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        分離法破解高考函數(shù)壓軸題

        2019-06-18 10:04:46陳小波
        關(guān)鍵詞:分離法高考函數(shù)

        陳小波

        【摘 要】“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,歷屆高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)與函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸思想,體現(xiàn)了綜合性、應(yīng)用性、靈活性。

        【關(guān)鍵詞】高考;函數(shù);分離法

        【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437(2019)16-0042-02

        分離法可以將方程或不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,通過求導(dǎo)研究其性質(zhì)來解決。常見分離法有:分離參數(shù)法,分離函數(shù)法等。

        1 分離參數(shù)法

        含參數(shù)的不等式中,常用分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù),將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用導(dǎo)數(shù)通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決。

        例1 (2017全國II卷文21題)[1]設(shè)函數(shù)。

        (1)討論的單調(diào)性;(過程略)

        (2)當(dāng)≥0時(shí),≤,求的取值范圍.

        分析:因?yàn)椤?時(shí),恒有≤,即≤0

        即≤0,可得:≤,

        觀察不等式≤,容易想到構(gòu)造差函數(shù)輔助解決。

        進(jìn)一步觀察,不等式≤中的和很容易分離到不等號兩邊,可以考慮分離參數(shù)法。

        當(dāng)時(shí),不等式恒成立。

        當(dāng)時(shí),需證≥恒

        成立。

        設(shè),

        則,注意到

        設(shè),

        因?yàn)椋?,則恒

        成立。

        所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,且。

        所以,則在時(shí)單調(diào)遞減,且,

        因?yàn)椋?/p>

        所以,

        則≥1,綜上所述,的取值范圍是。

        2 分離函數(shù)法

        如果不等式中同時(shí)出現(xiàn)類似和等組合,可以先進(jìn)行拆分,將函數(shù)進(jìn)行分離,構(gòu)造多個(gè)新函數(shù),分離后便于求導(dǎo)和簡化運(yùn)算。

        例2(2014全國I卷理21題)[2]設(shè)函數(shù)。曲線在點(diǎn)(1,)處的切線為。

        (1)求,;(,過程略)。

        (2)證明:。

        分析:結(jié)合(1)知,因?yàn)椋?,觀察不等式,嘗試構(gòu)造差函數(shù),在證明函數(shù)值大于0,若直接求函數(shù)的最小值,通過證明這個(gè)函數(shù)的最小值大于1,會遇到較大困難。

        進(jìn)一步觀察,進(jìn)行適當(dāng)變換,將不等式轉(zhuǎn)化為證明恒成立,可以利用分離函數(shù)法,構(gòu)造函數(shù)和函數(shù),然后再分別研究這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì),作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖1),會發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),的最小值大于等于的最大值,問題得以解決。

        圖1

        設(shè)函數(shù),則,

        當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

        故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

        則在的最小值為。

        圖2

        設(shè)函數(shù),則,

        當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

        則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

        所以在的最大值為。又因?yàn)椋?/p>

        所以,當(dāng)時(shí),,即成立。

        事實(shí)上,觀察不等式,也可以轉(zhuǎn)化為不等式,然后構(gòu)造函數(shù)和函數(shù),做出這兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖2),可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)>0時(shí),函數(shù)的圖像總是在函數(shù)的圖像的上方,則當(dāng)時(shí),不等式恒成立,所以恒成立,所以成立。

        總之,分離法是高中數(shù)學(xué)中比較常見的數(shù)學(xué)思想方法,特別是對于含有參數(shù)的不等式或者方程的問題,分離法是解決此類問題的重要途徑[3]。使用分離法,容易理清解題思路,簡化運(yùn)算,提高做題的正確率,越來越多的壓軸題都需要使用該思想方法。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]盛朝陽,邵利.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷文科壓軸題的研究與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(09).

        [2]徐堅(jiān).轉(zhuǎn)換觀點(diǎn) 化繁為簡[J].數(shù)學(xué)通訊,2016(Z4).

        [3]徐章韜,劉創(chuàng)業(yè).MKT:化無形思想為有形技巧——基于對一道“函數(shù)的零點(diǎn)”高考試題的分析[J].教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2016(08).

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