李 峰

(河北省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，河北 石家莊 050000)

0 引 言

索結(jié)構(gòu)因其具有輕巧、美觀和大跨等優(yōu)點(diǎn)，被越來越多的工程采用，如交通工程中的下承式拱橋、懸索橋、斜拉橋，以及建筑工程中的張拉屋頂、塔桅等大跨結(jié)構(gòu)。由于索結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形狀態(tài)對拉力的變化較為敏感，因此快速準(zhǔn)確地獲得拉索拉力及抗彎剛度是結(jié)構(gòu)施工、健康監(jiān)測及結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

目前，行業(yè)內(nèi)通常采用千斤頂壓力表法、壓力傳感器法、磁通量法、振動法等方法測定拉索的拉力，其中振動法最為常用[1-6]。在工程實(shí)踐中，由于拉索內(nèi)部結(jié)構(gòu)多樣，難以確定拉索內(nèi)鋼絲的相互作用以及拉力對拉索抗彎剛度的影響，從而不能得到拉索準(zhǔn)確的抗彎剛度值。因此，振動法中頻率與拉力的換算公式或者不考慮拉索抗彎剛度的影響，或者估算一個(gè)抗彎剛度值進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果可能存在較大誤差[7]。筆者采用曲線擬合方法得到拉索的近似頻率方程，進(jìn)而推導(dǎo)基于推動法的簡單實(shí)用的拉索抗彎剛度及拉力的實(shí)用估算公式，以解決振動法中拉索抗彎剛度的取值問題，提高拉力的識別精度。

1 基本控制方程

筆者主要推導(dǎo)的是適用于中、短索的拉力計(jì)算公式。當(dāng)考慮抗彎剛度但忽略垂度影響時(shí)，拉索可等效為軸拉梁，索的面內(nèi)橫向運(yùn)動方程如式(1)[8]：

(1)

式中：EI為索的抗彎剛度，N·m2；T為索的拉力，N；m為索的單位長度的質(zhì)量，kg/m；v為t時(shí)刻由振動引起的面內(nèi)豎向撓度，m。

分離變量后，得到振型的一般表達(dá)式(2)：

v(x)=A1sinh(βx)+A2cosh(βx)+A3sin(αx)+A4cos(αx)

(2)

令：

α2=(ζ4+γ4)1/2-ζ2,β2=(ζ4+γ4)1/2+ζ2,

式中：A1～A4為常數(shù)，決定拉索的振動形狀；α、β、γ、ζ為無量綱參數(shù)；ω為自振圓頻率。

1)當(dāng)拉索兩端鉸支時(shí)，可解得自振圓頻率如式(3)：

(3)

2)當(dāng)兩端固定時(shí)，拉索的自振方程(4)為：

2(αl)(βl)[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

[(βl)2- (αl)2]sin(αl)sinh(βl)=0

(4)

(5)

方程(4)為超越方程，可通過引入無量綱參數(shù)ξ、ηn間接求解[9]：

(6)

(7)

將ξ、ηn代入方程(5)，得到式(8)：

(8)

將式(8)代入方程(4)，可得方程(9)[5]：

2nπηn[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

ξsin(αl)sinh(βl)=0

(9)

當(dāng)ξ變小時(shí)，方程(9)的解ηn迅速增大，很難得到精確解。因此引入另一無量綱參數(shù)φn：

(10)

(11)

引入φn后，可將式(8)化為式(12)：

(12)

將方程(9)轉(zhuǎn)換成方程(13)[9]：

ξ2sin(αl)sinh(βl)=0

(13)

方程(9)與方程(13)為超越方程，可通過給定ξ，利用迭代法如Newton-Raphson法進(jìn)行求解。

2 近似公式

2.1 ξ值較小的情況

由能量法推導(dǎo)兩端固定受拉梁頻率方程[10]：

(14)

在0<ξ≤15的范圍內(nèi)，采用最小二乘法利用方程(14)對方程(13)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到an、bn值，見表1。

將方程(13)描述的φn-ξ曲線(0 <ξ≤15)與方程(14)求得的近似解繪在圖1中?？梢钥闯觯谇?階振型中，兩者吻合良好。近似解的誤差見表2，可見最大誤差為0.85%。

圖1 φn的精確解和近似解Fig. 1 Exact and approximate solutions of φn

表2 φn近似解的誤差Table 2 Error of approximate solution of φn%

2.2 ξ較大的情況

由圖2可知，隨著ξ的增大，拉索的抗彎剛度對自振頻率的影響逐漸減弱并趨于0，即拉索的自振頻率趨于弦的自振頻率?？紤]到拉索的拉力和抗彎剛度對自振頻率的影響，以及拉索的拉力與抗彎剛度相互作用對自振頻率的影響，假設(shè)拉索自振頻率表達(dá)式，如式(15)：

(15)

式(15)右邊第1項(xiàng)為弦頻率，第2項(xiàng)為抗彎剛度對頻率的影響，第3項(xiàng)為拉力與抗彎剛度的共同作用對頻率的影響。

同樣，在15 <ξ≤300的范圍內(nèi)，采用最小二乘法利用式(15)對方程(9)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到初始擬合an、bn值，見表3。

表3 初始擬合結(jié)果(15 < ξ ≤300)Table 3 Results of initial fitting(15 < ξ ≤300)

為方便由方程(15)反求抗彎剛度和拉力，令an= 6.344 1(n=1～4)，重新以方程(9)描述的ηn-ξ曲線為基準(zhǔn)進(jìn)行擬合，得到最終擬合an、bn值，見表4。

表4 最終擬合結(jié)果(15 < ξ ≤ 300)Table 4 Results of final fitting(15 < ξ ≤ 300)

將式(15)描述的ηn-ξ曲線及方程(9)描述的理論解的曲線繪在圖2中(15 <ξ≤300)，可以看出，在前4階位形中，兩者吻合良好；最大誤差為0.96%，見表5。

圖2 ηn的精確解和近似解Fig. 2 Exact and approximate solution of ηn

由圖2可見：隨著ξ的減小，誤差迅速增大。因此在ξ較小的情況下，必須準(zhǔn)確確定拉索抗彎剛度，才能保證頻率法測拉力的精度；隨著ξ的增大，考慮抗彎剛度的索頻率逐漸逼近弦理論計(jì)算結(jié)果，當(dāng)ξ>210時(shí)，抗彎剛度對索的自振基頻影響較小，僅為0.97%。綜合考慮工程應(yīng)用中的方便實(shí)用性，當(dāng)ξ>210時(shí)，可按不考慮抗彎剛度影響的弦理論計(jì)算。

表5 ηn近似解的誤差Table 5 Error of approximate solution of ηn %

3 實(shí)用估算公式的提出

將ω=2πf代入方程(14)、方程(15)，聯(lián)立第1階與第n(n=2～4)階自振頻率方程，反推出由頻率估算抗彎剛度和拉力的實(shí)用公式。

1)當(dāng)0≤ξ<15時(shí)

(16)

(17)

式中：常數(shù)an、bn按表1取值。

2)當(dāng)15 ≤ξ<210時(shí)

(18)

(19)

3)當(dāng)ξ≥210時(shí)

(20)

4 實(shí)用估算公式的驗(yàn)證

應(yīng)用筆者提出的實(shí)用估算公式(16)～(20)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)拉索長度、設(shè)計(jì)拉力及抗彎剛度范圍計(jì)算出ξ，然后帶入相應(yīng)公式計(jì)算抗彎剛度及拉力，最后由算得的抗彎剛度及拉力重新計(jì)算ξ，以驗(yàn)證公式的正確性。

4.1 H.ZUI的計(jì)算公式

H.ZUI[9]利用方程(9)、方程(13)的近似解，建立了考慮抗彎剛度影響的拉力T計(jì)算公式(21)～(23)，這些公式的應(yīng)用前提是須知道拉索抗彎剛度：

(ξ≥17)

(21)

(6≤ξ<17)

(22)

(0≤ξ<6)

(23)

4.2 弦理論公式

吳康雄[2]推導(dǎo)了不考慮抗彎剛度的拉力計(jì)算公式，即弦理論公式：

(24)

4.3 驗(yàn) 證

分別用筆者提出的實(shí)用估算公式(16)～(20)、H. ZUI提出的計(jì)算公式(21)～(23)及弦理論公式(24)進(jìn)行拉力計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對比。其中：H. ZUI的計(jì)算公式(21)～(23)需帶入拉索實(shí)際抗彎剛度，筆者提出的實(shí)用估算公式(16)～(20)可直接由頻率估算出抗彎剛度和拉力。

檢驗(yàn)用的拉索參數(shù)見表6；拉力計(jì)算值T、拉力誤差δT，及抗彎剛度計(jì)算值EI、抗彎剛度誤差δEI的識別結(jié)果見表7。

表6 拉索的物理參數(shù)Table 6 Physical parameters of cables

表7 3種計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果及計(jì)算誤差Table 7 Calculating results and errors of three kinds of calculating formulas

由表7可看出：

1)在拉力識別方面，由于弦理論公式(24)不考慮抗彎剛度，因此，在ξ較小的情況下將帶來不可接受的誤差。

2)采用筆者提出的實(shí)用估算公式(16)～(20)，當(dāng)ξ=10時(shí)，拉力誤差δT最大，δT=1.31%；當(dāng)ξ>15時(shí)，拉力誤差δT<0.5%，與H.ZUI公式(21)～(23)的結(jié)果很接近，拉力誤差δT均在 ± 2%以內(nèi)。

3)在抗彎剛度識別方面，筆者提出的實(shí)用估算公式(16)～(20)，抗彎剛度誤差δEI≯±2%，說明采用實(shí)用估算公式計(jì)算拉索拉力及抗彎剛度十分有效，精度較高，計(jì)算結(jié)果滿足工程實(shí)踐要求。

5 結(jié) 論

1)通過考慮拉索的拉力及抗彎剛度對拉索自振頻率的影響，假設(shè)固支邊界條件下受拉吊桿頻率的表達(dá)式形式，采用曲線擬合的方法對兩端固支吊桿的前4階特征方程進(jìn)行了較高精度的擬合，得到了拉索低階頻率的近似解。

2)基于自振頻率表達(dá)式，提出了由2階頻率計(jì)算拉索抗彎剛度和拉力的實(shí)用估算公式，解決了頻率法測拉力時(shí)難以識別抗彎剛度的問題。

3)與現(xiàn)有公式計(jì)算結(jié)果對比，提出的實(shí)用估算公式計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可信、精度較高，且公式形式簡單、應(yīng)用方便。