張宇飛，劉金堂，聞邦椿

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2.沈陽航空航天大學 航空宇航學院，沈陽 110136)

在工程領(lǐng)域，軸向運動連續(xù)體具有非常廣泛的應(yīng)用。它存在于航天可伸縮結(jié)構(gòu)、空中纜車索道、紙張生產(chǎn)、連續(xù)熱鍍鋅生產(chǎn)線等工程應(yīng)用中。因此，此類結(jié)構(gòu)的動力學分析對于它們的安全運行具有重要的價值。

近些年來，軸向運動連續(xù)體的動力學引起了很多學者的研究興趣。Pellicano等[1]分析了軸向運動梁的非線性振動與分岔現(xiàn)象。馮志華等[2]研究了軸向運動梁發(fā)生內(nèi)共振時的穩(wěn)定性。Wang等[3]基于經(jīng)典板理論及非線性幾何關(guān)系，建立了軸向運動功能梯度板的振動微分方程，并分析了系統(tǒng)的非線性動力學響應(yīng)。Chen等[4]基于多尺度法，討論了分析軸向運動系統(tǒng)的可解性條件。Zhang等[5-6]分析了具有軸向速度的黏彈性帶的高維非線性動力學及混沌運動特性。張宇飛等[7]考慮具有軸向速度的復合材料薄壁圓柱殼，分析了系統(tǒng)的多模態(tài)耦合振動行為。Ding等[8]將Galerkin方法發(fā)展應(yīng)用于軸向運動梁，并求解了系統(tǒng)在超臨界運動中的自然頻率。文獻[9]針對移動載荷下的有限長Euler-Bernoulli梁，進一步探討了Galerkin截斷法在求解中的收斂性。Huang等[10]對橫向載荷下軸向運動梁的1∶3內(nèi)共振進行了研究。Yang等[11]采用有限差分法，分析了軸向運動板的非線性振動特性。Ghayesh等[12]考慮熱載荷作用，討論了軸向運動梁的非線性穩(wěn)定性以及發(fā)生的混沌運動。張偉等[13]推導了軸向運動黏彈性帶在平面運動下的非線性控制微分方程，然后采用多尺度法和離散法求解，分析了黏彈性傳動帶在內(nèi)共振時的周期運動和混沌運動。Yang等[14]關(guān)注了橫向振動與縱向振動相互耦合的軸向運動梁，并研究了在耦合運動下該陀螺系統(tǒng)的非線性動力學。

眾所周知，軸向運動結(jié)構(gòu)時常工作在液體環(huán)境中，這些情況多見于船舶工程、海洋工程、機械工程等。然而，對于軸向運動連續(xù)體與液體耦合振動的研究，現(xiàn)有文獻還非常有限。對于軸向運動梁與液體的耦合振動，文獻[15]關(guān)注該系統(tǒng)的固有頻率并利用微分求積法進行了求解。Wang等[16-17]建立了浸沒于液體中的軸向運動板的動力學模型，并對其線性和非線性自由振動特性進行了分析。張宇飛等[18]研究了軸向運動板與液體耦合的非線性自由振動及其發(fā)生的1∶1和1∶3內(nèi)共振特性。

本文針對浸沒于液體中的軸向運動黏彈性板，考慮其運動速度具有時變特性，并假定液體為無黏、無旋、不可壓縮的理想流體，根據(jù)經(jīng)典薄板理論及達朗貝爾原理，得到了該系統(tǒng)的橫向振動控制微分方程。然后采用直接多尺度法對系統(tǒng)的偏微分方程及邊界條件進行分析，利用可解性條件及Routh-Hurwitz判據(jù)確定了系統(tǒng)前四階模態(tài)間的和式組合共振與差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。此外，研究了不同參數(shù)對上述兩種組合共振失穩(wěn)區(qū)間的作用。

1 基本方程

考慮浸入液體中的四邊簡支軸向運動黏彈性板，其力學模型和坐標系如圖1所示。其中板密度為ρP，厚度為h；流體密度為ρf，板到左右剛性內(nèi)壁的距離分別為h1和h2，水域?qū)挾萪=2.02 m。

圖1 浸液軸向運動黏彈性板Fig.1 Axially moving viscoelastic plate immersed in liquid

根據(jù)達朗貝爾原理，可推得浸液軸向運動黏彈性板的橫向振動控制微分方程

(1)

式中：w為板橫向位移；V為板的運動速度；Mx，Mxy，My，Nx，Ny，Nxy分別為板的三個內(nèi)力矩和三個內(nèi)力；Δp為流體動壓力。

考慮幾何關(guān)系、物理關(guān)系以及內(nèi)力關(guān)系，可將式(1)用橫向位移w表示

(2)

式中：D=Eh3/[12(1-μ2)]為板的彎曲剛度；μ為泊松比；η為黏彈性系數(shù)；N0為單位長度的面內(nèi)張力；madd為附加質(zhì)量面密度；表達式為

(3)

引入如下無量綱變量

(4)

將式(4)代入式(2)，得到系統(tǒng)的無量綱振動微分方程

(1-H)w,tt+(2-H)Vw,xt+(V2-1)w,xx+
(1-H)V,tw,x+ζ(w,xxxx+2ξ2w,xxyy+ξ4w,yyyy)=
-εη[(w,xxxxt+2ξ2w,xxyyt+ξ4w,yyyyt)+
V(w,xxxxx+2ξ2w,xxxyy+ξ4w,xyyyy)]

(5)

四邊簡支板的無量綱邊界條件為

當x=0,1時

當y=0,1時

(6)

2 和式組合共振

設(shè)軸向速度具有如下擾動變化規(guī)律

V=V0+εV1sinΩt

(7)

式中：V0為平均速度；V1和Ω為速度脈動的幅值和頻率。

將式(7)代入式(5)～式(6)，并應(yīng)用直接多尺度方法，式(5)～式(6)的解可表示為

w(x,y,t;ε)=
w0(x,y,T0,T1)+εw1(x,y,T0,T1)+O(ε2)

(8)

且

(9)

將式(8)和式(9)代入式(5)～式(6)并分離ε0和ε1項，得

ε0：

(1-H)w0,T0T0+(V2-1)w0,xx+ζ(w0,xxxx+
2ξ2w0,xxyy+ξ4w0,yyyy)+(2-H)Vw0,xT0=0

(10)

(11)

ε1：

(12)

(13)

當發(fā)生和式組合共振時，系統(tǒng)固有頻率滿足如下關(guān)系

(14)

式(10)的解可寫為

(15)

其中，

將式(14)～式(15)代入式(12)得

(16)

式中：NST為非久期項。

根據(jù)可解性條件，有

(17a)

(17b)

(17c)

式(17)的解可寫為極坐標式

(18)

將式(18)代入式(17a)和式(17b)得

(19a)

(19b)

式(19)的復數(shù)非零解可以表示為

(20)

式中：pi和qi(i=1,2)為T1的實函數(shù)。

將式(20)代入式(19)，并分離實部和虛部，得

(21)

式(21)的特征方程可寫為

λ4+β1λ3+β2λ2+β3λ+β4=0

(22)

式中：βi(i=1,2,3,4)由式(21)的系數(shù)確定。

式(22)的所有根均有負實部的充分必要條件為Routh-Hurwitz行列式均大于零，即

(23)

給定ξ=1,ζ=1,η=0.000 1,ρf=1 000 kg/m3，h=0.02 m,h1=1 m，圖2給出了模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振在不同平均軸線速度下的不穩(wěn)定區(qū)域，其中曲線上部表示不穩(wěn)定區(qū)間。從圖中可以看出，隨著平均移動速度的增加，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)逐漸減小，組合共振的穩(wěn)定區(qū)間增加。

圖2 不同平均速度下和式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.2 Unstable range for sum-type combination resonances with different axially mean velocities

給定ξ=1，ζ=1，η=0.000 1，V0=3和h1=1 m，圖3給出了不同流體密度情況下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域。從圖3可知，當流體密度逐漸增加時，軸向運動板和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域會隨之增大。

取ξ=1,ζ=1,η=0.000 1,ρf=1 000 kg/m3,V0=3，圖4給出浸液板在不同位置時模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的和式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。可以發(fā)現(xiàn)，當0.1 m

圖3 不同液體密度時和式組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域Fig.3 Unstable range for sum-type combination resonances with different fluid densities

圖4 板位置對和式組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響Fig.4 Effect of plate location on the unstable range for sum-type combination resonances

3 差式組合共振

當速度脈動頻率接近任意兩階固有頻率之差時，系統(tǒng)將發(fā)生差式組合共振?？紤]如下關(guān)系

(24)

式(10)的解表示為

(25)

將式(24)～式(25)代入式(12)，由可解性條件，得

(26a)

(26b)

(26c)

將式(26a)和式(26b)的解寫為極坐標式

(27)

將式(27)代入式(26a)和式(26b)得到如下自治方程

(28a)

(28b)

式(28)的非零復數(shù)解為

(29)

式中：pi和qi(i=1,2)為T1的實函數(shù)。

將式(29)代入式(28)，分離實部和虛部，得

(30)

式(30)的特征方程可寫為

λ4+β1λ3+β2λ2+β3λ+β4=0

(31)

式中：βi(i=1,2,3,4)由式(30)的系數(shù)確定。

所有根均有負實部的充分必要條件為Routh-Hurwitz行列式滿足

(32)

令ξ=1，ζ=1，η=0.000 1，ρf=1 000 kg/m3和h1=1 m,圖5給出了不同平均移動速度下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。從圖中可以看出，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)之間差式組合共振的失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，但失穩(wěn)區(qū)域的范圍變化不大。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，隨著平均速度的增加，失穩(wěn)區(qū)間則逐漸減小。

圖5 不同平均速度下差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.5 Unstable range for difference-type combination resonances with different axially mean velocities

選取ξ=1，ζ=1，V0=3，η=0.000 1和h1=1 m，圖6給出了不同液體密度下模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。圖6表明，流體密度的增加導致模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域增加。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，失穩(wěn)曲線則出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有增加的趨勢。

圖6 不同液體密度下差式組合共振失穩(wěn)區(qū)域Fig.6 Unstable range for difference-type combination resonances with different fluid densities

圖7給出了板在液體域中不同位置時，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)，模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域的變化情況。其中各參數(shù)為ξ=1，ζ=1，V0=3，η=0.000 1和ρf=1 000 kg/m3。圖7中表明，隨著板與剛性內(nèi)壁距離的增加，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小。模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)邊界線發(fā)生偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有減小的趨勢。但是沒有出現(xiàn)和式組合共振失穩(wěn)區(qū)域先增加再減小的特征。

圖7 板在不同位置時差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域Fig.7 Unstable range for difference-type combination resonances with different plate locations

4 結(jié) 論

本文針對浸沒于液體中的軸向變速運動黏彈性板，根據(jù)經(jīng)典薄板理論及達朗貝爾原理，得到了系統(tǒng)的橫向振動控制微分方程，根據(jù)多尺度法及Routh-Hurwitz判據(jù)，分析了系統(tǒng)前四階模態(tài)間的和式與差式組合共振的失穩(wěn)區(qū)域。結(jié)果表明：

(1)隨著板平均移動速度的增加，和式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)之間差式組合共振的失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，而模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振不穩(wěn)定區(qū)減小。

(2)和式組合共振與差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域均隨著流體密度的增加而增加。對于模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振，失穩(wěn)曲線出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也有增加的趨勢。

(3)組合共振的失穩(wěn)區(qū)間與板在液體中的位置有關(guān)。當板距離剛性壁較近時，和式組合共振失穩(wěn)更容易發(fā)生。隨著板與剛性內(nèi)壁距離的增加，模態(tài)(1,1)與模態(tài)(2,1)間差式組合共振的不穩(wěn)定區(qū)域減小。模態(tài)(1,2)與模態(tài)(2,2)間的差式組合共振的失穩(wěn)邊界線發(fā)生偏轉(zhuǎn)，失穩(wěn)區(qū)域也減小。