劉思武

摘要 數(shù)學教育的目的不僅僅是教授學生知識與技能，更是教會學生發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。要達到這一目的，數(shù)學教師就要理解數(shù)學的本質，熟知每個知識點之間的聯(lián)系，整體思考問題，從細處去理解知識點。教師多思多讀，讓學生收獲的不僅僅是細小的知識點，還有數(shù)學思想、數(shù)理邏輯。

關鍵詞 數(shù)學概念 理解數(shù)學 穩(wěn)定性

章建躍教授提出的“理解數(shù)學，理解學生，理解教學”中，第一個理解就是讓教師要理解數(shù)學，這是數(shù)學教師必須做到的。教師理解數(shù)學是提高教學質量的前提，在此基礎上才能談理解學生，理解教學，踐行培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，才有可能發(fā)揮數(shù)學的育人作用。

蘇科版數(shù)學教材八年級第一章就是全等三角形，其中判定方法“SSS”之后提出了三角形的穩(wěn)定性。一講到穩(wěn)定性，那從小學就開始講了啊，學生還能不知道，不就是拉不動嘛！哦，是嗎？還真的有愛思考的學生提出了質疑：當四根鋼條周圍焊接起來也是拉不動的，當三根皮筋構成三角形，它的形狀是能夠改變的呢！這里為什么出現(xiàn)大部分學生認為穩(wěn)定性就是拉不動，教師又是如何理解的呢？這值得思考，讓我們深入探究一番。

關于三角形的穩(wěn)定性，小學教師在備課時是怎么想的呢？三角形的穩(wěn)定性為什么在給出“SSS”時提出呢？沒有真正的理解估計就很難把握其本質，更不用說理解學生、理解教學，所以章建躍教授在三個理解中將理解數(shù)學放在第一位是有所思考的，這為教師的自我提升提供了方向。

一、三角形穩(wěn)定性的內(nèi)涵

李邦河院士曾說，數(shù)學是需要玩概念的，而理解數(shù)學概念就要做到從表面到本質達到結構上的一種進步。三角形的穩(wěn)定性到底是什么呢？這里有兩個關鍵詞，三角形和穩(wěn)定性。一般來說，穩(wěn)定性是指不易改變或保持其原有屬性的能力，穩(wěn)定性又可以分為結構性的、系統(tǒng)的、過程的三種。回到三角形的定義：三條線段首尾相連所圍成的封閉圖形。這種連接是鉸鏈，而不是焊接。四邊形的不穩(wěn)性也是因為鉸鏈可以隨著外力的作用而“變形”，所以了解這個就讓學生知曉即使梯子包含了四邊形卻為什么是“穩(wěn)定”的，這個穩(wěn)定性是物理層面的，指在外力作用下形狀不變，因為這個圖形的四邊都是固定連接，涉及物理中受力和材料性質的分析。

幾何圖形中的穩(wěn)定性是指幾何圖形形狀的確定性，當三邊確定后，三個角的大小就確定了，也就是形狀、大小就跟著確定下來。即已知三邊得出三角形的三個角，從而面積、周長也就確定了，三角形的這種屬性就叫做三角形的穩(wěn)定性。從三角形出現(xiàn)，這個性質就存在了，與有無外力拉動毫無關系，如由三根棉線構成的三角形在外力的作用下“穩(wěn)”嗎？所以三角形的穩(wěn)定性更多的是“定”，即唯一性。

數(shù)學教師應該擁有的一項基本功是舉例子。通過研究，筆者發(fā)現(xiàn)平時我們經(jīng)常論及三角形穩(wěn)定性在生活中的應用的例子有些是不合適的。在學習了三角形的穩(wěn)定性之后，教師會讓學生舉一些生活中相關的例子，即三角形穩(wěn)定性的外在表現(xiàn)。有學生會以三腳架為例，其實深入研究之后，發(fā)現(xiàn)原來三腳架的選擇不是因為三角形的穩(wěn)定性，而是從物理的受力分析、節(jié)省材料以及攜帶方便等角度來考慮的。沒有研究就沒有發(fā)言權，理解數(shù)學本質是數(shù)學教師需要首先做到的。

二、三角形穩(wěn)定性的數(shù)學證明

三角形的穩(wěn)定性還可以通過實驗驗證，數(shù)學概念應更多地回歸到數(shù)學解釋上，即本質的探究。

已知：如圖1，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c。

求證：△ABC的形狀大小確定。

解析：要證明三角形的形狀大小確定，即證明△ABC的三邊確定。我們不妨假設角的大小不確定，即存在一個三角形與△ABC三邊分別相等，但是對應角不相等。為了操作方便，按照圖2進行構圖，BA=BD，CD=CA，假設∠BAC≠∠BDC。連接AD，因為AB=DB，則∠BAD=∠BDA。由于AC=DC，則∠CAD=∠CDA。因為整體大于部分，所以∠ADC大于∠ADB，由此∠CAD大于∠BAD，這與整體大于部分相矛盾，從而假設不成立，即∠BAC=∠BDC。

三、理解數(shù)學的教學意義

理解數(shù)學概念，深入到數(shù)學內(nèi)部就能夠真正弄清楚數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學教育的目的不僅僅是教授學生知識與技能，更是教會學生發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構建一種知識結構，形成全局觀，看待問題能夠有一種高位認識，從而真正培養(yǎng)學生思考的習慣，以便將來進入社會即使忘掉所有的數(shù)學知識，但是用數(shù)學的眼光看待問題、用數(shù)學邏輯解決問題的能力仍然不會遺忘。因此，我們教師首先要理解數(shù)學，抓住本質，熟知每個知識點之間的聯(lián)系，整體地思考問題，從細處去理解知識點，并且能夠生發(fā)出一幅幅巨大的知識網(wǎng)，這一幅幅巨大的知識網(wǎng)匯聚在一起最后就形成了數(shù)學的大廈，真正能夠讓學生受益終生。

理解數(shù)學說起來容易，做起來難，作為教師首先要有深入的思考，能夠理解教材的章節(jié)設置，深悟其中的邏輯合理性，從而在教學中才更有發(fā)言權。在進行教學設計時能夠更加符合數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生收獲到高于知識點之上的東西：數(shù)學思想！如，在進行勾股定理教學設計時，是不是該研究直接給出三邊的平方關系是否合理？是否該考慮該章節(jié)在整個教材中的地位，放在整個知識框架中里去思考？是否應該重新設計，讓學生慢慢探索兩條直角邊與斜邊的關系，讓學生多一點探究，才更能夠體現(xiàn)數(shù)學的味道？為什么一元二次方程有時叫做解，有時叫做根？三角函數(shù)以前用線段的比來定義，現(xiàn)在為什么又叫做三角函數(shù)呢？雖然有些概念是規(guī)則下的定義，但是細細思考還是很有味道的，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展史。隨著研究的不斷深入，或者帶著問題去研究，你會得到更多的樂趣，這可能就是探究的樂趣。孫子兵法：求其上，得其中;取其中，得其下;求其下，必敗。這句話用在教師對數(shù)學的理解上也很有啟發(fā)。教師高位理解數(shù)學，進入到數(shù)學內(nèi)部，才能有高效的教學。

（作者單位：南京外國語學校仙林分校燕子磯校區(qū)）