水工程萬家-羅茨段隧洞為例，通過與收斂-約束解析法對比驗證了該方法的有效性，并與常用的數(shù)值方法進(jìn)行對比分析，最后對收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法進(jìn)行誤差分析.主要結(jié)論如下：

1）利用有限差分方法計算開挖瞬時隧洞邊界節(jié)點(diǎn)上的不平衡力，然后通過對開挖邊界節(jié)點(diǎn)施加反向不平衡力并逐步減小節(jié)點(diǎn)反力的大小模擬非靜水壓力狀態(tài)的非圓形隧洞開挖時的應(yīng)力釋放過程.該方法能更好地模擬圍巖和支護(hù)結(jié)構(gòu)的相互作用關(guān)系以及不同點(diǎn)間的相互約束作用.

2）基于收斂約束法原理，并在收斂約束解析法基礎(chǔ)上提出了收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法.該方法適合非圓形隧洞，對于初始應(yīng)力為非靜水壓力狀態(tài)同樣適合，而收斂-約束解析法僅適合靜水壓力狀態(tài)的圓形隧洞，收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法適用范圍更廣.

3）以滇中引水工程中萬家-羅茨段隧洞為例，通過與收斂-約束解析法進(jìn)行對比，驗證了收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的有效性，并與常用的數(shù)值方法進(jìn)行對比，在進(jìn)行非圓形隧洞支護(hù)設(shè)計時，收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法更合適.

4）由于收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法假設(shè)支護(hù)結(jié)構(gòu)與圍巖間的每個節(jié)點(diǎn)承擔(dān)的荷載比相同，結(jié)果會產(chǎn)生一定的誤差，以Ⅲ級圍巖為例分析收斂-約束特征曲線數(shù)值求解方法的計算相對誤差.隨著圍巖應(yīng)力不斷釋放，支護(hù)結(jié)構(gòu)承擔(dān)的荷載比隨之增加，面積損失和位移相對誤差也變大，平衡后最大位移相對誤差為11.03%，而面積損失相對誤差僅為5.87%.

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收稿日期：2018-05-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51427803，51479193，51404240），National Natural Science Foundation of China（51427803，

51479193，51404240）;國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）項目（2014CB046902），National Program on Key Basic Research Project of China（973 Program）（2014CB046902）

作者簡介：周輝（1972—），男，山東金鄉(xiāng)人，中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所研究員，博士

通訊聯(lián)系人，E-mail：154308390@qq.com