韓寶燕

摘 要：系統(tǒng)地介紹了構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型的方法，給出數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的典型例子。說明了一個(gè)重要結(jié)論：數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的使用不僅在現(xiàn)在，也必將在未來對經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法及經(jīng)濟(jì)效益實(shí)現(xiàn)帶來前所未有積極推進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：模型；經(jīng)濟(jì)；經(jīng)濟(jì)效益

當(dāng)今時(shí)代是一個(gè)信息高度豐富的時(shí)代，其顯著特點(diǎn)之一就是數(shù)學(xué)的應(yīng)用向一切領(lǐng)域滲透，進(jìn)而產(chǎn)生了許多與數(shù)學(xué)相結(jié)合的新學(xué)科或邊緣學(xué)科，如：生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和地質(zhì)數(shù)學(xué)等。而數(shù)學(xué)建模就是為了解決各種復(fù)雜問題而誕生的一種十分有效的數(shù)學(xué)手段。當(dāng)代西方經(jīng)濟(jì)就認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本研究方法，是分析經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立有效的經(jīng)濟(jì)模型，從中引申出新的經(jīng)濟(jì)原則和理論進(jìn)行決策和形勢預(yù)測，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法更好的解決經(jīng)濟(jì)問題、獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益。近幾年來，世界各國在經(jīng)濟(jì)方面取得的許多成就都證明：數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模會促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，帶來現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)效益，并對經(jīng)濟(jì)決策科學(xué)化、定量化起到重要的影響作用。如果把經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度分為四個(gè)等級：特強(qiáng)、強(qiáng)、一般和弱。則可以對獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主進(jìn)行劃分：其中有56%的人可以被評為“特強(qiáng)”，占全體獲獎(jiǎng)?wù)咭话胍陨?；?9%的人被評為“強(qiáng)”；被評為“一般”和“弱”的人共占全體獲獎(jiǎng)?wù)叩?5%。這也從一個(gè)側(cè)面反映出數(shù)學(xué)學(xué)科于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的緊密結(jié)合促使經(jīng)濟(jì)學(xué)研究更加發(fā)展，也反映出數(shù)學(xué)建模方法確實(shí)在實(shí)際的應(yīng)用領(lǐng)域取得了十分豐碩的成果。可以預(yù)測，數(shù)學(xué)向經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的逐漸滲透，必將使得經(jīng)濟(jì)研究更加深入，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的目的更加容易實(shí)現(xiàn)。

一、基本概念：

經(jīng)濟(jì)學(xué)，是一門研究如何有效配置與管理稀缺資源的理論。本文所涉及到的經(jīng)濟(jì)學(xué)是指廣義的經(jīng)濟(jì)學(xué)，包括宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、市場經(jīng)濟(jì)學(xué)等。所謂的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模，是指用來描述與所研究的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量之間的依存關(guān)系的理分析方法。簡單地說，就是數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似描述和解決經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題，這種解決經(jīng)濟(jì)問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段就是數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模。它是對客觀經(jīng)濟(jì)事物間的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個(gè)近似反映。它對經(jīng)濟(jì)世界的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型，并求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，最終達(dá)到運(yùn)用模型解釋現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題的目的。從經(jīng)濟(jì)世界的現(xiàn)實(shí)來看，使用數(shù)學(xué)模型是經(jīng)濟(jì)問題的描述變得清晰，語言精煉；邏輯推理嚴(yán)密精確，可以防止漏洞和謬誤，避免研究者被表面現(xiàn)象所蒙蔽；證明數(shù)據(jù)的數(shù)量化使得實(shí)際證明更具一般性和系統(tǒng)性；數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模方法的使用是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究者從已經(jīng)有的數(shù)據(jù)中最大程度的獲取有用的信息?？梢允菇?jīng)濟(jì)研究得到以前僅靠知覺和言語描述無法或不易得到的新結(jié)論；也使得國際間對數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的交流和溝通更加便捷

二、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法步驟

一般來說，對于經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，構(gòu)建一個(gè)合理有效的數(shù)學(xué)模型主要有以下步驟。

（1）深入了解實(shí)際問題，以及與問題有關(guān)的背景知識。

（2）根據(jù)研究的目的和任務(wù)，對所要研究的現(xiàn)象進(jìn)行全系統(tǒng)的周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組整理。

（3）通過假設(shè)把所要研究的實(shí)際問題簡化、抽象，明確模型中諸多的影響因索，并找出主要因索，用數(shù)量和參數(shù)來表示這此因索。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來描述問題中變量參數(shù)之間的關(guān)系，初步列出數(shù)學(xué)關(guān)系式。

（4）對數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行簡化、合并，最終確立數(shù)學(xué)模型。

（5）使用已知數(shù)據(jù)及觀測數(shù)據(jù)，利用相關(guān)數(shù)學(xué)方法求出所建模型中參數(shù)的估計(jì)值，從而確定模型。

（6）對所確定的模型參數(shù)進(jìn)行偏差分析，把模型的結(jié)果與實(shí)際觀測進(jìn)行分析比較，以考察模型是否符合實(shí)際問題。若偏差較大，模型必須進(jìn)行調(diào)整修改，重復(fù)前面的建模過程，直到建立出一個(gè)經(jīng)檢驗(yàn)符合實(shí)際問題的模型。

數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模還可以用流程那樣簡明的形式來表示，概括起來，流程是由下面一些步驟組成的。

1.對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題的原始背景有深刻的了解和深入細(xì)致的觀察，并從中抽出最本質(zhì)特征的東西。即抓住主要因素，暫不考慮次要因素。從而得到原始問題的一個(gè)簡化了的理想化的自然模型。

2.根據(jù)已經(jīng)掌握的經(jīng)濟(jì)信息直接翻譯為數(shù)學(xué)術(shù)語，把理想化的自然模型表示成一個(gè)數(shù)學(xué)研究的題材———數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。

3.運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，得到關(guān)于這個(gè)模型的一個(gè)解。這一步要求對某些數(shù)學(xué)技巧具有一定的基礎(chǔ)知識。為管理類的學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，提供了用武之地。

4.用理想化自然模型的術(shù)語對所得的解進(jìn)行解釋和說明。

5.根據(jù)問題的原始背景對所得的解進(jìn)行解釋和說明。

6.所得結(jié)果的有效性要加以驗(yàn)證。如果由模型算出的理論值與實(shí)際值比較吻合，則模型是成功的。如果理論值與實(shí)際值差別很大，則模型是失敗的。如果理論值與實(shí)際值部分吻合，則應(yīng)找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。

三、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的價(jià)值

（1）經(jīng)濟(jì)科學(xué)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用

在《經(jīng)濟(jì)分析基礎(chǔ)》的中文版序言中，薩繆爾森說，不使用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)方法是“不能使人超越經(jīng)濟(jì)科學(xué)的幼兒園的”。在現(xiàn)代，經(jīng)濟(jì)理論工作者越來越清晰地認(rèn)識到，經(jīng)濟(jì)理論研究中級僅靠過去普遍使用的語言文字描述方法進(jìn)行思辨式推理和分析，很難保證所研究的問題的規(guī)范性和推理邏輯的統(tǒng)一性和嚴(yán)密性，自然也就很難保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性、易證性和理論體系的嚴(yán)密性。這就很不利于經(jīng)濟(jì)科學(xué)知識準(zhǔn)確地交流和傳播。而數(shù)學(xué)建模方法的使用，能使經(jīng)濟(jì)學(xué)研究對象準(zhǔn)確具體、經(jīng)濟(jì)變量間的關(guān)系的數(shù)量化和確保邏輯推理過程的嚴(yán)密性，并最終在理論上保證所得結(jié)果準(zhǔn)確具體。從而使所研究的經(jīng)濟(jì)理論建立在堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)科學(xué)基礎(chǔ)上，進(jìn)而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)科學(xué)的不斷發(fā)展。

經(jīng)濟(jì)年來，數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，而且對經(jīng)濟(jì)學(xué)的的長足發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。例如投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)控制模型、經(jīng)濟(jì)增長模型、博弈論模型等都是利用數(shù)學(xué)建模方法來解決或解釋實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題的，它們對現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)科學(xué)的發(fā)展做出了十分重要的貢獻(xiàn)。

（2）數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用使經(jīng)濟(jì)研究方法更加嚴(yán)密

縱觀經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展，會清楚的發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的每一次重大突破，都與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。投入與產(chǎn)出模型的應(yīng)用，使國民經(jīng)濟(jì)各部門在生產(chǎn)過程中相互依存、相互制約的經(jīng)濟(jì)技術(shù)聯(lián)系更加明確；最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)模型，是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理者在作出計(jì)劃安排、資源分配和最優(yōu)組合等決策時(shí)最常用到的數(shù)學(xué)工具；計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的應(yīng)用，使經(jīng)濟(jì)理論的研究有了重要的突破；在運(yùn)用了博弈論之后，對不去認(rèn)定性問題的分析就有了突破性的進(jìn)展。數(shù)學(xué)建模方法不斷的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的過程，強(qiáng)化了經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。與此同時(shí)，也在不斷改變著經(jīng)濟(jì)理論研究者的思維方式和行為習(xí)慣，使人們的思維和行為更具嚴(yán)謹(jǐn)和定量的特性。因?yàn)閿?shù)學(xué)是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊环N邏輯形式，而又有一些人在運(yùn)用語言是容易邏輯不清。這就要求經(jīng)濟(jì)理論工作者在論述和交流中，從以往使用語言文字描述轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂脭?shù)學(xué)語言描述。就是應(yīng)為數(shù)學(xué)語言比較簡練，表達(dá)概念時(shí)比較準(zhǔn)確，聽的人也比較容易明白。并且數(shù)學(xué)語言具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、沒有歧義和容易證明的優(yōu)點(diǎn)。

四、典型數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型及其經(jīng)濟(jì)效益分析----生產(chǎn)計(jì)劃問題模型

一家公司計(jì)劃制造兩種計(jì)算機(jī)產(chǎn)品：兩種計(jì)算機(jī)使用相同的未處理芯片，但是其中一種使用27英寸的顯示器，而另一種使用的是31英寸的顯示器，除了40萬元的固定費(fèi)用外，每臺使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)花費(fèi)1950元 ，而使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)需要花費(fèi)2250元。制造商建議每臺使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)零售價(jià)定為3390元，而使用31英寸的零售價(jià)為3990元。據(jù)營銷人員估計(jì)，在這些計(jì)算機(jī)的銷售市場上，一種類型的計(jì)算機(jī)每多銷售出一臺，每臺的價(jià)格就下降0.1元。此外，兩種類型的計(jì)算機(jī)的銷售會互相影響：每銷售一臺使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)，估計(jì)使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)的零售價(jià)會下降0.03元；每銷售一臺使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)，估計(jì)使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)的銷售價(jià)格會下降0.04元?，F(xiàn)假設(shè)所有的計(jì)算機(jī)都可以銷售出去，那么應(yīng)該公司安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能時(shí)期生產(chǎn)利潤達(dá)到最大？

（1）模型分析

這是一個(gè)優(yōu)化問題，其目標(biāo)是使利潤最大化，要做的決策是如何安排生產(chǎn)計(jì)劃。即使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)應(yīng)該生產(chǎn)多少臺，使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)應(yīng)該生產(chǎn)多少臺。有兩個(gè)條件限制決策：一種類型的計(jì)算機(jī)每多銷售出一臺，它的價(jià)格就會下降0.1元；一臺類型的計(jì)算機(jī)的銷售也會影響另一種類型計(jì)算機(jī)的銷售。

（2）模型假設(shè)

1.設(shè)使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)生產(chǎn)x1臺，使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)生產(chǎn)x2臺。

2.pi為xi的零售價(jià)格，R為兩種計(jì)算機(jī)的零售收入，C為計(jì)算機(jī)制造成本，P為計(jì)算機(jī)零售的總利潤。

3.制造的所有計(jì)算機(jī)都可以售出。

4.每種類型的計(jì)算機(jī)的零售價(jià)都受自身臺數(shù)以及另一種類型臺數(shù)的影響，當(dāng)兩種類型的計(jì)算機(jī)的臺數(shù)已經(jīng)確定時(shí)，則兩種計(jì)算機(jī)的零售價(jià)格也相應(yīng)的被確定。

（3）建立模型

約束條件：

，

，

兩種計(jì)算機(jī)總的零售收入： ，

兩種計(jì)算機(jī)總的的制造成本：

，

于是，所求的使獲利最大的目標(biāo)函數(shù)為：

。

（4）求解模型

由于目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)非線性方程，故可以將該模型輸入相關(guān)軟件求解。輸出結(jié)果為： ，即生產(chǎn)4736臺使用27英寸顯示器的計(jì)算機(jī)，7063臺使用31英寸顯示器的計(jì)算機(jī)時(shí)可以使獲利最大。

五、前景展望

數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用已經(jīng)取得了豐碩的成果，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究方法不斷改進(jìn)更新，不斷貼近實(shí)際，不斷為使用者帶來可觀的經(jīng)濟(jì)效益。在這樣的現(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)濟(jì)大背景下，數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中已經(jīng)占有相當(dāng)重要的影響地位，并且在未來這種趨勢將更加明顯。數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的使用不僅在現(xiàn)在，也必將在未來對經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法及經(jīng)濟(jì)效益實(shí)現(xiàn)帶來前所未有積極推進(jìn)作用。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用在整合數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)知識的前提下，對不同的經(jīng)濟(jì)狀況進(jìn)行了，本篇論文在總結(jié)數(shù)學(xué)模型的歷史背景下，對數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了整理和總結(jié)。這篇論文的本意是總結(jié)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，在將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的同時(shí)，希望在其他領(lǐng)域也有所涉獵。因?yàn)楝F(xiàn)在是數(shù)據(jù)時(shí)代，我們生活中處處圍繞著數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)并應(yīng)用到實(shí)際中將為我們的生活提供很大的幫助和便利。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭玲.論數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].商情（教育經(jīng)濟(jì)研究），2007，第2期：116+80.

[2]李勝玉.數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代商業(yè)，2008，第18期：272.

[3]韓明.從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)看數(shù)學(xué)建模的價(jià)值[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，，第23卷第1期：181～186.

[4]陳金和.經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的數(shù)學(xué)建模[J].黃石高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000，第16卷第4期：47～49.