荀 超,龍新華，華宏星

(上海交通大學 機械與動力工程學院 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240)

行星輪傳動機構(gòu)因其結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、傳動精度高以及軸承載荷小等諸多優(yōu)點，廣泛地應用于各類機械傳動領域中。行星輪傳動機構(gòu)是典型的非線性系統(tǒng)，在特定的工況下會產(chǎn)生劇烈的非線性振動，甚至失穩(wěn)，致使齒輪傳動精度降低、軸承使用壽命縮短。

行星輪傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)復雜，參數(shù)眾多且相互之間耦合繁多。時變嚙合剛度[1]、陀螺效應[2]、重合度和嚙合相位[3]，齒側(cè)間隙[4-5]以及內(nèi)齒圈的柔性[6]對行星輪傳動機構(gòu)的穩(wěn)定性都有顯著的影響，合理地選擇這些參數(shù)可以有效地提高其穩(wěn)定性[7]。此外，行星輪傳動機構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應還與工作轉(zhuǎn)速[8]等具體的工況相關。

為了減少行星輪機構(gòu)動力學模型的自由度，降低理論分析和數(shù)值求解的復雜程度，上述研究都假定軸承支承剛度遠大于齒輪組的嚙合剛度，忽略各齒輪、構(gòu)件的橫向振動，采用了純扭轉(zhuǎn)模型。事實上，行星輪傳動機構(gòu)的動力學性能受到軸承支承的顯著影響[9]，軸承支承剛度[10- 12]和軸承間隙[13-14]對行星輪系統(tǒng)的固有頻率和振型有著顯著的影響。軸承的柔性會擴大失穩(wěn)區(qū)域[15]，合理匹配不同剛度的軸承，可使系統(tǒng)穩(wěn)定性大大提高[16]。齒輪系統(tǒng)的不穩(wěn)定邊界直接取決于時變嚙合剛度的波動幅值和振型[17]。由此可見，軸承支承剛度對行星輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著不可忽視的影響。在已有的研究中，鮮有關于軸承支承剛度對行星輪傳動機構(gòu)不穩(wěn)定邊界和不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振幅影響的研究。

本文旨在研究軸承支承剛度對行星輪傳動機構(gòu)穩(wěn)定性的影響，為此在文獻純扭轉(zhuǎn)模型的研究基礎上引入軸承支承剛度，建立了同時考慮各齒輪和行星架橫向和扭轉(zhuǎn)振動、時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、脫齒現(xiàn)象和齒輪偏心誤差的非線性動力學模型。同時考慮中心輪和行星輪的振動情況，提出了新的模態(tài)分類方式。利用多尺度法，得到了軸承支承剛度與不穩(wěn)定邊界、不穩(wěn)定振動幅值的關系。在此基礎上，進一步分析了齒輪偏心誤差對行星輪傳動機構(gòu)不穩(wěn)定響應的激勵作用。通過算例驗證了多尺度法得到的結(jié)論。本研究可為行星輪傳動機構(gòu)軸承的選擇提供科學依據(jù)。

1 模型與模態(tài)分析

1.1 系統(tǒng)非線性動力學模型

行星輪傳動機構(gòu)由行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪和N個行星輪組成，如圖 1 所示。每個構(gòu)件有兩個橫向振動和一個扭轉(zhuǎn)振動，系統(tǒng)共 3(N+3)個自由度。各齒輪主體視為剛體，輪齒嚙合由沿嚙合線方向的線性彈簧模擬。嚙合剛度因齒輪傳動過程中參與嚙合的輪齒數(shù)量的變化而周期性變化。

圖1 行星輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Diagram of the model of a planetary gear train

N行星輪系統(tǒng)的振動方程為

x=[xc,yc,uc,xr,yr,ur,xs,ys,us,ζ1,η1,u1,…,ζN,ηN,uN]

(1)

式中：un分別為各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)方向上的線位移 (即un=rnθn,n=c,r,s,p，p=1,…,N);rr,rs,rp分別為內(nèi)齒圈、太陽輪和各行星輪的基圓半徑；rc為行星輪與行星架的圓心距;θn為各構(gòu)件的角位移;Jn和mn分別為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量；M為質(zhì)量矩陣;Kb為軸承支承剛度矩陣；Km(x,t)為時變嚙合剛度矩陣。Fd為齒輪偏心誤差引入的附加支承力向量;Ft為外加扭矩產(chǎn)生的力向量。

(2)

(3)

Fdn(t)=kbn[ecnx(t)ecny(t) 0]
Fd(t)=[FdcFdrFdsFd1…FdN]T

(4)

式中：kbn和knu分別為各輪的支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。ksp(t)和krp(t)分別為太陽輪、行星輪與第p個齒輪的時變嚙合剛度；δsp和δrp為相應的嚙合變形量。Θ為脫齒函數(shù)，輪齒接觸時δ≥ 0，Θ(δ)= 1；脫齒發(fā)生時δ<0，Θ(δ)= 0；Θ(δ)=-1的情況很少出現(xiàn)，可不予考慮[18]。Ksp和Krp為無量綱的嚙合剛度矩陣，具體的表達式參見文獻[19]。Ecn為各輪的偏心誤差。

δsp=yscosψsp-xssinψsp-ζpsinαs-
ηpcosαs+us+up
δrp=yrcosψrp-xrsinψrp+ζpsinαr-
ηpcosαr+ur-up
ψsp=ψp-αs,ψrp=ψp+αr

(5)

式中：αs和αr分別為太陽輪-行星輪和內(nèi)齒圈-行星輪嚙合的壓力角。時變嚙合剛度矩陣由平均部分Km0和時變部分Kmv(x,t)組成。式(1)可以改寫為

(6)

Kb和Km0為時變剛度矩陣的平均部分，即Kmean=Kb+Km0，式(6)可以進一步改寫為

(7)

(8)

式中：Ωn為齒輪的轉(zhuǎn)速。偏心誤差的激勵頻率與齒輪的轉(zhuǎn)速相同，屬低頻激勵，很難達到系統(tǒng)固有頻率附近。因此，此處僅考慮齒輪軸孔偏心誤差的平均值對行星輪系統(tǒng)的激勵作用。

1.2 模態(tài)分析

根據(jù)中心輪(太陽輪、行星架、內(nèi)齒圈)的振動情況，可以將行星輪傳動機構(gòu)的振動模態(tài)分為扭轉(zhuǎn)模態(tài)、橫向模態(tài)和行星輪模態(tài)。這樣的分類方式，無法反映出行星輪的振動情況。對行星輪的振動情況進一步分析發(fā)現(xiàn)，在某一具體的模態(tài)下，盡管行星輪不能明確地分為純扭轉(zhuǎn)或純橫向振動，但行星輪的振動會在其中一個方向上有明顯的側(cè)重。據(jù)此，行星輪系統(tǒng)的振動模態(tài)可以進一步分為六類，如表 1 所示。

表1 行星輪系統(tǒng)振動模態(tài)分類Tab.1 Classification of modal types of planetary gear trains

利用平均剛度矩陣Kmean求解行星輪傳動機構(gòu)的固有頻率和模態(tài)矩陣

(9)

式中：ωi為第i階固有頻率;vi為對應的振形。以表2中的行星輪系統(tǒng)為例，太陽輪浮動，行星架固定，太陽輪為主動輪，內(nèi)齒圈為輸出輪。假定各行星輪和內(nèi)齒圈的軸承支承剛度相等。圖 2 為軸承支承剛度對各振動模態(tài)對應的固有頻率的影響?？梢郧宄乜吹剑S著軸承支承剛度的增大，X-R(X=R,T,P)模態(tài)對應的固有頻率略有增大后趨于平穩(wěn)，而X-T模態(tài)對應的固有頻率則明顯增大。

表2 行星輪系統(tǒng)的主要參數(shù)Tab.2 Parameters of example system

圖2 表2中模型的固有頻率-軸承支承剛度Fig.2 Natural frequencies-bearing stiffness of the planetary gear train in Tab.2

2 基于多尺度法的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

太陽輪-行星輪和內(nèi)齒圈-行星輪的時變嚙合剛度可以分為平均值和時變波動值兩部分

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：.*和./分別為矩陣對應位置的元素相乘和相除運算。對振動方程進行模態(tài)轉(zhuǎn)換，代入X=Vz，則振動方程為

(16)

(17)

利用多尺度法，ω≈ωi時不穩(wěn)定邊界表達式為

(18)

(19)

圖3 軸承支承剛度對各自由度剛度波動系數(shù)的影響Fig.3 Effects of bearing stiffness on the stiffness variation of each DOF

由此可見，決定不穩(wěn)定邊界的三個因素都受到軸承支承剛度的直接影響，說明軸承支承剛度對各固有頻率附近的不穩(wěn)定邊界有著顯著的影響。在“4”節(jié)中，結(jié)合表 2 中的實例模型，將會關于軸承支承剛度對不同模態(tài)不穩(wěn)定邊界的不同影響做出進一步的分析和討論。由不穩(wěn)定邊界的求解過程可以發(fā)現(xiàn)，各模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)域是系統(tǒng)的固有屬性，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3 不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振動幅值分析

3.1 振動響應的多尺度法推導

利用多尺度法，引入一系列越來越慢的時間尺度tl=εlt。解得嚙合頻率在各固有頻率附近ω≈ωi時系統(tǒng)的振動幅值與嚙合頻率的關系。

(20)

(21)

式中：ξi為阻尼系數(shù)，由式(21)和Ξ3的表達式可知，對于ω≈ωi，系統(tǒng)的模態(tài)振幅直接取決于由外加扭矩模態(tài)轉(zhuǎn)換得到的ftw和由偏心誤差引入的附加支承力模態(tài)轉(zhuǎn)換得到的fdw。太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合脫齒的振幅臨界點為

(22)

對于ω≈ωi，太陽輪-行星輪和內(nèi)齒圈-行星輪的最大嚙合變形為

(23)

3.2 不同模態(tài)的振幅的分析

對行星輪系統(tǒng)的振動模態(tài)進行進一步分析可以發(fā)現(xiàn)

(25)

接下來分別討論ftw和fdw對不同模態(tài)的振幅影響。

(1)行星輪系統(tǒng)共有 6 階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，當?shù)趇階為扭轉(zhuǎn)模態(tài)時，由fdw= 0和式(25)得

(26)

式中:Roti為扭轉(zhuǎn)模態(tài)的階數(shù)。嚙合變形的幅值為

(27)

(2)行星輪系統(tǒng)的橫向模態(tài)對應的固有頻率為2重，共有6 階。當?shù)趇階為橫向模態(tài)時，由ftw=0和式(25)得

(28)

式中：Trai為橫向模態(tài)的階數(shù)。

(3)行星輪系統(tǒng)的行星輪模態(tài)對應的固有頻率為N-3重，共有 3 階。當?shù)趇階為橫向模態(tài)時，由ftw=0和式(25)得

(29)

式中：Plai為行星輪模態(tài)的階數(shù)。僅考慮太陽輪的偏心誤差時，F(xiàn)d僅在xs和ys兩個方向上不為 0。經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換后，F(xiàn)vd僅在橫向模態(tài)對應的模態(tài)上不為 0，即太陽輪偏心誤差僅對行星輪系統(tǒng)橫向模態(tài)的振動有影響，而對扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)、行星輪振動模態(tài)沒有影響。類似地，行星輪偏心誤差僅可激勵行星輪振動模態(tài)的振動，而對扭轉(zhuǎn)模態(tài)、橫向模態(tài)無影響。

4 實例分析

4.1 穩(wěn)定性分析

以表2中的行星輪傳動機構(gòu)為例，太陽輪浮動、行星架固定，可供調(diào)整的軸承支承剛度主要是各行星輪和內(nèi)齒圈的軸承。因此，軸承支承剛度對各模態(tài)不穩(wěn)定邊界的影響主要因行星輪的不同振動狀態(tài)而不同。利用式(17)、式(18)可以得到軸承支承剛度對各模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)間的影響，如圖 4 所示。對于X-R模態(tài)，隨著軸承支承剛度的增大，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大并趨于穩(wěn)定；對于X-T模態(tài)，隨著軸承支承剛度的增大，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸縮小并趨于消失。這是因為，對于X-R模態(tài)，行星輪以扭轉(zhuǎn)振動為主，隨著軸承支承剛度的增大，行星輪橫向振動被抑制，扭轉(zhuǎn)振動的主導地位更加凸顯。行星輪的動能幾乎全部集中在扭轉(zhuǎn)振動中，嚙合變形量因此略有增大并趨于穩(wěn)定。對于X-T模態(tài)，行星輪以橫向振動為主，隨著軸承支承剛度的增大，行星輪橫向振動被抑制，僅殘留很小的扭轉(zhuǎn)振動，嚙合變形量也因此很小，不穩(wěn)定區(qū)域趨于消失。

圖4 軸承支承剛度對基頻不穩(wěn)定邊界的影響Fig.4 Effects of bearing stiffness on the primary instability boundaries

4.2 振動幅值分析

動態(tài)傳遞誤差反映了齒輪傳動系統(tǒng)的傳動精度，可以用以衡量齒輪系統(tǒng)的振動情況。動態(tài)傳遞誤差即為輪齒嚙合的動態(tài)變形量，如式(23)所示。軸承支承剛度對R-R模態(tài)和R-T模態(tài)的動態(tài)傳遞誤差有著不同的影響，如圖5 和圖6 所示。

由圖5和圖6可知，隨著軸承支承剛度的增大，R-R模態(tài)的太陽輪-行星輪嚙合的動態(tài)傳遞誤差逐漸增大并趨于穩(wěn)定；R-T模態(tài)的太陽輪-行星輪嚙合的動態(tài)傳遞誤差逐漸減小趨于0。

為了分析軸承支承剛度對T-R模態(tài)和T-T模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振幅的影響，假定太陽輪在加工、安裝過程中產(chǎn)生了 100 μm 的偏心誤差。圖 7和圖 8分別展示了軸承支承剛度對T-R模態(tài)和T-T模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的太陽輪 -行星輪動態(tài)傳遞誤差幅值的影響。與R-R模態(tài)、R-T模態(tài)相似，T-R模態(tài)的太陽輪-行星輪嚙合的動態(tài)傳遞誤差逐漸增大并趨于穩(wěn)定；T-T模態(tài)的太陽輪-行星輪嚙合的動態(tài)傳遞誤差逐漸減小趨于0。這與數(shù)值模擬得到了一致的結(jié)果。由此可見，增大軸承支承剛度可以緩解太陽輪偏心誤差對T-T模態(tài)振動的激勵作用，但會略微增大對T-R模態(tài)振動的激勵作用。

圖5 軸承支承剛度對R-R模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響Fig.5 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with R-R mode

圖6 軸承支承剛度對R-T模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響Fig.6 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with R-T mode

為了分析軸承支承剛度對P-R和P-T模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振幅的影響，假定某一個行星輪在加工、安裝過程中產(chǎn)生了100 μm 的偏心誤差。圖9 和圖10 分別展示了軸承支承剛度對P-R和P-T模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差幅值的影響，幅值的變化趨勢與T-R和T-T模態(tài)相類似。

圖7 軸承支承剛度對T-R模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響Fig.7 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with T-R mode

圖8 軸承支承剛度對T-T模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響Fig.8 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with T-T mode

圖9 軸承支承剛度對P-R模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響 Fig.9 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with P-R mode

圖10 軸承支承剛度對P-T模態(tài)太陽輪-行星輪動態(tài)傳遞誤差的影響Fig.10 Effects of bearing stiffness on the primary instable vibration amplitude associated with P-T mode

5 結(jié) 論

利用多尺度法分析了軸承支承剛度對行星輪傳動機構(gòu)不同振動模態(tài)不穩(wěn)定邊界的影響、對不同模態(tài)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振幅的影響，得到了如下幾個結(jié)論：

(1)同時考慮中心輪和行星輪的振動情況，可將行星輪系統(tǒng)的振動模態(tài)分為六類：扭轉(zhuǎn)-扭轉(zhuǎn)主導(R-R)模態(tài)、扭轉(zhuǎn)-橫向主導(R-T)模態(tài)、橫向-扭轉(zhuǎn)主導(T-R)模態(tài)、橫向-橫向主導(T-T)模態(tài)、行星輪-扭轉(zhuǎn)主導(P-R)模態(tài)、行星輪-橫向主導(P-T)模態(tài)。

(2)軸承支承剛度對系統(tǒng)固有頻率有著顯著的影響，但對不同振動模態(tài)的固有頻率有著不同的影響。隨著軸承支承剛度的增大，X-R模態(tài)對應的固有頻率略有增大后趨于平穩(wěn)，而X-T模態(tài)對應的固有頻率則明顯增大。

(3)利用多尺度法得到的不穩(wěn)定邊界的表達式揭示出軸承支承剛度對各固有頻率附近不穩(wěn)定邊界的影響。隨著軸承支承剛度的增大，對于X-R模態(tài)，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大并趨于穩(wěn)定；對于X-T模態(tài)，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸縮小并趨于消失。

(4)各模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)間的范圍是系統(tǒng)的固有屬性，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與具體的實際工況無關。而各不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的振幅則與實際的工況密切相關。傳遞的扭矩僅對扭轉(zhuǎn)模態(tài)的振幅有明顯的激勵作用，太陽輪的偏心誤差僅對橫向模態(tài)的振幅有明顯的激勵作用，而行星輪的偏心誤差則僅激勵行星輪模態(tài)的振動。