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        空間兩直線相關(guān)位置的探究

        2019-06-13 09:22:32
        關(guān)鍵詞:異面重合情形

        鄭 惠

        (阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,四川 汶川 623000)

        0 引 言

        判定空間兩直線相關(guān)位置是解析幾何中一項重要內(nèi)容.由于兩直線方程的表現(xiàn)形式可以有多種情形:兩條直線方程均為標(biāo)準(zhǔn)方程;一條直線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程、另一條直線方程為一般方程;兩條直線方程都為一般方程;甚至還可以是參數(shù)方程等.文獻[1-3]在空間兩直線方程均為標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上詳細(xì)介紹了空間兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件,但一般方程的情形并沒有討論.文獻[1-3] 作為教材依舊為讀者繼續(xù)探討兩直線間的相關(guān)位置留下了較大的思索空間. 文獻[4-11]分別用不同的方法對不同的情況進行了研究,文獻[9]就“一條直線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程、另一條直線方程為一般方程”的情形進行了研究,但是給出了一個錯誤的異面直線的距離公式以及兩共面直線相交、平行的充分不必要條件為充要條件.本文將再次討論此情形下兩直線的位置關(guān)系,給出兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件以及異面直線間的距離公式.

        1 定理及證明

        定理1設(shè)空間兩直線的方程分別為:

        1)異面:Δ=N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z)≠0

        2)相交:Δ=0,且(A1X+B1Y+C1Z)2+(A2X+B2Y+C2Z)2≠0

        3)平行:A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2≠0

        4)重合:A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2=0,其中M=A1x0+B1y0+C1z0+D1,N=A2x0+B2y0+C2z0+D2.

        =[(A1x1+B1y1+C1z1)-(A1x0+B1y0+C1z0)](A2X+B2Y+C2Z)

        -[(A2x1+B2y1+C2z1)-(A2x0+B2y0+C2z0)](A1X+B1Y+C1Z)

        =N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z).

        故直線l1與l2異面的充要條件為:

        Δ=N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z)≠0;

        共面的充要條件為:Δ=0.

        又當(dāng)兩直線共面時,有以下三種情況:

        Δ=0,且(A1X+B1Y+C1Z)2+(A2X+B2Y+C2Z)2≠0.

        A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2≠0.

        A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2=0.

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