☉江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 趙福余

解題能力的提升就是提高解題長(zhǎng)度的適應(yīng)能力，可惜很多人一旦超過(guò)其極限，不是寫不出就是邏輯混亂.解決這個(gè)問題有三個(gè)方法：一是給出更多公式縮短解題長(zhǎng)度；二是另辟蹊徑，轉(zhuǎn)換思考路徑；三是總結(jié)程序化的解題步驟，用搭積木的方式解題.用第一種方法應(yīng)付高考，性價(jià)比不高，也不能提升學(xué)生的解題能力；用第二種方法應(yīng)付高考對(duì)學(xué)生的要求較高，對(duì)一般學(xué)生來(lái)說(shuō)不實(shí)用，但可以大大提升學(xué)生的解題能力；用第三種方法應(yīng)付高考是最有價(jià)值，值得提倡的.

題目：如圖1所示，已知A，B，C是直線l上的三個(gè)點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，_____.（用a表示）

圖1

圖2

視角1：解析法

解法1：如圖2所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l為x軸，建立直角坐標(biāo)系xBy，此時(shí)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（-a，0），B（0，0），C（a，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镻A⊥PB，所以

實(shí)際上，如圖2所示，PB與PC的夾角為45°時(shí)，也可以用正切值表述，如tan則tan45°=tan（∠CPH-∠BPH）=代入解得x2+y2+ax=0；而若以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA，PB分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，化歸成解析幾何問題，大同小異，與上述解法類似.

視角2：三角法

解法2：令∠PBA=θ.

在直角△PAB中，PA=asinθ. ①

視角3：拆分向量

在拆分向量的過(guò)程中，若能充分利用好向量的數(shù)量積的幾何意義，也可有如下拆分：

圖3

視角4：幾何變換

解法4：如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AP，得BD⊥PB.設(shè)PB=x，由∠BPD=45°，得BD=x，因?yàn)椤鱌AC∽△DBC，所以即PA=2x，PC=在直角△PAB中，由勾股定理得，（2x）2+x2=a2，即

圖4

解法5：如圖4所示，過(guò)C，連接AD，則四邊形ADCP是平行四邊形，延長(zhǎng)PB.因?yàn)锽是AC的中點(diǎn)，所以PB必過(guò)D點(diǎn).在等腰直角△PCD中，令CD=x，則在Rt△PAB中，由勾股定理得

解法6：如圖5所示，延長(zhǎng)PD，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，令CD=PD=PA=x，所以，在直角

圖5

解法7：如圖6所示，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AD.因?yàn)椤螦PD=∠ACD=90°，所以A，P，C，D四點(diǎn)共圓，即∠CPD=∠CAD=45°，

圖6