☉江蘇省錫山高級中學 葛長松

圓錐曲線中的三角形面積的最值問題一直是高考數(shù)學的常見題型之一，也是備受命題者、老師與學生關(guān)注的焦點之一，難度中等偏上及較難.此類問題通過點、直線、曲線的位置關(guān)系的變換來構(gòu)造相應的三角形，充分體現(xiàn)了解析幾何中動與靜的完美統(tǒng)一，是數(shù)學知識的有機綜合與交匯.其背景生動，內(nèi)容豐富，綜合性較強，因而趣味性也較強，充分將相關(guān)知識有效地融為一體，要求具有較強的綜合能力與應變能力，充分考查學生的能力與素養(yǎng).雖然此類問題的切入點比較多，但通過三角形面積的變換后，往往運算量比較大，容易導致錯誤.

一、問題呈現(xiàn)

問題（2019屆江蘇省無錫市高三年級第一學期期末教學質(zhì)量調(diào)研·18）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，且過，點P在第四象限，A 為左頂點，B為上頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）求△PCD面積的最大值.

本題第二問中涉及三角形面積的表示方法多種多樣，進而面積最值的求解方式各異，因此破解的入口比較寬.只是不同的表示方法會導致運算量的繁簡程度不同，進而會產(chǎn)生不同的效益.

圖1

二、問題破解

（2）思維方法一：設(shè)直線方程.

由于點P是橢圓E在第四象限上的點，隨著點P的運動帶動相關(guān)直線AP、BP、CD的變化，所以設(shè)置相關(guān)直線的參數(shù)方程就是一種比較常見的切入方式.通過不同直線方程的設(shè)置，分別求解點P、點C與點D的坐標，結(jié)合△PCD的面積的表達形式，最后借助基本不等式來確定最值即可.

方法1：設(shè)直線AP的方程.

方法2：設(shè)直線BP的方程.

思維方法二：設(shè)點P的坐標.

由于P是橢圓E在第四象限上的點，所有元素都隨著點P的運動而產(chǎn)生改變，所以設(shè)置點P的參數(shù)坐標就是一種比較自然的選擇.可以采用點P的普通參數(shù)坐標形式，也可以采用點P的三角參數(shù)坐標形式，進而分別確定點C與點D的坐標，結(jié)合△PCD的面積的表達形式，借助基本不等式或三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定最值即可.

方法1：設(shè)點P的普通參數(shù)坐標.

三、規(guī)律總結(jié)

其實，無論是設(shè)置直線的方程求解，還是設(shè)置點的坐標求解，都可以用來表示三角形的面積，再結(jié)合參數(shù)對應的關(guān)系式，利用等式變換、基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等方法來求解對應的最值問題.只是直接設(shè)置點的坐標的思路比較自然，設(shè)置直線的方程則更容易操作成功，而不同的方法都可以用來鍛煉學生的運算能力，強化學生的運算技巧，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).