☉江蘇省張家港高級中學 黃 波

在破解一些數(shù)學問題時，我們經(jīng)常嘗試追求更加簡單快捷的破解方法，也嘗試追求利用同一種技巧方法來破解同類題型，從而形成方法體系.下面結合2019屆江蘇省高考模擬題中的一道與橢圓有關的分式最值問題的破解與拓展來進行探究學習.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019屆江蘇省南通海安市高三上學期期末考試·14）設P（x，y）為橢圓在第一象限上的點，的最小值為______.

題目看似簡單，但破解起來難度比較大，而且在利用相關知識破解問題的過程中還比較容易出錯.解題時應把相應的分式最值問題與橢圓方程加以有效的聯(lián)系，從而建立起相互之間的橋梁，為確定分式的最小值提供條件.

二、多法破解

結合橢圓方程的性質(zhì)確定x+2y＞4，結合柯西不等式確定x+2y≤8，進而引入?yún)?shù)t=x+2y-4，結合權方和不等式的應用，以及參數(shù)的代換，再利用基本不等式的轉化來確定分式的最小值問題.

令t=x+2y-4，由4＜x+2y≤8，可得0＜t≤4.

故填答案：4.

結合橢圓的參數(shù)方程進行三角換元，結合分式代數(shù)式的變形與轉化得到相應的三角關系式，通過求導，結合導函數(shù)為零的求解來確定相應三角關系式的最值，進而得以確定分式的最小值問題.

故填答案：4.

結合橢圓方程的轉化，利用分式代數(shù)式的變形并巧妙配湊，利用基本不等式的轉化來確定分式的最小值問題.

三、問題串聯(lián)

探究1：保留題目條件，改變相應的分式表達式，結合兩對應分式分別引入常數(shù)進行“雙變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

故填答案：8.

探究2：保留題目條件，改變相應的分式表達式，分別借助三次基本不等式的應用，以及引入常數(shù)進行“單變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

為了消去一次項，令18-6μ=0，解得μ=3.

故填答案：7.

探究3：改變題目條件，引入高次方程，結合兩對應分式分別引入常數(shù)進行“雙變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

故填答案：371.

四、規(guī)律總結

在追求破解數(shù)學問題的道路上，我們不能停留在解決問題的初步階段，還要認真審題，看清問題的本源，尋找條件與題設之間的鏈接與關系，尋找同一類型的問題之間的聯(lián)系與差別，這樣才能有助于我們更好地、更簡潔地解決問題.我們在平時學習與練習過程中要注意積累與總結，厚積薄發(fā)，定能以簡馭繁.