鄭成秋，王 迪，祁 鶴，徐 寶

均勻分布是一種常用的連續(xù)型分布，在理論上，它為證明隨機(jī)變量存在定理做出重大貢獻(xiàn)，在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，它還被用于某些參數(shù)的先驗(yàn)分布［1］，而且任何隨機(jī)變量經(jīng)由它的分布函數(shù)形成的隨機(jī)變量的分布都是均勻分布族中的特殊一員U(0, 1)［2］，從而它與任何分布都能建立起聯(lián)系.應(yīng)用上，它廣泛存在于流行病學(xué)，遺傳學(xué)，交通流理論等許多概率模型中.因此關(guān)于均勻分布相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷成為許多學(xué)者一直研究的內(nèi)容.Rossman A.I.，Short T.H.，Parks M.T.在 1998 研究了均勻分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)［3］；許多學(xué)者研究了均勻分布參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)及其性質(zhì)［4-8］，討論了一類特殊均勻分布參數(shù)的抗耐性估計(jì)和分布區(qū)間中心的點(diǎn)估計(jì)量［9-10］.均勻分布有著各種不同的類型，即不同的定義區(qū)間，本文在上述研究的基礎(chǔ)上，研究一類非對(duì)稱均勻分布參數(shù)的估計(jì)及其性質(zhì).耐抗性是提供對(duì)于數(shù)據(jù)的局部不良行為的非敏感性［11-12］，故本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用樣本的四分位矩這樣具有耐抗性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量，得到了一類非對(duì)稱均勻分布U(θ, 0)的參數(shù)θ的估計(jì)量θ?n，并討論了它的優(yōu)良性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為θ，則稱該分布為區(qū)間(, 0)上的均勻分布，記作X～U(θ, 0).其分布函數(shù)為

定義2［1］設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自某個(gè)已知總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應(yīng)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量，稱為樣本X1,X2,…,Xn的中位數(shù).

在上述定義的基礎(chǔ)上，我們給出如下樣本深度、四分位矩等概念.

定義3設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自某個(gè)已知總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應(yīng)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量，稱為樣本的 深 度.稱樣 本X1,X2,…,Xn四分位數(shù)的深度，其中表達(dá)式[x]表示取整函數(shù)，即不大于x的最大整數(shù).

定義4設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自某個(gè)已知總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應(yīng)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量，稱為X1,X2,…,Xn的下四分位數(shù)，稱FU=為樣本X1,X2,…,Xn的上四分位數(shù)，稱dF=FU-FL為樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩.

無偏性是估計(jì)量應(yīng)滿足的一個(gè)基本要求，無偏估計(jì)以及漸進(jìn)無偏估計(jì)的定義如下.

定義5［1］設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自某個(gè)已知總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量是該總體參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量，若?θ∈ Θ ，有，則稱為θ的一個(gè)無偏估計(jì)，否則稱θ?n為θ的有偏估計(jì).若當(dāng)樣本量n→ ∞ 時(shí)，則稱為θ的漸進(jìn)無偏估計(jì).

2 均勻分布U(θ, 0) 的四分位矩估計(jì)及其性質(zhì)

下述定理基于樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩dF給出了參數(shù)θ的估計(jì)量.

定理1設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0) 的一組 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ，X(1),X(2),…,X(n)為相應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量，dF為由次序統(tǒng)計(jì)量生成的樣本的四分位矩，若用樣本的四分位矩作為總體四分位矩的估計(jì)，則可以得到參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量θ?n=-2dF.

證明 首先，計(jì)算均勻總體U(θ, 0) (θ＜0)的四分位矩.根據(jù)四分位矩的定義，由解得，同理由解得

其次，計(jì)算樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩，將分別在n=4m，n=4m+1，n=4m+2，n=4m+3四種情況下加以討論.

當(dāng)n=4m時(shí)，中位數(shù)的深度相應(yīng)的四分位數(shù)的深度為k=，上四分位數(shù)和下四分位數(shù)分別為和因此，四分位矩為dF=FU-FL=

若用樣本的四分位矩作為總體的四分位矩的估計(jì)，則可以得到參數(shù)θ的如下形式的估計(jì)量

同理可得，當(dāng)n=4m+1時(shí)，參數(shù)θ的估計(jì)量為時(shí)，參數(shù)θ的估計(jì)量為θ?n=-2dF=2[X(m+1)-X(n-m)].當(dāng)n=4m+3時(shí)，參數(shù)θ的估計(jì)量為

由四分位矩這樣具有耐抗性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量得出的參數(shù)的估計(jì)量，同樣具有很好的耐抗性質(zhì)，能夠體現(xiàn)出對(duì)于數(shù)據(jù)的局部不良行為的非敏感性.下述定理證明了均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0)的參數(shù)θ的四分位矩估計(jì)量θ?n=-2dF還是θ的漸進(jìn)無偏估計(jì).

定理2設(shè)X1,X2,…,Xn為抽自均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0)的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X(1)，X(2),…,X(n)為相應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量，dF為由次序統(tǒng)計(jì)量生成的樣本的四分位矩，參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量是漸進(jìn)無偏估計(jì).

證明 估計(jì)量θ?n是參數(shù)θ的漸近無偏估計(jì)，即

由于

從而當(dāng)n=4m時(shí)，有當(dāng)

同理可證，當(dāng)n=4m+1時(shí)，有時(shí)，有

綜上所述，當(dāng)n=4m，n=4m+1，n=4m+2及n=4m+3時(shí)，均有，因此估計(jì)量θ?n是參數(shù)θ的漸近無偏估計(jì).一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)該等于被估計(jì)參數(shù)，即一個(gè)隨機(jī)變量，它所取的值應(yīng)集中在未知參數(shù)的真值或均值附近.由四分位矩得出的估計(jì)量是參數(shù)的漸近無偏估計(jì)，即當(dāng)樣本容量n無限增大時(shí)，近似無偏的估計(jì)量.

3 結(jié)論

均勻分布是一種常見的連續(xù)型分布，由于其定義區(qū)間有諸多不同的形式，因此關(guān)于區(qū)間端點(diǎn)參數(shù)的估計(jì)形式也有很多，本文關(guān)注定義區(qū)間在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)的均勻分布U(θ, 0) (θ＜0)左端點(diǎn)參數(shù)q的估計(jì)問題，基于四分位數(shù)得到了端點(diǎn)參數(shù)的四分位估計(jì)，并且還證明了這一估計(jì)具有漸進(jìn)無偏估計(jì)，在一定程度上豐富了均勻分布參數(shù)估計(jì)的形式與內(nèi)容，并能對(duì)均勻分布族進(jìn)一步的理論和應(yīng)用研究方面起到一定的參考作用.