(尚志中學,浙江 寧波 315202)

1 問題的提出

在一次八年級的課堂教學中，有這樣一道題目.

圖1

學生乍看之后一臉迷茫，全班共有45位學生，個個無從下手.事后想想，八年級的學生平時學的都是單課的知識，復習也大多是以單純的講題為主，難以創(chuàng)造性地解出此題.抓住這個契機，筆者設計了以下這節(jié)復習課.

2 基本模型的建立

問題1如圖2，已知AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，O是BD上一點，且AO=OC，AO⊥OC，你能得出哪些結論？

分析學生易得出△ABO≌△ODC，△AOC是等腰直角三角形等結論.

圖2圖3

我們把這個形狀稱為K字型，并進一步將其納入直角坐標系.

問題2如圖3，在圖2的基礎上，以O為原點、BD所在直線為x軸建立平面直角坐標系，點C(1，2)，求點A的坐標.

分析根據(jù)問題1的結論，易得A(-2，1).

再設計兩個問題，讓學生初步學會構造K字型.

問題3在平面直角坐標系xOy中，點C(1，2)，若△AOC是以OC為直角邊的等腰直角三角形，求點A的坐標.

分析需要分類討論.

1)以O為直角頂點.

如圖4，構造K字型后，易得A(2，-1).

圖4圖5

如圖5，構造K字型后，易得A(-2，1).

2)以C為直角頂點.

圖6圖7

如圖6，構造K字型后，可得OF=CE=1，CF=AE=2，則點A的坐標是(-1，3).

如圖7，構造K字型后，可得OE=CF=2，CE=AF=1，則點A的坐標是(3，1).

問題4在平面直角坐標系xOy中，點C(2，1)，若△AOC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標.

圖8圖9

總結無論OC為直角邊還是斜邊，先過直角頂點構造K字型，再利用三角形全等得到兩組相等的線段，可求出點A的坐標.

設計意圖由于八年級學生學習過特殊三角形，對于不在平面直角坐標系的K字型比較熟悉，因此由此引入建立平面直角坐標系，循序漸進.以OC為直角邊和OC為斜邊畫出等腰直角三角形是學生學習的難點，此時教師要給學生足夠的時間，讓學生自己畫出圖形，再引導學生構造K字型去解決問題.

3 基本模型的鞏固

1)求直線CD的解析式.

2)在第一象限內，是否存在點F，使以E，O，F(xiàn)為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

圖10圖11

分析1)直線CD的解析式為y=2x+2.

②去掉無關的線和點，畫出圖形如圖11.

③構造K字型：如圖12，以E為直角頂點，點F位于第一象限；如圖13，以O為直角頂點，點F位于第一象限.

圖12圖13

圖14

1)求直線DF的解析式.

2)在第一象限內，是否存在點H，使以G,O,H為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由.

比較問題5和變式1，背景稍有改變，問題的實質沒有變.

設計意圖把基本模型放在較復雜的情境中，要求學生注重對問題本質的理解和對基本模型的挖掘，真正理解模型.

4 應用基本模型解決問題

通過前面的鋪墊，再來解決例1，學生就自然而然地會嘗試利用45°角構造等腰直角三角形，再構造K字型來解決了.

圖15圖16

圖17圖18

通過模型的鋪墊，再讓學生解決問題時，學生找到了4種解法，并且總結歸納了這4種方法的共同之處：

1)要求點C的坐標，就是要求兩條直線的交點坐標.已知直線AC的解析式，只需求出直線BC的解析式，又點B的坐標已知，故只需再找直線上另一點的坐標即可.

2)都利用45°的特殊角構造直角三角形解決.

3)都是通過構造K字型求解.

圖19

5 中考應用實例

(2017年浙江省金華市數(shù)學中考試題第15題)

圖20圖21

設計意圖將此題作為課外練習，讓學生體會到只要掌握基本方法，中考題也不難解決，從而進一步鞏固建模的思想方法，學生學習的興趣也能得到極大的激發(fā)[1].

6 對培養(yǎng)模型思想的兩點思考

第一，學生在數(shù)學解題時，更多的不是解不出題目，而是想不到該從何處著手.就如例1中學生不知道怎么用45°角的條件，因此在解題教學中，應不斷引導學生由特殊條件發(fā)現(xiàn)、識別、構造出熟悉的模型，由模型意識來指導解題.當遇到新問題時，先辨識它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已解決的問題，然后以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決.

第二，模型思想的培養(yǎng)是一個日積月累的長期過程，不可能一蹴而就.因此那些常用的數(shù)學模型要好好珍惜，如本文所述的“K字模型”，在教學中要加強培養(yǎng)學生的模型意識，讓學生深刻認識到數(shù)學模型可以使復雜問題本質化、簡潔化，甚至一般化，使某類問題的解決有共同的程序式方法.