隋 鑫，丁 千,2

(1.天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300350；2.天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室，天津 300350)

近年來，對摩擦耦合系統(tǒng)的失穩(wěn)和制動尖叫的研究主要集中在黏滑自激振動機理和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定振動機理[1]。針對摩擦自激振動問題，劉麗蘭等[2]介紹了機械系統(tǒng)中黏滑摩擦振動的研究情況；黃毅等[3]針對一類雙質(zhì)體-傳輸帶干摩擦系統(tǒng)，分析內(nèi)共振條件下的系統(tǒng)動力學(xué)現(xiàn)象；丁千等[4]總結(jié)機械系統(tǒng)中的摩擦模型與特性，對制動噪聲、摩擦耗能等摩擦動力學(xué)研究進展進行綜述；對于不同系統(tǒng)，摩擦力模型的選取將影響系統(tǒng)動力學(xué)特性的分析。

作為最典型的摩擦系統(tǒng)，車輛制動系統(tǒng)摩擦塊與制動盤的耦合振動受到重視，分析模型和方法也很多。如Zhao等[5]采用伽遼金方法對剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M行降維求解；Beloiu等[6]應(yīng)用時域和頻域的分析方法分析柔性耦合振動；李金錄等[7]采用非光滑基函數(shù)方法，分析簡化成局部約束梁模型的摩擦盤的模態(tài)；楊鳳紅等[8]建立兩自由度非光滑動力學(xué)模型，研究制動盤轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動力學(xué)行為影響。

由于摩擦塊在制動盤的相對位置隨時間變化，因此可以認(rèn)為制動盤振動是受到移動載荷作用而產(chǎn)生的。YanmeniWayou等[9]通過模態(tài)分析方法，研究梁在移動載荷下的橫向振動響應(yīng)；李慧樂等[10]用有限元法，分析移動荷載作用下，簡支梁結(jié)構(gòu)的共振、消振機理；Chen等[11]采用多尺度法分析存在一定軸向速度的黏彈性梁的動態(tài)響應(yīng)。移動載荷可能會激勵出系統(tǒng)的多階模態(tài)，而且模態(tài)的移動對相互的作用有一定影響。通過特征根分析也可以得到各階模態(tài)的動力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象[12]。然而，采用移動載荷法對制動器摩擦動力學(xué)的研究還不多。Li等[13]建立柔性制動盤模型，研究移動載荷下的制動盤摩擦塊分離、再接觸問題。

針對摩擦塊Stick-slip運動，接觸表面的變化將影響系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[14-15]的動力學(xué)模型均考慮了接觸面的剛度特性；文獻(xiàn)[16]指出，接觸面的耦合剛度隨表面的變形和磨損，及制動力大小的不同有所變化；文獻(xiàn)[17-18]也提出，接觸面變化對剛度和摩擦特性有影響。

目前，學(xué)者認(rèn)識到接觸面剛度的影響，但論文中仍缺少剛度變化對摩擦動力學(xué)影響的定量分析。據(jù)此，本文考慮摩擦塊-制動盤耦合結(jié)構(gòu)，研究接觸剛度比的不同導(dǎo)致的動力學(xué)特性的變化，在數(shù)值計算中采用移動載荷法模擬盤-塊的相互作用，分析摩擦塊與制動盤接觸剛度比對制動減速過程中的摩擦塊動力失穩(wěn)的影響。研究中發(fā)現(xiàn)的非完全黏滯現(xiàn)象與李博等的研究類似。

1 系統(tǒng)模型

研究圖1中的摩擦塊-制動盤耦合動力學(xué)系統(tǒng)。本文參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)及取值Tab.1 Parameters and values

將摩擦塊視為剛體，由牛頓定律推導(dǎo)其三個方向的運動微分方程為

(1)

而制動盤面外周向振動方程為

(2)

圖1 摩擦塊-制動盤耦合模型Fig.1 The model of pad-disc coupling system

(3)

式中：P，F(xiàn)分別為摩擦塊受到的壓力和摩擦力；Fc=(kt2X-αF)為制動盤與摩擦塊接觸范圍的切向力合力。二者的相對位置實時變化且與速度Ω有關(guān)，可以寫成σ=Ωt，V=RcΩ，Rc為摩擦合力作用點半徑，則摩擦盤外緣線速度為Vouter=Ωb，α=kt2/kt1為摩擦塊與制動盤之間的接觸剛度比；αF為盤-塊摩擦力產(chǎn)生的表面切向約束力。

采用差分法對摩擦盤進行求解，將接觸力進行離散

(4)

式中：i為制動盤徑向第i個節(jié)點；m為總節(jié)點數(shù)；j為周向第j個節(jié)點；n為總節(jié)點數(shù)。

引入無量綱變量

(5)

將式(1)和式(2)無量綱化，得到

(6)

摩擦力分為靜態(tài)摩擦力和動態(tài)摩擦力。根據(jù)所研究問題的不同，需要選擇合適的摩擦力模型，如庫倫摩擦、靜摩擦、Stribeck模型等。

Stribeck效應(yīng)是指在低速下摩擦因數(shù)先隨速度增加而減小，然后上升，出現(xiàn)負(fù)斜率摩擦現(xiàn)象。考慮其Stribeck效應(yīng)的摩擦力因數(shù)可以表達(dá)為

μ(v)=μssgn(vr)-k1vr+k3vr3

(7)

式中：μ(v)為摩擦因數(shù)；μm為最小動摩擦因數(shù)；μs為最大靜摩擦因數(shù)；vm為最小動摩擦因數(shù)對應(yīng)速度；vr為相對速度；如圖2所示。

圖2 Stribeck效應(yīng)摩擦模型Fig.2 The model of Stribeck-type friction

圖3 移動載荷分析Fig.3 Simulation of moving interactions

2 Hopf分岔

運動方程式(5)包含摩擦塊振動常微分方程和制動盤振動偏微分方程。分別采用Runge-Kutta方法和有限差分法進行數(shù)值模擬，用移動載荷法處理其相互作用(壓力和摩擦力)。本文主要分析摩擦塊的水平運動。通過調(diào)節(jié)摩擦塊與制動盤表面接觸剛度比α，計算得到制動盤減速過程(稱為速度正向變化)中的分岔類型，分岔圖如圖4所示。由于考慮制動盤在摩擦塊持續(xù)作用下的面外振動，摩擦塊的平衡始終受到其影響，稱為相對平衡點。隨著速度減小至某個臨界速度(失穩(wěn)點)，摩擦塊的穩(wěn)定相對平衡點失穩(wěn)，切向產(chǎn)生Hopf分岔。計算發(fā)現(xiàn)，盡管剛度比不同，在α=3.0～0.6，均產(chǎn)生超臨界Hopf分岔。

α=3.0時，臨界速度為2.94。摩擦塊切向運動快速變?yōu)檩^大幅值的穩(wěn)定極限環(huán)振動，直至速度減小至Ω=2.62。在速度為2.94～2.62，極限環(huán)是純滑動的。隨后，極限環(huán)幅值隨著速度繼續(xù)減小直至同時為零，在此期間的極限環(huán)包含了黏滯階段，且速度越低，黏滯過程越明顯。此外，圖5相軌跡顯示，摩擦塊的黏滯過程為非完全黏滯，即速度并非為定值，而是仍有一定幅度的抖動，是造成摩擦高頻振動的原因之一。

同樣地，α=1.0時的臨界速度為2.48，在Ω=2.48～2.18出現(xiàn)純滑動；α=0.6時的臨界速度為1.83，在Ω=1.83～1.64出現(xiàn)純滑動。因此，臨界轉(zhuǎn)速隨表面接觸剛度比降低而減小，純滑動范圍也隨之減小。摩擦塊與制動盤表面并非光滑，在表面受力變形時，兩者表面粗糙程度發(fā)生變化，剛度比反映表面變形時的相互約束情況，其比值與摩擦力項耦合，即α|F|。當(dāng)表面粗糙度改變時，α對摩擦力有放大或縮小的作用。選取摩擦材料時，為避免非完全黏滯伴隨的高頻振動的出現(xiàn)，應(yīng)選取剛度比較小的摩擦材料。制動器工作期間，盡量保持較低剛度比，即保證盤-塊間的材料剛度與表面粗糙度適當(dāng)，使得盤與塊的約束充分。

3 極限環(huán)的頻率特點

本節(jié)分析摩擦塊水平振動極限環(huán)的頻率特點。在圖6、圖7的低速(Ω=1.0時)的黏-滑振動中，均可見切向振動主導(dǎo)頻率的存在，且剛度比較大時，伴隨有多階頻率，頻率成分相對明顯。α=0.6(見圖6(b))時，低速主導(dǎo)頻率為0.333，高階頻率不明顯；α=1.0(見圖6(c))時，低速主導(dǎo)一階頻率為0.330，伴隨有0.661，0.992等倍頻，但高階幅值相對較小；α=3.0(見圖7(b))時，在頻率1以內(nèi)，主導(dǎo)一階頻率為0.308，并伴隨有0.618，0.926等倍頻成分。此時，表面的接觸作用較弱，出現(xiàn)非完全黏滯過程，伴隨有高階頻率成分。

圖4 不同剛度比時的摩擦塊切向分岔圖Fig.4 Pad’s tangential bifurcation diagrams at different stiffness ratios

圖5 不同轉(zhuǎn)速下摩擦塊切向相軌跡(α=3.0)Fig.5 Pad’s tangential phase portraits at different speeds(α=3.0)

通過以上分析，當(dāng)表面接觸剛度比較大時，非完全黏滯現(xiàn)象相對明顯。α=3.0時，摩擦塊切向位移隨時間變化的圖像呈現(xiàn)鋸齒狀，隨著剛度比的增大，時間歷程的曲線由圓滑逐漸變?yōu)殇忼X形。摩擦塊切向速度響應(yīng)(見圖7(c))中，黏滯部分出現(xiàn)抖動?？梢钥闯觯谥苿颖P轉(zhuǎn)速相同時，剛度比的增加使得摩擦塊切向速度隨時間變化的幅值增大。

圖6 不同剛度比摩擦塊切向時間歷程與頻譜Fig.6 Pad’s tangential time histories and spectrums at different stiffness ratios

圖7 摩擦塊切向響應(yīng)與頻譜(α=3.0)Fig.7 Pad’s tangential response and spectrum(α=3.0)

4 結(jié) 論

本文建立了摩擦塊-制動盤系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，考慮移動載荷作用，應(yīng)用Runge-Kutta法和有限差分法進行求解。研究表面接觸剛度比對其Hopf分岔的影響，并分析移動摩擦塊的時域-頻域特性。結(jié)論如下：

(1)盤-塊表面接觸剛度比的不同導(dǎo)致摩擦塊切向幅值對轉(zhuǎn)速的Hopf分岔形式不同，且Hopf失穩(wěn)點隨剛度比的增加而增大；盤-塊表面接觸剛度比相對較大時，摩擦塊切向出現(xiàn)非完全黏滯現(xiàn)象。

(2)非完全黏滯發(fā)生時，伴隨有多階頻率；隨著剛度比的增加，摩擦塊切向振動主導(dǎo)頻率降低，高階幅值變大。

(3)相同轉(zhuǎn)速下，非完全黏滯越明顯，速度和位移隨時間的振動幅值越大。