李紅梅，徐 凌

(1.安徽新華學(xué)院，安徽合肥 230088；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽合肥 230000)

1 混沌理論與斜帳篷映射

斜帳篷映射是一種根據(jù)X的范圍來確定結(jié)果的分段性函數(shù)，具體可表示：

(1)

其中，X∈[0,1]是系統(tǒng)的初始條件，μ∈(0,1)是其控制參數(shù)。

圖1是由Matlab軟件得出的斜帳篷映射的分岔圖，橫軸表示控制參數(shù)μ，0<μ<1，縱軸表示X，0≤X≤1。利用C++軟件編寫程序，對斜帳篷映射得到的隨機值的分布情況進行分析，表1是迭代30000次的結(jié)果，可以看出各區(qū)域中隨機值的個數(shù)及所占百分比比較平均，斜帳篷映射產(chǎn)生的隨機值的分布是比較均勻的。

2 加密方案設(shè)計

2.1 加密過程

圖像處理中常用的灰度圖像由一組像素組成，在處理過程中可以將組成圖像的所有像素看成是一個向量組P，其值Pi是圖像中像素的集合，Pi=(xi,yi,valuei)，其中，valuei是該像素的灰度值，xi和yi是像素的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。加密過程中主要是先用相關(guān)映射函數(shù)生成的隨機值序列作為參數(shù)對原圖中像素進行置換，采用位置置換或者比特置換的方案均可。斜帳篷映射產(chǎn)生的混沌序列的分布更平均，因此本文實驗中采用該映射函數(shù)生成相應(yīng)的混沌序列對組成圖像的像素進行處理，最終生成加密圖。

圖1 斜帳篷映射分岔圖

表1 斜帳篷映射隨機分布圖

在圖像信息中，每個像素均由8位二進制數(shù)組成，每位二進制數(shù)因其所處位置不同會表示不同量的信息，如數(shù)1在第1位時表示的是1，而在第8位時則表示128，在i位置所表示像素信息所占的比率P(i)可以通過公式(2)進行計算。

(2)

由表2可知，低4位包含的信息量不到6%，而高4位占有圖像總信息的94.125%，可見圖像的高位比低位更為重要。因此在采用混沌映射的結(jié)果作為系數(shù)對圖像信息進行置換時，為減少執(zhí)行時間，可將低4位作為一個整體，而高4位占有的信息量較大，需要將每位進行獨立的處理。

表2 不同位置的像素信息百分比

在加密階段，首先通過斜帳篷映射產(chǎn)生混沌序列，將該結(jié)果作為Arnold映射的參數(shù)，通過改變原圖像中像素元素的位置或數(shù)值來對圖像進行置亂處理，該映射是混沌置亂系統(tǒng)中比較常用的方法之一，其定義如公式(3)所示，將像素位置(x,y)轉(zhuǎn)換為(x1,y1),p和q為該映射函數(shù)的參數(shù)。

(3)

位平面置換操作算法的具體設(shè)計流程如圖2所示，其中，pi和qi是每一輪Arnold映射的參數(shù)，其值是通過設(shè)置斜帳篷映射初值μ=0.998，xn=0.012345678和xn=0.087865765433212時，再結(jié)合公式(4)可計算得到(pi,qi)的值；結(jié)合置換過程的次數(shù)ni可完成加密過程，本文中將ni設(shè)置為1。

(4)

圖2 位平面置換操作

2.2 算法結(jié)果分析

運行本文算法可得到如圖3所示的結(jié)論，通過計算可知原圖與解密圖像素差異數(shù)為0，因此該加密方案具有無損加密的特性。

圖3 算法結(jié)果圖

3 加密評估與測試

3.1 信息熵測試

為了描述圖像中所包含的信息量大小，C E Shannon提出了信息熵的概念，若圖像有n種灰度值mi，i=0,1,2,…,n-1，P(mi)是各個灰度出現(xiàn)的概率，通過公式(5)計算得到信息熵H(m)，其信息熵越大，表示其灰度分布越一致，對于理想的隨機圖像，其信息熵等于8，加密后的圖其信息熵應(yīng)盡量接近于8。

(5)

通過計算可知，原圖信息熵為7.568279，加密圖信息熵為7.997271，其值已經(jīng)非常接近理想值8。

3.2 直方圖分析

從圖4可看出，加密圖的直方圖的分布比較均勻，與原圖差別較大。直方圖的分布可用方差來衡量，方差可用來表示直方圖與其平均值之間的分散程度，其值越小表示其分布越均勻，可通過公式(6)進行計算，原圖直方圖的方差為5668.834，加密圖直方圖的方差為167.7309，可見加密圖像素的分布與原圖相比更加均勻。

(6)

圖4 直方圖圖示

3.3 相鄰像素的相關(guān)性分析

為討論像素間的相關(guān)性，隨機選擇垂直、水平和對角三個角度通過圖示來進行分析，從圖5可以看出加密圖中相鄰像素間并無明顯相關(guān)性。

圖5 相關(guān)性圖示

4 結(jié)語

綜上所述，首先對斜帳篷映射的特性及其所產(chǎn)生的混沌序列進行分析，發(fā)現(xiàn)該映射所產(chǎn)生的隨機值的分布更加均勻，則Arnold映射使用該斜帳篷映射的結(jié)果作為參數(shù)來改變圖像中像素的值和位置。通過對其加密前后的信息熵、直方圖和相鄰像素的相關(guān)性進行分析可知該算法具有較好的性能，加密效果很理想，具有實際應(yīng)用價值。