張海強(qiáng)陳 剛

一、引言

解析幾何強(qiáng)調(diào)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解析幾何的一項(xiàng)重要內(nèi)容。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不強(qiáng)是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。其原因可能是多方面的，比如初高中的銜接不暢，教師指導(dǎo)不力，學(xué)生重視不足等。由此，如何有效提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

二、概念界定

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2017年版課標(biāo)”）中指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果；數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。

江蘇省2019年版考試說(shuō)明中關(guān)于“運(yùn)算求解能力”的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能夠根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。

我們看到，數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)必須和演繹推理相融合。關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)要結(jié)合具體內(nèi)容做具體分析，不宜用大而化之的“題海戰(zhàn)術(shù)”。以高中解析幾何為例，由于高中解析幾何的主體是二次曲線，因此運(yùn)算對(duì)象主要是“二次三項(xiàng)式”，運(yùn)算法則主要是多項(xiàng)式運(yùn)算法則和分式運(yùn)算法則，在運(yùn)算中尤其要重視對(duì)簡(jiǎn)化和轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用。

三、案例設(shè)計(jì)

案例1 如圖1設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓y2=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上。若則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_______。

本題是想讓學(xué)生明晰處理方程組是解決解析幾何試題的基本技能，消元?jiǎng)t是處理方程組的基本方法。學(xué)生在初中階段較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的解法，而對(duì)三元（多元）一次方程組和高次方程的解法涉及較少。因此，在高三復(fù)習(xí)時(shí)，教師要有意識(shí)地對(duì)方程組的處理作適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化，以突出消元法的地位，彰顯化歸思想。

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

本案例設(shè)計(jì)旨在強(qiáng)化學(xué)生“整體消元”的意識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾何條件和向量條件列出方程組，即

案例3 如圖2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，則圓C的方程為_______。

學(xué)生在解決本題時(shí)常采用的有如下兩種解題思路：

（圖2）

思路一是選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）2+（y-b）2=r2（r＞0），利用題干求得點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案。

思路二是選擇圓的一般方程，設(shè)圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，同樣由點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)求得答案。

但以上兩種思路都還沒有達(dá)到最簡(jiǎn)，思路三是利用整體處理的方式，設(shè)圓C的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，方程 x2-6x+1=0與方程x2+Dx+F=0均表示點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，故這兩個(gè)方程同解，所以D=-6，F(xiàn)=1。同理E=-2，所以圓C的方程為x2+y2-6x-2y+1=0。

教師在教學(xué)時(shí)要詳細(xì)呈現(xiàn)上述三種思路，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算思路和運(yùn)算方法的選取方面進(jìn)行對(duì)比分析。教師要向?qū)W生講明：（1）運(yùn)算方法的選擇首先體現(xiàn)在圓的方程的選擇上，思路一是選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用幾何條件優(yōu)先得出圓心的橫坐標(biāo)，有效簡(jiǎn)化了計(jì)算；（2）運(yùn)算方法的選擇還體現(xiàn)在局部和整體的選擇上，思路一和思路二均從局部入手，計(jì)算出曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，而思路三則引導(dǎo)學(xué)生從曲線與方程的關(guān)系入手，從整體著眼，有效避開了無(wú)效計(jì)算，減少了步驟，極大地簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算。有了不同解題思路的對(duì)比和詳細(xì)講解，才有利于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升。

案例4 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）。設(shè)點(diǎn) T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn) P 和 Q，使得求實(shí)數(shù) t的取值范圍。

（圖3）

綜上，我們對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該精于一點(diǎn)，對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行充分分析。具體到學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，一方面應(yīng)該對(duì)部分重點(diǎn)內(nèi)容做教學(xué)上的強(qiáng)化處理，另一方面則要精選例題，教會(huì)學(xué)生簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化的運(yùn)算技巧。