(衢州第二中學(xué),浙江 衢州 324000)

《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》在論及教育課程改革的具體目標(biāo)時(shí)指出：改革課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)主動(dòng)參與，樂于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力，獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.自主學(xué)習(xí)及探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作探究，并最終解決問題的過(guò)程，是有效學(xué)習(xí)的重要途徑之一.

下面筆者以人教版《數(shù)學(xué)(選修4-5)》第36頁(yè)第6題的基本不等式為例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了一系列探究.

題目已知x+2y=1，求x2+y2的最小值.

本題看似簡(jiǎn)單，但內(nèi)涵豐富，在教學(xué)和學(xué)習(xí)活動(dòng)中不能僅滿足于問題的解決，而應(yīng)促使學(xué)生進(jìn)行解法探究，包括條件結(jié)論互換等探究，進(jìn)一步深化解題.

1 逆向探究：條件與結(jié)論的互換

變式1已知x2+y2=1,求x+2y的最大值.

先對(duì)問題進(jìn)行逆向探究.此題難度雖適中，但可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

解法1(柯西不等式)由

(x+2y)2≤(12+22)(x2+y2)=5,

此解法關(guān)鍵在于結(jié)合柯西不等式的模型，找到相應(yīng)的兩組數(shù).

解法2(整體代入)令x+2y=t,則x=t-2y,代入x2+y2=1得

(t-2y)2+y2=1,

即

5y2-4ty+t2-1=0，

利用y有解可得

Δ=16t2-20(t2-1)≥0,

從而

t2≤5,

此法的核心思想是利用二次函數(shù)有解.

解法3(三角換元)令x=cosθ,y=sinθ,則

此解法正“巧遇”三角函數(shù)“sin2θ+cos2θ=1”這一特殊知識(shí)，可以激發(fā)學(xué)生思考：今后遇到類似這樣的問題，是否也可采用這樣的解題方法呢？

根據(jù)以上的“熱身”初探，為進(jìn)一步探究作好了準(zhǔn)備，下面開始進(jìn)一步探究.

2 “升元”探究：將二元變成三元

“升元”是數(shù)學(xué)探究的重要途徑之一，也是激發(fā)學(xué)生求知欲的一種表現(xiàn)形式，更是數(shù)學(xué)思維水平提高的必走之路，可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

變式2已知x2+y2+z2=1,求x+2y+3z的最大值.

解法1(柯西不等式)由

(x+2y+3z)2≤(12+22+33)(x2+y2+z2)=14,

易得

此方法學(xué)生容易想到，關(guān)鍵是要配湊好相應(yīng)的數(shù)字，使其滿足柯西不等式.這樣的解決方法可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心，很有必要.除此之外，還可以提出其他解法嗎？通過(guò)認(rèn)真辨析所求式子的特點(diǎn)，容易引起學(xué)生的思考：是否可以用三角換元的方法呢？

解法2(三角換元)x2+y2=1-z2,令z=sinα,x=cosθcosα,y=sinθcosα,則

x+2y+3z=cosθcosα+2sinθcosα+3sinα=

此解法讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到了三角換元的有用性.

此題可用整體代入法嗎？顯然不易.那么此類問題還有什么好的解法嗎？如果題目的條件再變化，那該如何求解呢？

3 “深入”研究，問題提升

通過(guò)變換要求的目標(biāo)進(jìn)行探究，是鞏固所取得探究成果的一個(gè)重要方法.觀察該題，可以發(fā)現(xiàn)用柯西不等式的方法顯然不易，三角換元的方法可行.除此之外還有其他好的解法嗎？通過(guò)觀察式子易知可巧妙利用基本不等式a2+b2≥2ab進(jìn)一步求解，從而激發(fā)學(xué)生的探求欲望.

解因?yàn)?/p>

x2+y2+z2=x2+ty2+(1-t)y2+mz2+(1-m)z2≥

所以

解得

于是

即

該解法的核心是怎么進(jìn)行合理分配，特別是x2，y2和z2的分配.采取待定系數(shù)法可有效解決.通過(guò)此變式既進(jìn)一步挖掘了知識(shí)的深度，又增加了新的解題方法.

4 “多規(guī)”合一，深度挖掘

將變式3的部分?jǐn)?shù)字進(jìn)行如上變化，學(xué)生看到后容易蠢蠢欲動(dòng)，覺得這兩個(gè)問題不是差不多嗎，應(yīng)該容易解決.部分學(xué)生會(huì)“自傲”地急于動(dòng)手，然而動(dòng)手后發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)如此有趣，一個(gè)數(shù)字的不同，差別卻是十萬(wàn)八千里！怎么辦呢？

結(jié)合表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)x,y的地位一樣，因此可采用如下解法：

解法1(基本不等式)

x2+y2+z2=

結(jié)合目標(biāo)所求，可得

解得

于是

即

這樣的探求有一個(gè)非常重要的條件：x,y互換后題目不變.此類問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域常見的一種表現(xiàn)形式，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，嘗試三角換元的方法.

解法2(三角換元)因?yàn)閤2+y2=1-z2,令z=cosθ,x=sinθcosβ,y=sinθsinβ,所以

對(duì)于形如x2+y2=1-z2的式子，三角換元是不可缺少的一種解題方法，應(yīng)引起廣大師生的高度重視.此題還有其他解法嗎？遨游數(shù)學(xué)的海洋，發(fā)揮自己的想象，可以不斷推出新的思路，引發(fā)大家的探究欲望.

解法3(待定系數(shù))因?yàn)?/p>

解法4(“1”的整體代換)

從而

解得

以上的探究過(guò)程，源于課本，又高于課本.通過(guò)對(duì)問題的不斷變式，不斷探究出新的解題方法，使得學(xué)生經(jīng)歷“問題—變式—轉(zhuǎn)化—探究—再創(chuàng)造”的過(guò)程.一個(gè)點(diǎn)連成一條線，一個(gè)問題的解決涵蓋了不同的知識(shí)點(diǎn)，使得探究意猶未盡.正如托爾斯泰說(shuō)：成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣.心理學(xué)研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣對(duì)學(xué)習(xí)效果能產(chǎn)生很大影響，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚、情緒高漲，他就會(huì)深入地、興致勃勃地學(xué)習(xí)相關(guān)方面的知識(shí)，并且廣泛地涉獵與之有關(guān)聯(lián)的知識(shí)，遇到困難時(shí)會(huì)表現(xiàn)出頑強(qiáng)的鉆研精神.本文通過(guò)問題的不斷變式，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，不失為一種很好的學(xué)習(xí)途徑.