楊志安，崔佳磊

(1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

0 引言

磁浮列車通過電磁力將列車控制在一定高度，實(shí)現(xiàn)列車與軌道之間無(wú)機(jī)械接觸，然后通過直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)列車。它具有速度快、爬坡能力強(qiáng)、能耗低、運(yùn)行噪音低、安全、舒適、污染小等優(yōu)點(diǎn)[1]。磁浮列車的懸浮能力直接決定了車輛的承載能力，而懸浮能力的大小取決于懸浮控制系統(tǒng)。懸浮控制的基本要求是保證列車在各種內(nèi)外干擾力作用下能夠穩(wěn)定的運(yùn)行。

研究磁浮列車穩(wěn)定性問題，首先要建立正確的動(dòng)力學(xué)模型，磁浮列車屬于機(jī)電磁耦合系統(tǒng)，拉格朗日-麥克斯韋方程是建立機(jī)電系統(tǒng)模型的一種核心方法。經(jīng)典的拉格朗日-麥克斯韋方程是基于線性的電場(chǎng)能We和線性的磁場(chǎng)能Wm，以電荷、電流作為廣義坐標(biāo)得到的[2]。2007年文獻(xiàn)[3]中推廣了拉格朗日-麥克斯韋方程的應(yīng)用范圍，使之適合于電磁非線性情況。2012年，文獻(xiàn)[4]將機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)變量與力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)相聯(lián)系，得到了經(jīng)典形式的拉格朗日-麥克斯韋方程，使機(jī)電分析動(dòng)力學(xué)的核心內(nèi)容更加完善。

MLP法，是在攝動(dòng)法小參數(shù)的基礎(chǔ)上引入非小參數(shù)，小參數(shù)的來(lái)源是將非線性有關(guān)的參數(shù)利用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，并且展開的要求是其后的每一項(xiàng)都要小于前一項(xiàng)。非小參數(shù)是由小參數(shù)變換而來(lái)。將非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性隨機(jī)微分方程組，最后用此方法就可以求解了。與等效線性化方法一樣，MLP法只能得到響應(yīng)的時(shí)域信息，而不能得到響應(yīng)的頻域信息，因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)的頻率沒有可保存性，所以頻域信息是不穩(wěn)定的， 理論上難以獲得[5]。

Wu等人提出了一種基于T-S模糊數(shù)學(xué)模型的非線性電磁懸浮系統(tǒng)模糊控制方法，仿真結(jié)果表明，該方法在處理有界擾動(dòng)時(shí)有效，但同時(shí)卻增加了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度[6]。施曉紅等人從磁浮列車-軌道耦合的非線性特性的角度研究了靜懸架條件下磁浮列車-軌道耦合系統(tǒng)的控制參數(shù)、軌道參數(shù)與振動(dòng)特性之間的相關(guān)關(guān)系[7]。楊霞等人研究了單磁懸浮系統(tǒng)，建立了磁懸浮系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的狀態(tài)方程，并采用極點(diǎn)配置法使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件，在此基礎(chǔ)上，對(duì)磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，最后得出結(jié)論，狀態(tài)空間控制方法能有效地穩(wěn)定磁懸浮系統(tǒng)[8]。

在眾多的磁浮系統(tǒng)研究中，學(xué)者們對(duì)轉(zhuǎn)向架、電磁力、車-軌耦合振動(dòng)、車輛運(yùn)行穩(wěn)定性以及懸架控制器的設(shè)計(jì)等問題進(jìn)行了研究，主要研究方向集中在磁浮列車的線性系統(tǒng)上。本文主要根據(jù)拉格朗日-麥克斯韋方程建立關(guān)于磁浮系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用MLP法來(lái)研究主共振的幅頻響應(yīng)方程。

1 磁浮列車懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

常導(dǎo)型磁浮列車懸浮系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖1所示，列車的車廂下方裝有電磁鐵，電磁鐵吸向“T”型鋼軌，當(dāng)電磁鐵繞組中的電流及在電磁鐵與鋼軌間的氣隙均為標(biāo)稱值的情況下，懸浮拉力和車廂的重力平衡。

圖1 磁浮列車懸浮系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

當(dāng)磁浮列車車廂沿鉛垂軸方向做直線平動(dòng)，且在通電之后處于平衡狀態(tài)時(shí)，電磁鐵與鋼軌間的氣隙為標(biāo)稱值，車廂質(zhì)心與原點(diǎn)O重合。以Δy表示車廂的小位移，以i表示電磁鐵繞組中的電流。所研究的磁懸浮機(jī)電系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為Δy，i。磁浮系統(tǒng)的物理模型見圖2。

圖2 磁浮系統(tǒng)的物理模型

將懸浮車廂看作一個(gè)剛體，利用剛體平動(dòng)的動(dòng)能公式得到車廂的動(dòng)能公式：

(1)

懸浮車廂的重力勢(shì)能為：

V=mgΔy。

(2)

磁場(chǎng)能量計(jì)算公式為：

(3)

式中V為磁場(chǎng)包圍的體積，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度。

假定電磁鐵與鋼軌間的氣隙h-Δy和U型電磁鐵的截面積s相比很小。這時(shí)在電磁鐵與鋼軌之間的氣隙中磁場(chǎng)可以認(rèn)為是均勻的，并且可以忽略邊界效應(yīng)，在鋼軌、磁鐵、氣隙之間以外的漏磁場(chǎng)可以忽略。假定在鋼軌與磁鐵中的磁導(dǎo)率μ非常之大，因此沿磁鐵與鋼軌的體積內(nèi)的磁能相比于磁鐵與鋼軌間隙內(nèi)的磁能很小，因此可以忽略。根據(jù)以上的假設(shè)對(duì)式(3)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，在兩個(gè)氣隙內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可以看作常量，于是由式(3)計(jì)算得到：

(4)

式中μ0為氣隙磁導(dǎo)系數(shù)。

通過電磁鐵的磁通為：

φ=BSN，

(5)

上式中N為繞組的匝數(shù)。

根據(jù)磁通和電流成正比的關(guān)系可得：

φ=L11i，

(6)

上式中，L11為線圈的自感系數(shù)，i0為標(biāo)稱電流。

由式(5)及式(6)可得到磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

(7)

將式(7)代入磁能公式(4)中，得到

(8)

同時(shí)磁能公式還可以表示為：

(9)

同樣由式(8)及式(9)可以得到自感系數(shù)關(guān)于廣義坐標(biāo)的表達(dá)式：

(10)

再將式(10)代入式(9)得到磁能關(guān)于廣義坐標(biāo)以及電流的表達(dá)式：

(11)

根據(jù)能量守恒定律，利用拉格朗日-麥克斯韋方程來(lái)建立磁浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將式(1)(2)(11)代入Lagrange方程：

L=T+Wm-V=

(12)

耗散函數(shù)的表達(dá)式為：

(13)

上式中，b為車廂運(yùn)動(dòng)的粘性阻力系數(shù)，R為線圈的電阻。

假定不存在機(jī)械的非保守廣義力，用u(t)表示作用于電磁鐵中的電壓。為了保證列車車廂的穩(wěn)定性，這個(gè)電壓要依賴測(cè)量電磁鐵與鋼軌間氣隙大小的指示傳感器，當(dāng)氣隙增大時(shí)則電路中的電流也必須增大，以便增加磁鐵與鋼軌間的電磁拉力，使車廂回到平衡狀態(tài)；相反，當(dāng)氣隙減小時(shí)則需要減小電流的輸入，以便減小電磁拉力，使車廂保持平衡狀態(tài)。

磁浮列車懸浮系統(tǒng)的拉格朗日-麥克斯韋方程的形式為[2]：

(14)

將式(12)及式(13)代入式(14)中，并經(jīng)過一定的微分運(yùn)算得到磁浮列車車廂的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(15)

式(15)中，(b)式的第一項(xiàng)是非線性項(xiàng)，為鋼軌間氣隙的倒數(shù)與電流的變化率的乘積，(b)式的第二項(xiàng)同樣是非線性項(xiàng)，(a)式的第三項(xiàng)也是非線性項(xiàng)，所以該方程組是一個(gè)三階的非線性方程。因?yàn)槠溆?jì)算復(fù)雜，且不好處理，所以現(xiàn)階段幾乎沒有學(xué)者對(duì)其非線性項(xiàng)進(jìn)行詳細(xì)的研究。

2 主共振分析

假設(shè)式(15)中u(t)=u0cosωt，也就是說(shuō)將電壓看作是激勵(lì)電壓，u0是常數(shù)，當(dāng)車廂處于平衡位置時(shí)

(16)

將式(16)代入式(15)可以得到u0和i0的值：

u0=Ri0；i02=2mg/L0，

(17)

當(dāng)車廂位移很小時(shí)，即Δy?h時(shí)，磁鐵中的電流和本生的標(biāo)稱值i0相近，此時(shí)引入小參數(shù)α，此時(shí)式(15)中的電流i為：

i=i0+αx。

(18)

利用上述理論將式(15)化為：

(19)

將式(19)中的第2式子代入第1式得到：

(20)

繼續(xù)完善式(19)，得：

(21)

(22)

令ω2=ω02+εω1+ε2ω2+…。

(23)

引入?yún)?shù)變換，此時(shí)小參數(shù)α用非小參數(shù)ε近似表示：

(24)

反解出非小參數(shù)ε：

(25)

將式(25)代入式(23)可得：

(26)

(27)

對(duì)y采用攝動(dòng)法[9]展開：

y=y0+αy1+α2y2+…。

(28)

利用上述論述，將式(22)化為：

(29)

比較方程兩邊α的冪次得：

(30)

(31)

(32)

式(30)的基解，即式(22)的零次近似解：

y0=Ae-τ+Beτ。

(33)

將基解式(33)代入式(31)，得到動(dòng)力學(xué)模型的一次可求永年項(xiàng)的表達(dá)式。同理，利用式(32)可得到方程(22)的二次可求永年項(xiàng)表達(dá)式。再根據(jù)永年項(xiàng)的定義，即隨時(shí)間增加趨于無(wú)窮的項(xiàng)[10]，也就是在所得到的二次可求永年項(xiàng)表達(dá)式中含有eτ，e2τ，e3τ，也就是說(shuō)系統(tǒng)發(fā)生振幅無(wú)限的共振。若要使磁浮系統(tǒng)做周期平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，需要消除永年項(xiàng)。為此令所得式中的eτ，e2τ，e3τ項(xiàng)的系數(shù)為零。

(34)

(35)

(36)

3 數(shù)值模擬

(37)

在利用Matlab進(jìn)行計(jì)算之前，需要為式(37)中的各個(gè)參數(shù)賦值，且確定式(37)的初始條件。

各參數(shù)的取值分別為：R=1 Ω，m=61 000 kg，μ0=4π×10-7H/m，S=0.021 m2，i0=30 A，N=356，k=8.46×104N·s/m，h=0.01 m，ω=100 π rad/s，u=220 V。

設(shè)式(37)非線性微分方程組的初始條件分別為：

(38)

通過四階龍格庫(kù)塔法計(jì)算并繪制出50 s內(nèi)磁浮列車懸浮系統(tǒng)在空載、滿載、過載不同載荷下的時(shí)間響應(yīng)曲線以及相圖，見圖3-8。

圖3 m=60 000 kg時(shí)間響應(yīng)曲線

圖4 m=69 000 kg時(shí)間響應(yīng)曲線

圖5 m=70 800 kg時(shí)間響應(yīng)曲線

圖6 m=60 000 kg相圖

圖7 m=69 000 kg相圖

圖8 m=70 800 kg相圖

從圖3到圖5可以看出，隨著磁浮列車質(zhì)量的增加，列車初始位移會(huì)增大，但隨著時(shí)間的推移，列車都會(huì)趨于穩(wěn)定。從圖6到圖8的相圖可以看出，隨著磁浮列車質(zhì)量的增加，列車初始位移會(huì)增大，列車的垂向振動(dòng)速度在減小，這表示列車會(huì)趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)論

(1)選取間隙和電流為廣義坐標(biāo)，利用拉格朗日-麥克斯韋方程建立磁浮列車懸浮系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型。該模型屬于三階非線性微分方程。

(2)改變MLP法的基解形式，是考慮到微分方程的形式同傳統(tǒng)的振動(dòng)微分方程不同，其基解的表達(dá)式為指數(shù)形式，不同于正剛度的三角函數(shù)形式，最終得到三個(gè)不同指數(shù)冪的表達(dá)式，這也不同于正剛度的三角函數(shù)形式，三角函數(shù)形式只能有兩個(gè)表達(dá)式，指數(shù)形式涉及到的不定參數(shù)過多而無(wú)法進(jìn)行求解。

(3)在空載、滿載、過載情況下，模擬時(shí)間為50 s時(shí)的懸浮系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)曲線，由相圖可知，列車質(zhì)量增加，列車初始位移會(huì)增大，但列車起動(dòng)后經(jīng)過一定的時(shí)間，系統(tǒng)振動(dòng)趨于穩(wěn)定。