李淑穎 ，霍 睿，劉 玥

(1.山東大學(xué)機(jī)械基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，山東 濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061)

0 引言

齒輪箱系統(tǒng)振動(dòng)噪聲問(wèn)題的研究,在20世紀(jì)50年代前,以嚙合沖擊作為描述和解釋齒輪動(dòng)態(tài)激勵(lì)及動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基礎(chǔ),最早是將齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)。姚文席提出了單級(jí)齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)方法，建立了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)彎曲-扭轉(zhuǎn)模型[1]；王建軍研究了齒輪系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子耦合振動(dòng)[2]；S.Li，A.Kahraman 建立了考慮動(dòng)態(tài)摩擦力的直齒輪傳動(dòng)模型，把軸承簡(jiǎn)化為阻尼和彈簧，同時(shí)采用彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑的理論完成了動(dòng)態(tài)摩擦力的計(jì)算[3-4]。隨著振動(dòng)相關(guān)理論趨于成熟，學(xué)者們不再簡(jiǎn)單地把齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化處理，開(kāi)始將其視為具有彈性的機(jī)械系統(tǒng)，以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)，分析在各種因素影響下齒輪箱系統(tǒng)的振動(dòng)特性[5-7]。

本文將齒輪箱系統(tǒng)視為具有彈性的機(jī)械系統(tǒng)，考慮外部激勵(lì)和內(nèi)部激勵(lì)等多種影響因素，建立了齒輪箱板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的具有多自由度的非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了數(shù)值求解，研究了外部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞特性的影響。

1 齒輪箱系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型

在齒輪箱系統(tǒng)中，振動(dòng)噪聲的能量傳播途徑主要有結(jié)構(gòu)聲傳播和空氣聲傳播。在各種激勵(lì)的作用下，齒輪回轉(zhuǎn)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)噪聲由齒輪嚙合點(diǎn)經(jīng)過(guò)齒輪、軸、軸承和箱體最后傳播到基座，振動(dòng)傳遞的過(guò)程中會(huì)伴有噪聲。空氣噪聲的傳播途徑有兩個(gè)，一個(gè)是由齒輪嚙合處傳遞到空氣，另一個(gè)是由齒輪箱的箱體傳播到外界空氣[8-11]。對(duì)于齒輪箱而言，齒輪的嚙合振動(dòng)和其連帶振動(dòng)是整個(gè)系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的主要來(lái)源。因此，本文只考慮固體振動(dòng)的傳播路徑。齒輪箱系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞路徑如圖1所示。

圖1 齒輪箱系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞路徑

在此基礎(chǔ)上，建立了板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。將整個(gè)系統(tǒng)分為嚙合齒輪、傳動(dòng)軸、軸承、齒輪箱體幾個(gè)部分，分別建立各子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。根據(jù)各子結(jié)構(gòu)之間的約束關(guān)系和作用力，利用子結(jié)構(gòu)綜合法，建立了齒輪箱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 嚙合齒輪彎扭耦合振動(dòng)模型

嚙合齒輪彎扭耦合模型可簡(jiǎn)化為由彈簧和質(zhì)量塊組成，其中彈簧忽略質(zhì)量，質(zhì)量塊忽略彈性，所以可采用集中質(zhì)量法建模。 齒輪嚙合傳動(dòng)部分是其關(guān)鍵，嚙合傳動(dòng)特性的影響因素較多，包括齒輪制造和安裝誤差、嚙合沖擊作用、時(shí)變嚙合剛度的影響、齒側(cè)間隙等。本文忽略了嚙合沖擊力的影響，建立如下模型：

J1θ1(t)+r1km(t)δ(t)+r1cg(εd-εs)=T1n(t)

(1)

J2θ2(t)+r2km(t)δ(t)+r2cg(εd-εs)=-T2n(t)

(2)

m1y1(t)+Fy1(t)+km(t)δ(t)+cg(εd-εs)=0

(3)

m2y2(t)+Fy2(t)+km(t)δ(t)+cg(εd-εs)=0

(4)

1.2 傳動(dòng)軸和箱體的振動(dòng)方程

根據(jù)梁的彎曲振動(dòng)理論，主動(dòng)軸在垂直于z1方向的運(yùn)動(dòng)方程如式(5)所示：

(5)

式中：ρ(z1)為單位體積的質(zhì)量；A(z1)為橫截面積；E為彈性模量；J(z1)為軸的慣性矩；δ(z1)為脈沖函數(shù)。l11為主動(dòng)軸左段的長(zhǎng)度；l12為主動(dòng)軸右段的長(zhǎng)度。

假設(shè)傳動(dòng)軸為理想的彈性體，且軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中扔保持為平面作整體運(yùn)動(dòng)。設(shè)主動(dòng)軸單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I(x1)，ρ為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，剪切彈性模量為G，截面的極慣性矩為Jρ(x1)，θ′(z1,t)為z1截面的角位移，則主動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程為：

(6)

同理，可得到從動(dòng)軸的振動(dòng)方程。

齒輪箱箱體的橫向振動(dòng)簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支的矩形板的橫向振動(dòng)，左箱板和主動(dòng)軸軸承之間的彎矩為Mxc11，左箱板和從動(dòng)軸軸承之間的彎矩為Mxc12。在各彎矩的作用下，左箱板的Y方向振動(dòng)方程如式(7)：

(7)

1.3 滾動(dòng)軸承剛度計(jì)算

軸承是齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵組成部件，軸承支承剛度對(duì)齒輪箱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能有重要的影響。其令影響系統(tǒng)振動(dòng)能量的傳遞。根據(jù)赫茲接觸應(yīng)力理論假設(shè)，滾動(dòng)軸承剛度矩陣表示為[K]bm。根據(jù)剛度的定義，各方向的剛度系數(shù)分式為：

(8)

由上述剛度定義矩陣，可計(jì)算出軸承的多維剛度，深溝球軸承多維剛度值如表1所示。根據(jù)軸承的多維剛度和軸承的變形，可計(jì)算作用在軸承內(nèi)圈和外圈的力和力矩。

表1 深溝球軸承多維剛度值

根據(jù)軸承的多維剛度和其變形，可得作用在軸承內(nèi)、外圈的力和力矩。其變形協(xié)調(diào)關(guān)系為：

(9)

(10)

(11)

(12)

在齒輪箱耦合振動(dòng)的模型中，由于僅考慮軸和板彎曲振動(dòng)的耦合，可令syc11=syc12=syc21=syc22=0。由軸承和軸之間的作用力的關(guān)系和變形協(xié)調(diào)關(guān)系，得主動(dòng)軸左右兩端的力和力矩計(jì)算表達(dá)式如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

從動(dòng)軸左右兩端的力和力矩計(jì)算如式如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)嚙合齒輪、傳動(dòng)軸、齒輪箱板的振動(dòng)方程和軸承變形作用力和力矩，聯(lián)立方程組，可得到整個(gè)齒輪箱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

2 齒輪箱系統(tǒng)振動(dòng)能量計(jì)算

振動(dòng)傳播的實(shí)質(zhì)是振動(dòng)能量的傳播，其強(qiáng)度直接取決于振源輸入能量的大小。在振動(dòng)理論中，振動(dòng)能量傳遞功率是指單位時(shí)間內(nèi)外力做功，其反映了結(jié)構(gòu)振動(dòng)中的能量傳遞，給出了振動(dòng)傳輸?shù)慕^對(duì)度量。振動(dòng)能量傳遞功率是指一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)輸入能量的平均值，其描述的是一種時(shí)間平均能量傳遞[11]。對(duì)于具有周期的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，其平均振動(dòng)能量傳遞P和瞬時(shí)能量傳遞具有如式(9)的關(guān)系：

(21)

式中：p(t)為瞬時(shí)能量傳遞；P為平均振動(dòng)能量；T為運(yùn)動(dòng)的周期；r為任意的正整數(shù)。

由式(21)可見(jiàn)，當(dāng)r趨近無(wú)限大時(shí)，振動(dòng)能量傳遞值實(shí)質(zhì)上是瞬時(shí)能量傳遞的數(shù)學(xué)期望。

齒輪嚙合點(diǎn)瞬時(shí)耗散能量是嚙合力與在嚙合線方向上運(yùn)動(dòng)速度的乘積，其計(jì)算表達(dá)式為：

p1(t)=fv={cg[δd(t)-δs(t)]+km(t)δ(t)}[δd(t)-δs(t)]

(22)

式中：cg為嚙合阻尼；km(t)為時(shí)變嚙合剛度；δ(t)為關(guān)于側(cè)隙的非線性函數(shù)；δd(t)為動(dòng)態(tài)傳遞誤差；δs(t)為靜態(tài)傳遞誤差。

主動(dòng)軸a端軸承傳遞到箱板的瞬時(shí)振動(dòng)能量pa1(t)表達(dá)式如式(23)：

pa1(t)=Mxc11θxc11=Mxs11θxc11

(23)

從動(dòng)軸a軸承傳遞到箱板的瞬時(shí)振動(dòng)能量pa2(t)表達(dá)式如式(24)：

pa2(t)=Mxc21θxc21=Mxs21θxc21

(24)

時(shí)間平均振動(dòng)能量傳遞描述了激勵(lì)力對(duì)系統(tǒng)輸入的平均能量水平，振動(dòng)和噪聲的傳播即是能量的傳播，因此時(shí)間平均振動(dòng)能量傳遞可用來(lái)衡量系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲水平。求得以上各瞬時(shí)功率的時(shí)間平均功率，即可得到齒輪系統(tǒng)的能量傳遞。

3 非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解

針對(duì)研究的齒輪箱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，采用龍格-庫(kù)塔法對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)方程求解。為方便使用龍格-庫(kù)塔法，需要先將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)能量傳遞方程離散化處理，表達(dá)為狀態(tài)空間方程的形式。定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量如下：u1=F1,u2=F1,u3=F2,u4=F2,u5=Qy1,u6=Qy1,u7=Qy2,u8=Qy2,u9=φ1,u10=φ1,u11=φ2u12=φ2,u13=P1E(t),u14=Pa1E(t),u15=Pa2E(t)。

其中：F1和F2分別為主動(dòng)軸和從動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)各階正則坐標(biāo)組成的向量；Qy1和Qy2為主動(dòng)軸和從動(dòng)軸橫向振動(dòng)各階正則坐標(biāo)組成的向量；φ1和φ2為左箱板和右箱板橫向振動(dòng)各階正則坐標(biāo)組成的向量；p1E(T)、pa1E(t)、pa2E(t)分別為各瞬時(shí)功率的平均時(shí)間功率。

定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量，根據(jù)系統(tǒng)的振動(dòng)方程和能量傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，采用龍格-庫(kù)塔法并基于MATLAB，對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

4 仿真分析

基于MATLAB對(duì)齒輪箱非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，分析外部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞特性的影響。系統(tǒng)參數(shù)如下。

直齒輪模數(shù)為3，齒數(shù)為60，材料選取45#鋼，彈性模量為19.5×1010Pa，泊松比為0.28，傳動(dòng)軸長(zhǎng)度為0.8 m，慣性矩J為1.26×10-7m4，傳動(dòng)軸的剪切彈性模量為G=7.62×1010Pa，截面扭轉(zhuǎn)的極慣性矩Jρ=2.5×10-7m4，單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)慣量為I=1.946×10-3kg·m， 齒輪箱板材料為1020鋼板，箱板密度ρc=7 870 kg/m3，箱板彈性模量Ec=2.05×1011Pa，箱板泊松比uc=0.28，箱板厚度為15 mm。梁的橫向振動(dòng)阻尼為34 N/(m/s)，板的阻尼為20 N/(m/s)，齒輪的嚙合阻尼30 N/(m/s)。

時(shí)域內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)的耗散能量曲線如圖2所示。主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n1=1 000 r/min，時(shí)域內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)的時(shí)間平均振動(dòng)能量傳遞，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n1=1 000 r/min，受狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)初值的影響嚙合振動(dòng)能量傳遞在t為0時(shí)刻的數(shù)值很大。系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，嚙合開(kāi)始后5 s系統(tǒng)嚙合功率流為10 W，隨時(shí)間推遲嚙合振動(dòng)能量趨于穩(wěn)定值。

時(shí)域內(nèi)左箱板時(shí)間平均振動(dòng)能量傳遞曲線如圖3所示。系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，主動(dòng)軸傳遞到左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量趨近于6×10-3W。

圖2 時(shí)域內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)的耗散能量曲線

圖3 時(shí)域內(nèi)左箱板時(shí)間平均振動(dòng)能量傳遞曲線

圖4描述了外部激勵(lì)T1的角頻率為100 rad/s時(shí)，齒輪嚙合振動(dòng)能量傳遞隨頻率的變化情況。在低頻時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)能量傳遞波動(dòng)較大；在中低頻范時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞值穩(wěn)定在0.046 W。而后嚙合振動(dòng)能量傳遞增大，在420 Hz處達(dá)到峰值，峰值過(guò)后隨著頻率的增大振動(dòng)能量傳遞值迅速減小，最后趨于穩(wěn)定值。

圖4 齒輪嚙合點(diǎn)的耗散能量曲線(角頻率為100 rad/s)

圖5描述了外部激勵(lì)T1的角頻率為100 rad/s時(shí)主動(dòng)軸傳遞到左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量曲線。在低頻段，系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞波動(dòng)較大；在中低頻段和高頻段，系統(tǒng)振動(dòng)能量趨于穩(wěn)定值，但在峰值處系統(tǒng)振動(dòng)表現(xiàn)出復(fù)雜特性。

圖5 左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量曲線(角頻率為100 rad/s)

齒輪嚙合點(diǎn)的耗散能量曲線能量曲線如圖6所示。當(dāng)外部激勵(lì)T1的角頻率增大到300 rad/s時(shí)，齒輪嚙合振動(dòng)能量傳遞曲線形狀與外部激勵(lì)角頻率為100 rad/s時(shí)相似，但在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞值均減小。

圖6 齒輪嚙合點(diǎn)的耗散能量曲線(角頻率為300 rad/s)

左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量曲線如圖7所示。當(dāng)外部激勵(lì)T1的角頻率增大到300 rad/s時(shí)，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，主動(dòng)軸傳遞到左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量值均減小，但振動(dòng)能量峰值仍出現(xiàn)在420 Hz左右。

圖7 左箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量曲線(角頻率為300 rad/s)

由于仿真的齒輪箱非線性系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性，主動(dòng)軸傳遞到右箱板的時(shí)間平均振動(dòng)能量與傳遞到左箱板相同，在此不再贅述。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的齒輪箱非線性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用振動(dòng)功率流理論推導(dǎo)了系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞計(jì)算公式；將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型離散化，建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，提出了非線性耦合系統(tǒng)的數(shù)值求解方法?；贛ATLAB，對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行了仿真分析，研究了外部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)能量傳遞特性的影響。在時(shí)域范圍內(nèi)，齒輪嚙合振動(dòng)能量耗散和主從動(dòng)軸傳遞到箱板的振動(dòng)能量隨時(shí)間推移趨于一穩(wěn)定值；在頻域范圍內(nèi)，當(dāng)外部激勵(lì)為正弦激勵(lì)時(shí)，低頻段振動(dòng)波動(dòng)較大，中頻段出現(xiàn)峰值，中高頻系統(tǒng)振動(dòng)趨于穩(wěn)定。隨著正弦激勵(lì)角頻率的增大，系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞在整個(gè)頻域范圍內(nèi)減小。該研究為齒輪箱的振動(dòng)噪聲主動(dòng)控制提供理論依據(jù)，具有一定的理論和實(shí)踐價(jià)值。