陳 明，朱學帥

(1.湖北中醫(yī)藥高等專科學校公共基礎部，湖北 荊州 434020；2.中國礦業(yè)大學(北京)化學與環(huán)境工程學院，北京 100083)

0 引言

開關流系統(tǒng)(switched flow system,SFS)[1]是一種典型的混合系統(tǒng)，分為開關到達系統(tǒng)(switched arrival system,SAS)[1-3]和開關服務系統(tǒng)(switched service system,SSS)兩類。SAS具有廣泛的工程背景，常用來研究復雜工業(yè)控制系統(tǒng)?；煦邕\動[3]是一種無法精確重復、貌似隨機的運動。由于混沌運動的不確定性，多數(shù)情況下應該抑制混沌運動的產生。SAS在某些情況下會產生混沌現(xiàn)象，且系統(tǒng)本身存在周期軌[4-5]。為此，以周期軌為控制目標，實施多邊時滯脈沖反饋方法[5-7]來控制SAS中混沌現(xiàn)象，但該方法是基于開關時間[1,2,5]為0的情況。而實際工業(yè)控制中，開關時間一般大于0。此時系統(tǒng)不僅有混沌現(xiàn)象，還會產生系統(tǒng)損失。為此對多邊時滯脈沖反饋方法加以改進[8-12]，使其既能控制SAS中混沌現(xiàn)象，又能降低系統(tǒng)的損失率,同時還能探測目標周期軌道。

1 開關到達系統(tǒng)與系統(tǒng)損失

1.1 開關到達系統(tǒng)數(shù)學模型與開關時間

服務器切換方法：當某緩沖器i量值為0，服務器當即轉到緩沖器i上進原料，設{tn}是服務器在緩沖器之間轉換的時間序列。根據服務器切換方法，可得:

(1)

當t∈[tn、tn+1),服務器正向緩沖器q(tn)進原料，而xi(t)為:

(2)

當n=3時，開關到達系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 開關到達系統(tǒng)(n=3)

假設服務器從某個緩沖器轉換到另外一個緩沖器所需要的時間為開關時間，而服務器在緩沖器之間來回切換則為開關事件。上述開關時間是忽略不計的，即開關時間為0。而實際工業(yè)生產控制中，服務器在緩沖器之間切換是需要時間的，且有時不可避免或有意為之。為了更加接近工業(yè)生產控制實際，下文將系統(tǒng)開關時間設為定值λ>0。為便于論述以及數(shù)值模擬，不失一般性，以n=3為例。

1.2 開關時間大于0時系統(tǒng)損失

系統(tǒng)損失是指緩沖器在某一時間段內因產出速度為0，使系統(tǒng)整體產出小于1，以降低生產效率。已知開關時間λ>0,{tn}為服務器在緩沖器之間切換的時間序列。兩種情況下，系統(tǒng)產生損失。首先，根據SAS中服務器切換方法可知，當t=tn時，系統(tǒng)中某個緩沖器排空，服務器并不能立即切換該緩沖器，而是繼續(xù)向以前選定的緩沖器進入，直到t=tn+λ時，服務器才切換到空緩沖器上。而此時間段(t∈[tn,tn+λ])因空緩沖器存在，使該緩沖器產出速度變?yōu)?而導致系統(tǒng)產出速度減少，因而系統(tǒng)產生損失。再則，當已有一個緩沖器排空時，會出現(xiàn)另一個緩沖器也排空情況。假定t=tn+γ(0<γ<λ)時，又一個緩沖器排空，則服務器首先在t=tn+λ時切換到首先排空的緩沖器上，接著在t=tn+λ+γ時切換到其次排空的緩沖器上。在t∈[tn,tn+γ]和t∈[tn+λ,tn+λ+γ)這兩個時間段內，系統(tǒng)有一個空緩沖器存在；在t∈[tn+γ,tn+λ)這個時間段內系統(tǒng)有兩個空緩沖器存在，由于空緩沖器產出速度為0而導致系統(tǒng)產生損失。為保持系統(tǒng)動態(tài)平衡，這些時間段內的服務器進入速度要減少到與系統(tǒng)產出速度相等?；谙到y(tǒng)軌線運行區(qū)域S描述，系統(tǒng)軌線會沿著某個邊界滑動γ時間后到達某個頂點，駐留時間λ-γ后，繼續(xù)沿著另一個邊界滑動γ時間后離開該邊界。

2 開關時間大于0時多邊時滯脈沖反饋控制

2.1 多邊時滯脈沖反饋控制

(3)

式中：α為存在且能改變的控制系數(shù)。

此方法優(yōu)點是不需要確定目標周期軌具體位置，反而能夠探測到周期軌具體位置。

2.2 開關時間大于0時控制方法的改變

開關時間大于0時，系統(tǒng)會產生損失，所以降低開關事件的發(fā)生次數(shù)來降低損失率是可行的，同時還要控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象。該方法的改變是對實施控制時間進行選擇，以避免在實施控制時發(fā)生開關事件，并且選定1-周期軌為控制目標，即設m=1。

(4)

顯然{θni}是從{θni}選出的子序列，即有{θki}?{θni}，而第ki次控制量大小為:

(5)

因此，第ki次控制結束時間為:

(6)

控制時間的改變不僅可以避免在控制時間內開關事件的發(fā)生，而且也不影響該方法的有效性，既能夠降低系統(tǒng)損失率，又能夠控制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象。

2.3 周期軌道

選擇系統(tǒng)軌線運行區(qū)域的某個邊界Si作為龐加萊截面(Poincare section,PS)[2,5]。采用系統(tǒng)軌線在不同時間到達此邊界的具體位置來研究軌線的運行規(guī)律，并以此來定義周期軌道。

設{θni}為系統(tǒng)軌線x(t)第ni次到達某邊界Si的時間序列，若有：

x(θni)=x(θni+m)

(7)

則邊界Si定義下的以m為周期的周期軌道，記為per[x(t)|Si]=m。

但是選定不同的邊界作為龐加萊截面，得到周期軌的周期可能不同。進一步定義為：

(8)

SAS系統(tǒng)以m為周期的周期軌，記為m-周期軌。

3 數(shù)值驗證

3.1 混沌控制與損失率比較

設系統(tǒng)初始值x=[0 0.25 0.75]T，開關時間為λ=0.2和λ=0.3時，α=0.95，以1-周期軌道為控制目標，模擬有無施加控制情況下系統(tǒng)軌線分別如圖2、圖3所示。施加控制后不僅消除了混沌現(xiàn)象，而且將系統(tǒng)軌線穩(wěn)定到1-周期軌道上。

圖2 有無施加控制的系統(tǒng)軌線(λ=0.2)

圖3 有無施加控制的系統(tǒng)軌線(λ=0.3)

表1 有無施加控制的系統(tǒng)損失率

圖4 有無施加控制的系統(tǒng)損失率曲線

3.2 周期軌道探測

取系統(tǒng)初始值x=[0 0.28 0.8]T，開關時間為λ=0、0.25時，分別模擬有無開關時間情況下1-周期軌線，如圖5、圖6所示。注意到當開關時間存在時，周期軌道在系統(tǒng)邊界上滑動過程對應為開關事件，時間上則對應于開關時間。

圖5 1-周期軌道(λ=0)

圖6 1-周期軌道(λ=0.25)

4 結束語

針對更接近工業(yè)生產實際的開關時間大于0的SAS，時滯脈沖反饋控制方法優(yōu)點是不需要預先知道目標周期軌，反而能探測周期軌。改進后的多邊時滯脈沖控制方法不僅可以抑制系統(tǒng)混沌現(xiàn)象，還能有效降低系統(tǒng)損失，同時探測周期軌道。因此，該方法應用于工業(yè)生產實際中，可以提高生產效率，具有廣泛的實效性、推廣性和移植性。